2020版高考數學一輪復習 第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合教學案 理（含解析）北師大版

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1、第一節(jié)　集　合 [考綱傳真]　1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．(3)能使用Venn圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算． 1．元素與集合 (1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關系是屬于或不屬于，表示符號分別為∈和?. (3)集合的三種表

2、示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． (4)常見數集的記法 集合 自然數集 正整數集 整數集 有理數集 實數集 符號 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關系 (1)子集：若對任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A. (2)真子集：若A?B，但存在x∈B，且x?A，則AB或BA. (3)相等：若A?B，且B?A，則A＝B. (4)空集的性質：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本運算 (1)A∪B＝{x|x∈A或x∈B}； (2)A∩B＝{x|x∈A且x∈B}； (3)?UA＝{x|x∈U且x?A}． [常

3、用結論] 1．對于有限集合A，其元素個數為n，則集合A的子集個數為2n，真子集個數為2n－1，非空真子集個數為2n－2. 2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個集合都至少有兩個子集． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1. (　　) (4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點組成的集合是{1,4}. (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教

4、材改編)若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，則下列結論正確的是(　　) A．{a}?A　 　B．a?A　 　C．{a}∈A　 　D．a?A D　[由題意知A＝{0,1,2}，由a＝，知a?A.] 3．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，則A∪B中的元素個數為(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 C　[因為B＝{0,2,4}，所以A∪B＝{0,1,2,4}，元素個數為4，故選C.] 4．(教材改編)已知集合A＝{x|x2－x－6＜0}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________. (－2,1)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－

5、1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}．] 5．已知集合A＝{x2＋x,4x}，若0∈A，則x＝________. －1　[由題意，得或解得x＝－1.] 集合的基本概念 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個數為(　　) A．9　　　　B．8　　　　C．5　　　　D．4 A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個數為CC＝9，故選A.] 2．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則a＝

6、(　　) A. B. C．0 D．0或 D　[若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根． 當a＝0時，x＝，符合題意； 當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0得a＝， 所以a的取值為0或.] 3．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 019＋b2 019為(　　) A．1 B．0 C．－1 D．±1 C　[由已知得a≠0，則＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據集合中元素的互異性可知a＝1應舍去，因此a＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.] [規(guī)律方

7、法](1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數集、點集還是其他類型的集合., (2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意.分類討論的思想方法常用于解決集合問題. 集合的基本關系 【例1】　(1)(2019·長春質檢)已知集合M＝{0,1}，則滿足條件M∪N＝M的集合N的個數為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (2)已知集合A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}，B＝{x|－m＜x＜m}．若B?A，則m的取值范圍為________． (1)D　(2)(－∞，1]　[(1)由M∪N＝M得N?M，即找

8、集合M的子集個數，故滿足題意的集合N有：?，{0}，{1}，{0,1}，共4個． (2)當m≤0時，B＝?，顯然B?A， 當m＞0時，B≠?，因為A＝{x|(x＋1)(x－3)＜0}＝{x|－1＜x＜3}． 當B?A時，有 所以 所以0＜m≤1. 綜上所述，m的取值范圍為(－∞，1]．] [規(guī)律方法]　(1)若B?A，應分B＝?和B≠?兩種情況討論., (2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將兩個集合間的關系轉化為元素或區(qū)間端點間的關系，進而轉化為參數滿足的關系.解決這類問題常常要合理利用數軸、Venn圖，化抽象為直觀進行求解. 已知集合A＝{x|y＝，x∈R}，B

9、＝{x|x＝m2，m∈A}，則(　　) A．AB B．BA C．A?B D．B＝A B　[由題意知A＝{x|－1≤x≤1}， 所以B＝{x|x＝m2，m∈A}＝{x|0≤x≤1}， 因此BA.] 集合的基本運算 ?考法1　集合的交、并、補運算 【例2】　(1)(2019·陜西模擬)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|2x＜4}，則A∪B＝(　　) A．? B．{x|x∈R} C．{x|x≤1} D．{x|x＞2} (2)已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，則A＝(　　) A

