《2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學習過程》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學習過程(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022人教A版數(shù)學必修二 第二章 《直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)》學習過程
學習過程
知識點1:線面垂直的判定定理:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數(shù)學思想。
知識點2:面面垂直的判定定理:(1)在表示二面角的平面角時,要求“OA⊥L” ,OB⊥L;
(2)∠AOB的大小與點O在L上位置無關;
(3)當二面角的平面角是直角時,這兩個平
面的位置關系怎樣?
承上啟下,引導學生觀察,類比、自主探究, β B
獲得兩個平面互相垂直的判定定理:
一個平面過另一個平面
2、的垂線,則這兩個平面垂直。 C O A
知識點3:線面垂直的性質(zhì)定理:
1、操作確認
觀察長方體模型中四條側棱與同一個底面的位置關系。如圖2.3—4,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間是有什么位置關系?(顯然互相平行)然后進一步遷移活動:已知直線a⊥α 、b⊥α、那么直線a、b一定平行嗎?(一定)我們能否證明這一事實的正確性呢?
C1
D1
a
b
A1
B1
α
D
C
A
B
3、
圖2.3-4 圖2.3-5
2、推理證明
引導學生分析性質(zhì)定理成立的條件,介紹證明性質(zhì)定理成立的特殊方法——反證法,
然后師生互動共同完成該推理過程 ,最后歸納得出:
垂直于同一個平面的兩條直線平行。
知識點4:面面垂直的性質(zhì)定理:如圖,設α⊥β,α∩β=CD,ABα,AB⊥CD,且AB∩CD=B,我們看直線AB與平面β的位置關系。
在β內(nèi)作直線BE⊥CD,垂足為B,則∠ABE是二面角
α-CD-β的二面角,由α⊥β知,AB⊥BE,又AB⊥CD, BE與CD是β內(nèi)的兩條相交直線,所以AB⊥β。
一般地
4、,我們得到平面與平面垂直的性質(zhì)定理。
定理 兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
學習結論
1.線面垂直的判定定理:一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。
2.面面垂直的判定定理:一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直。
3.線面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個平面的兩條直線平行。
4.面面垂直的性質(zhì)定理:兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直
典型例題
例1、已知O是△ABC的外心,P是平面ABC外的一點,且PA=PB=PC,α是經(jīng)過PO的任意一個平面,則( ?。?
A.α⊥平面AB
5、C
B.α與平面ABC不垂直
C.α與平面ABC可能垂直也可能不垂直
D.以上都不對
答案:A
解析:由O是△ABC的外心,PA=PB=PC可得,PO⊥平面ABC,∴α⊥平面ABC.
例2、如圖,AB為⊙O的直徑,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任意一點,求證:平面PAC⊥平面PBC。
證明:設⊙O所在平面為α,由已知條件,有
PA⊥α,BC在α內(nèi),
所以,PA⊥BC,
因為,點C是不同于A,B的任意一點,AB為⊙O的直徑,
所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA
又因為PA與AC是△PAC所在平面內(nèi)的兩條相交直線,
所以,BC⊥平面PAC,
又
6、因為BC在平面PBC內(nèi),
所以,平面PAC⊥平面PBC。
例3、如圖,已知平面α,β滿足α⊥β,直線a滿足a⊥β,aα,試判斷直線a與平面α的位置關系。
解:在α內(nèi)作垂直于α與β交線的直線b,
因為α⊥β,所以b⊥β,
因為a⊥β,所以a∥b,
又因為aα,所以a∥α,
即直線a與平面α平行。
例4、設直線a,b分別在正方體ABCD-A’B’C’D”中兩個不同的平面內(nèi),欲使
a∥b,則a,b應滿足什么條件?
解析:a,b滿足下面條件中的任何一個,都能使a∥b,
(1)a,b同垂直于正方體一個面;
(2)a,b分別在正方體兩個相對的面內(nèi)且共面;
(3)a,b平行于同一條棱;
(4)如圖,E,F(xiàn),G,H分別為B’C’,CC’,AA’,AD的中點,EF所在的直線為a,GH所在直線為b,等等