2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 (IV)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 (IV) 一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分） 1. A. B. C. D. 2. 函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為 A. B. C. D. 3. 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)是 A. B. C. D. 4. 若，則a的值是 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知為虛數(shù)單位，若為純虛數(shù)，則a的值為 A. 2 B. 1 C. D. 6. 函數(shù)的圖象大致為 A. B. C. D. 7. 已知，則 A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是

2、 A. B. C. D. 9. 觀察下列一組數(shù)據(jù) ， ， ， ， 則從左到右第一個(gè)數(shù)是 A. 91 B. 89 C. 55 D. 45 10. 設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則的解集為 A. B. C. D. 11. 如圖，花壇內(nèi)有五個(gè)花池，有五種不同顏色的花卉可供栽種，每個(gè)花池內(nèi)只能種同種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則最多有幾種栽種方案 A. 180種 B. 240種 C. 360種 D. 420種 12. 已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，則的大小關(guān)系是 A. B. C. D. 二、填空題（本大題共4小題，共20.

3、0分） 13. 若，則 ______ ． 14. 在口袋中有不同編號(hào)的5個(gè)白球和4個(gè)黑球，如果不放回地依次取兩個(gè)球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取得白球的概率是______ ． 15. 計(jì)算：____________． 16. 已知邊長(zhǎng)分別為的三角形ABC面積為S，內(nèi)切圓O的半徑為r，連接，則三角形的面積分別為，由得，類比得四面體的體積為V，四個(gè)面的面積分別為，則內(nèi)切球的半徑 ______ ． 三、解答題（本大題共6小題，共72.0分） 17. 某次文藝晚會(huì)上共演出8個(gè)節(jié)目，其中2個(gè)唱歌、3個(gè)舞蹈、3個(gè)曲藝節(jié)目，求分別滿足下列條件的排節(jié)目單的方法種數(shù)： 一個(gè)唱歌節(jié)目開(kāi)頭，

4、另一個(gè)壓臺(tái)； 兩個(gè)唱歌節(jié)目不相鄰； 兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰且3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰． 18. 已知函數(shù)若函數(shù)在處有極值． 求的單調(diào)遞減區(qū)間； 求函數(shù)在上的最大值和最小值． 19. 已知展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22． Ⅰ求n的值； Ⅱ?求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)； 求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 20. 在直三棱柱中，底面是直角三角形，為側(cè)棱的中點(diǎn)． 求異面直線所成角的余弦值； 求二面角的平面角的余弦值． 21. 某地區(qū)有800名學(xué)員參加交通法規(guī)考試，考試成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示其中成績(jī)分組區(qū)間是：規(guī)定90分及其以上為合格． Ⅰ求圖中a的值 Ⅱ根據(jù)頻率分布

5、直方圖估計(jì)該地區(qū)學(xué)員交通法規(guī)考試合格的概率； Ⅲ若三個(gè)人參加交通法規(guī)考試，用X表示這三人中考試合格的人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． 22. 已知函數(shù)． Ⅰ當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程； Ⅱ求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； Ⅲ當(dāng)時(shí)，若恒成立，求a的取值范圍． 答案和解析 【答案】 1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. A 8. C 9. A 10. B 11. D 12. B 13. 121?? 14. ?? 15. ?? 16. ?? 17. 解：先排歌曲節(jié)目有種排法，再排其他節(jié)目有種排法，所以共有種排法． 先排3個(gè)舞蹈節(jié)目，3個(gè)曲藝節(jié)

6、目，有種排法，再?gòu)钠渲?個(gè)空包括兩端中選2個(gè)排歌曲節(jié)目，有種插入方法，所以共有種排法． 兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰，用捆綁法，3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，利用插空法，共有種．?? 18. 解：，依題意有， 即得． 所以， 由，得， 所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間． 由知， 令，解得． 隨x的變化情況如下表： 由上表知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 故可得．?? 19. 解：由題意，展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22． Ⅰ二項(xiàng)式定理展開(kāi)：前三項(xiàng)系數(shù)為：， 解得：或舍去． 即n的值為6． Ⅱ由通項(xiàng)公式， 令， 可得：． 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為； 是偶數(shù)，展開(kāi)式共有7項(xiàng)則第四項(xiàng)最大

7、 展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．?? 20. 解：如圖所示，以C為原點(diǎn)，CA、CB、為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系 ． 則． 所以? 所以． 即異面直線與所成角的余弦值為． 因?yàn)椋? 所以， 所以為平面的一個(gè)法向量????????? 因?yàn)椋? 設(shè)平面的一個(gè)法向量為． 由，得 令，則． 所以． 所以二面角的余弦值為．?? 21. 解：由直方圖知． 解得． Ⅱ設(shè)事件A為“某名學(xué)員交通考試合格”． 由直方圖知，． 以題意得出X的取值為． ． ． ． ． 所以X的分布列為 ?X ?0 ?1 ?2 ?3 ?P ? ? ? ．??

