2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析)

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1、2022年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(含解析) 注意事項(xiàng)： 一、選擇題（每題5分，共60分） 1.1.命題“?x∈R,ex>0”的否定是( ) A. ?x∈R,ex≤0 B. ?x∈R,ex≤0 C. ?x∈R,ex>0 D. ?x∈R,ex≠0 【答案】B 【解析】 【分析】 命題的否定，將量詞與結(jié)論同時否定，即可得到答案 【詳解】命題的否定，將量詞與結(jié)論同時否定 則命題“”的否定是“” 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是命題的否定，解題的關(guān)鍵是掌握命題的否定，將量詞與結(jié)論同時否定，屬于基礎(chǔ)題。 2.2.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合,則P的值為(?

2、? ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 求得橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得，即可求得結(jié)果 【詳解】由橢圓， 解得 故橢圓的右焦點(diǎn)為 則拋物線的焦點(diǎn)為 則，解得 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查的是拋物線的簡單性質(zhì)，根據(jù)橢圓方程求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可確定出的值，屬于基礎(chǔ)題。 3.3.已知是橢圓的兩焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)A、B,若,則(??? ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 由橢圓的方程求出橢圓的長軸長，再由橢圓的定

3、義結(jié)合求得結(jié)果 【詳解】如圖， 由橢圓可得：，則 又 且 則 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的定義即橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離之和為，屬于基礎(chǔ)題。 4.4.設(shè) O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn),若,則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)出的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出，然后結(jié)合 得到關(guān)于的方程，解方程即可確定點(diǎn)的坐標(biāo) 【詳解】設(shè)的坐標(biāo)為 為拋物線的焦點(diǎn)， ， 解得， 點(diǎn)的坐標(biāo)為或 故選 【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于拋物線與向量

4、的綜合題目，需要熟練掌握拋物線的性質(zhì)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求出向量的點(diǎn)乘來計(jì)算結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題。 5.5.函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在,若P:;q:是的極值點(diǎn),則(?? ?) A. P是q的充分必要條件 B. P是q的充分條件,但不是的必要條件 C. P是q的必要條件,但不是q的充分條件 D. P既不是q的充分條件,也不是的必要條件 【答案】C 【解析】 【分析】 函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)存在，由是的極值點(diǎn)，反之不成立，即可判斷出結(jié)論 【詳解】根據(jù)函數(shù)極值的定義可知，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則一定成立 但當(dāng)時，函數(shù)不一定取得極值， 比如函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，，但函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值 則是的必要條件，

5、但不是的充分條件 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題及其關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的極值的定義可以判斷函數(shù)取得極值和導(dǎo)數(shù)值為的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 6.6.若曲線在點(diǎn)(0, b)處的切線方程是, 則( ? ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵y′＝2x＋a， ∴曲線y＝x2＋ax＋b在(0，b)處的切線方程的斜率為a，切線方程為y－b＝ax， 即ax－y＋b＝0. ∴a＝1，b＝1. 選A 點(diǎn)睛： 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參

6、數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解. 視頻 7.7.橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m=(?? ?) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)題意求出長半軸和短半軸的長度，利用長軸長是短軸長的兩倍，解方程即可求出的值 【詳解】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： 橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且長軸長是短軸長的兩倍 ，解得 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后結(jié)合題意列出方程進(jìn)行求解，較為基礎(chǔ) 8.8.設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F,虛軸的一個端點(diǎn)為B,如果直線FB與該雙曲線

7、的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：設(shè)該雙曲線方程為得點(diǎn)B（0，b），焦點(diǎn)為F（c，0），直線FB的斜率為由垂直直線的斜率之積等于-1，建立關(guān)于a、b、c的等式，變形整理為關(guān)于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率； 設(shè)該雙曲線方程為可得它的漸近線方程為，焦點(diǎn)為F（c，0），點(diǎn)B（0，b）是虛軸的一個端點(diǎn)，∴直線FB的斜率為，∵直線FB與直線互相垂直，∵雙曲線的離心率e＞1，∴e=,故選：D 考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì) 視頻 9.9.設(shè)P是雙曲線上一點(diǎn),雙曲線的一條漸近線方