10、．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} (1)B　(2)D　[(1)∵A＝{x|x2－3x＋2≥0}＝{x|x≥2或x≤1}， B＝{x|2x＜4}＝{x|x＜2}． ∴A∪B＝R，故選B. (2)法一：因為A∩B＝{3}，所以3∈A，又(?UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，則5?B(否則5∈A∩B)，從而5∈?UB，則(?UB)∩A＝{5,9}，與題中條件矛盾，故5?A.同理，1?A,7?A，故A＝{3,9}． 法二：本題也可以利用Venn圖幫助理解，如圖所示． ] ?考法2　利用集合的運算求參數 【例3】　(1)已知集合A＝{

11、1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于(　　) A．0或 B．0或3 C．1或 D．1或3 (2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠?，則實數a的取值范圍是(　　) A．[－1,2) B．(－∞，2] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)B　(2)D 　[(1)由A∪B＝A，得B?A，所以m∈A.因為A＝{1,3，}，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0.由集合中元素的互異性知m≠1，故選B. (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠?，結合數軸可得a＞－1. ] [規(guī)律方法]　解

12、決集合運算問題需注意以下三點： (1)看元素組成，集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構成入手是解決集合運算問題的前提. (2)看集合能否化簡，集合能化簡的先化簡，再研究其關系并進行運算，可使問題簡單明了，易于求解. (3)要借助Venn圖和數軸使抽象問題直觀化.一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數軸表示，并注意端點值的取舍. (1)設集合A＝{x|－1＜x≤2}，B＝{x|x＜0}，則下列結論正確的是(　　) A．A∪B＝{x|x＜0} B．(?RA)∩B＝{x|x＜－1} C．A∩B＝{x|－1＜x＜0} D．A∪(?RB)＝{x|x≥0} (2

13、)(2019·河北六校聯考)設全集U＝R，集合A＝{x|x－1≤0}，集合B＝{x|x2－x－6＜0}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{x|x＜3} B．{x|－3＜x≤1} C．{x|x＜2} D．{x|－2＜x≤1} (1)C　(2)D　[(1)由題知，A＝(－1,2]，B＝(－∞，0)，∴A∪B＝(－∞，2]，A∩B＝(－1,0)，(?RA)∩B＝(－∞，－1]，A∪(?RB)＝(－1，＋∞)，故選C. (2)依題意得A＝{x|x≤1}，B＝{x|－2＜x＜3}，題圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{x|－2＜x≤1}，故選D.] 1．(2018·全國卷

14、Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，則?RA＝(　　) A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2} C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2} B　[法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以?RA＝{x|－1≤x≤2}，故選B. 法二：因為A＝{x|x2－x－2＞0}，所以?RA＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故選B.] 2．(2017·全國卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，則(　　) A．A∩B＝{x|x＜0}　　　　　 B．A∪B＝R C．A∪B＝{x|

15、x＞1} D．A∩B＝? A　[∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}． 又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故選A.] 3．(2017·全國卷Ⅱ)設集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，則B＝(　　) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5} C　[∵A∩B＝{1}，∴1∈B. ∴1－4＋m＝0，即m＝3. ∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}． 故選C.] 4．(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x

16、}，則A∩B中元素的個數為(　　) A．3　　　　　B．2 C．1　　　　　D．0 B　[集合A表示以原點O為圓心，半徑為1的圓上的所有點的集合， 集合B表示直線y＝x上的所有點的集合． 結合圖形可知，直線與圓有兩個交點， 所以A∩B中元素的個數為2. 故選B.] 5．(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z)，則A∪B＝(　　) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3} C　[因為B＝{x|(x＋1)(x－2)＜0，x∈Z}＝{x|－1＜x＜2，x∈Z}＝{0,1}，又A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．] - 7 -