8、22. 解：Ⅰ由，得： ． 當(dāng)時(shí)，． 依題意，即在處切線的斜率為0． 把代入中，得． 則曲線在處切線的方程為． Ⅱ函數(shù)的定義域?yàn)椋? 由于． 若， 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)； 當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)． 若， 當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)． 綜上所述，時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為． 時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為． Ⅲ當(dāng)時(shí)，要使恒成立， 即使在時(shí)恒成立． 設(shè)，則． 可知在時(shí)，為增函數(shù)； 時(shí)，為減函數(shù)． 則． 從而．?? 【解析】 1. 解：． 故選：B． 直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案． 本題考查復(fù)

9、數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 2. 解： 容易求出切線的斜率為4 當(dāng)時(shí)， 利用點(diǎn)斜式，求出切線方程為 故選B． 首先求出函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，也就是切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程． 本題比較簡(jiǎn)單，主要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線方程． 3. 解：復(fù)數(shù)． 復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)是：． 故選：D． 利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，求解即可． 本題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，復(fù)數(shù)的基本概念，考查計(jì)算能力． 4. 解：因?yàn)椋? 所以，所以； 故選D． 將等式左邊計(jì)算定積分，然后解出a． 本題考查了定積分的計(jì)算；關(guān)鍵是正確找出被積函數(shù)的原函數(shù)．

10、5. 解：為純虛數(shù)， ，解得：． 故選：D． 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由已知條件列出方程組，求解即可得答案． 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 6. 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，函數(shù)，可得函數(shù)的極值點(diǎn)為：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，并且，選項(xiàng)B、D滿足題意． 當(dāng)時(shí)，函數(shù)，選項(xiàng)D不正確，選項(xiàng)B正確． 故選：B． 利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的圖象即可． 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象的判斷，考查計(jì)算能力． 7. 【分析】 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)公式的應(yīng)用及函數(shù)值求

11、解本題求出是關(guān)鍵步驟． 先求出，令，求出后，導(dǎo)函數(shù)即可確定，再求． 【解答】 解：，令，得， ． ． 故選A． 8. 解：由可得有兩個(gè)零點(diǎn)，，且， 當(dāng)，或時(shí)，，即函數(shù)為減函數(shù)， 當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)， 即當(dāng)，函數(shù)取得極小值，當(dāng)，函數(shù)取得極大值， 故選：C 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性即可． 本題主要考查函數(shù)圖象的判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 9. 解：觀察數(shù)列?中，， 各組和式的第一個(gè)數(shù)為： 即， 其第n項(xiàng)為：． 第10項(xiàng)為：． 從而的第一個(gè)加數(shù)為91． 故選A． 觀察數(shù)列?中，各組和式的第一個(gè)數(shù)：找

12、出其規(guī)律，從而得出的第一個(gè)加數(shù)為91． 本小題主要考查歸納推理、等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力屬于中檔題． 10. 解：設(shè)是R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)； 時(shí)，； 在上單調(diào)遞減，； 由得，； ； ，且； ，或； 的解集為． 故選：B． 可設(shè)，根據(jù)條件可以判斷為偶函數(shù)，并可得到時(shí)，，從而得出在上單調(diào)遞減，并且，從而由便可得到，且，這樣即可得出原不等式的解集． 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法，知道偶函數(shù)等價(jià)于． 11. 解：若5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉，方法有種， 若5

13、個(gè)花池栽了4種顏色的花卉，則2、4兩個(gè)花池栽同一種顏色的花； 或者3、5兩個(gè)花池栽同一種顏色的花，方法有種， 若5個(gè)花池栽了3種顏色的花卉，方法有種， 故最多有種栽種方案， 故選D． 若5個(gè)花池栽了5種顏色的花卉，方法有種，若5個(gè)花池栽了4種顏色的花卉，方法有種，若5個(gè)花池栽了3種顏色的花卉，方法有種，相加即得所求． 本題主要考查排列、組合以及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 12. 解：根據(jù)題意，令， ，則為奇函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)， 又由函數(shù)為奇函數(shù)，則在上為減函數(shù)， ， 因?yàn)椋? 則有； 故選：B． 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，分

14、析可得為奇函數(shù)且在上為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得在上為減函數(shù)，分析有，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案． 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并分析的奇偶性與單調(diào)性． 13. 解：令，則； 再令，則， ， 故答案為：121． 在所給的式子中，分別令、，可得則的值． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題． 14. 解：設(shè)已知第一次取出的是白球?yàn)槭录嗀，第二次也取到白球?yàn)槭录﨎． 則由題意知，， 所以已知第一次取出的是白球，則第二次也取到白球的概率為． 故答案為：．

15、設(shè)已知第一次取出的是白球?yàn)槭录嗀，第二次也取到白球?yàn)槭录﨎，先求出的概率，然后利用條件概率公式進(jìn)行計(jì)算即可． 本題主要考查條件概率的求法，熟練掌握條件概率的概率公式是關(guān)鍵． 15. 解：表示x軸上方的半圓， ． 故答案為： 16. 解：由條件可知，三角形的面積公式是利用的等積法來(lái)計(jì)算的． 根據(jù)類比可以得到，將四面體分解為四個(gè)小錐體，每個(gè)小錐體的高為內(nèi)切球的半徑， 根據(jù)體積相等可得， 即內(nèi)切球的半徑， 故答案為． 由三角形的面積公式可知，是利用等積法推導(dǎo)的，即三個(gè)小三角形的面積之和等于大三角形ABC的面積，根據(jù)類比推理可知，將四面體分解為四個(gè)小錐體，則四個(gè)小錐體的條件之和

16、為四面體的體積，由此單調(diào)內(nèi)切球的半徑． 本題主要考查類比推理的應(yīng)用，要求正確理解類比的關(guān)系，本題的兩個(gè)結(jié)論實(shí)質(zhì)是利用了面積相等和體積相等來(lái)推導(dǎo)的． 17. 先排歌曲節(jié)目，再排其他節(jié)目，利用乘法原理，即可得出結(jié)論； 先排3個(gè)舞蹈，3個(gè)曲藝節(jié)目，再利用插空法排唱歌，即可得到結(jié)論； 兩個(gè)唱歌節(jié)目相鄰，用捆綁法，3個(gè)舞蹈節(jié)目不相鄰，利用插空法，即可得到結(jié)論． 本題考查排列組合知識(shí)，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題． 18. 此題主要考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性的判定，函數(shù)最值，函數(shù)、方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力及分析與解決問(wèn)題的能力． 首先求出函數(shù)

17、的導(dǎo)數(shù)，然后令，解出函數(shù)的極值點(diǎn)，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求解． 由求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在上的最大值和最小值． 19. Ⅰ利用公式展開(kāi)得前三項(xiàng)，系數(shù)和為22，即可求出n． Ⅱ利用通項(xiàng)公式求解展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)即可． 利用通項(xiàng)公式求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)． 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題． 20. 以C為原點(diǎn)，CA、CB、為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出兩個(gè)向量的方向向量，根據(jù)兩個(gè)向量所成的角得到兩條異面直線所成的角． 先求兩個(gè)平面的法向量，在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，有一個(gè)平面的法向量是已

18、知的，只要寫(xiě)出向量的表示形式就可以，另一個(gè)平面的向量需要求出，根據(jù)兩個(gè)法向量所成的角得到結(jié)果． 本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角問(wèn)題，包括兩條異面直線的夾角和兩個(gè)平面的夾角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系． 21. 根據(jù)直方圖知． 設(shè)事件根據(jù)直方圖得出求解即可． 以題意得出X的取值為． 據(jù)概率公式求解得出． 再求解分布列得出數(shù)學(xué)期望． 本題考查了離散型的隨機(jī)變量的分布列，頻率分布直方圖，數(shù)學(xué)期望的求解與運(yùn)用，屬于中檔題，需要很好地計(jì)算能力． 22. Ⅰ求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入，求得，再求出的值，利用直線方程的點(diǎn)斜式求曲線 在點(diǎn)處切線的方程； Ⅱ由Ⅰ中求出的，然后對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)和分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間； Ⅲ當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于在時(shí)恒成立構(gòu)造輔助函數(shù) ，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，則a的取值范圍可求． 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)求其最值是解答Ⅲ的關(guān)鍵，是壓軸題．