8、程為,分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn),若,則(?? ) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 由雙曲線的方程，漸近線的方程求出，由雙曲線的定義求出 【詳解】由雙曲線的方程，漸近線的方程可得：，解得 由雙曲線的定義可得： 解得 故選 【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行計(jì)算求出結(jié)果，較為簡單，屬于基礎(chǔ)題 10.10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(?? ) A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由三視圖得到幾何體為四棱錐，

9、根據(jù)圖中數(shù)據(jù)明確底面和高，即可求得該幾何體的體積． 【詳解】由已知三視圖得到幾何體是四棱錐，底面是兩邊分別為1，的平行四邊形，高為1，如圖所示： ∴該幾何體的體積為 故選B. 【點(diǎn)睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀. 11.11.已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1,則BC1與DB1的距

10、離為(???) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 連接，，取的中點(diǎn)，連接，，則∥，可得∥平面，從而與的距離為與平面的距離，即到平面的距離，利用等體積可求． 【詳解】連接，，取的中點(diǎn)，連接，，則∥. ∵?平面，?平面 ∴∥平面 ∴與的距離為與平面的距離，即到平面的距離 在中，，，， ∴ 設(shè)到平面的距離為，則由，可得. ∴ 故選C. 【點(diǎn)睛】本題考查線線距離，解題的關(guān)鍵是將與的距離轉(zhuǎn)化為到平面的距離，從而利用等體積求解．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形

11、的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值． 12.12.已知函數(shù)有極大值和極小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(?? ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可推出其導(dǎo)數(shù)有兩個不等的實(shí)根，利用二次方程根的判別式，即可求得． 【詳解】∵ ∴ ∵函數(shù)有極大值和極小值 ∴ ∴或 故選D. 【點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等）， 若是不等式有解或恒成立問題

12、，可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，若是二次函數(shù)的零點(diǎn)問題，可通過相應(yīng)的二次方程的判別式來求解． 第Ⅱ卷（非選擇題） 二.填空題（每題5分，共20分）． 13.13.直線L與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)且AB的中點(diǎn)為M（1、1），則L的方程為________ 【答案】. 【解析】 【分析】 設(shè)出、兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用點(diǎn)差法求出直線斜率，繼而得到直線方程 【詳解】設(shè)、 則 相減可得： 有 中點(diǎn)為 故 的方程為： 即 故答案為 【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線之間的位置關(guān)系，當(dāng)遇到含有中點(diǎn)的題目時，可以采用點(diǎn)差法來求出直線斜率，繼而可得直線方程 14.14.

13、數(shù)列滿足,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式________ 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)已知條件，找出已知和未知的聯(lián)系，通過構(gòu)造等比數(shù)列，利用其通項(xiàng)公式，得到結(jié)果 【詳解】， ，則 數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 ， 故答案為 【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意已知和未知的結(jié)合，找出相關(guān)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。 15.15.設(shè)x,y滿足約束條件，則的最大值為_________ 【答案】9. 【解析】 【分析】 根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)，再利用的幾何意義求出最值，只需要求出直線過可行域內(nèi)的點(diǎn)時，從而得到的最大值即可 【詳解】不等式組

14、表示的平面區(qū)域如圖所示： 由可得點(diǎn) 當(dāng)直線過點(diǎn)時，在軸上的截距最小， 此時，取得最大值 故答案為 【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，在不同區(qū)域取得不同最值，只要按照線性規(guī)劃的解題方法來求解即可 16.16.在棱長為1的正方體中,E為的中點(diǎn),在面ABCD中取一點(diǎn)F,使最小,則最小值為__________. 【答案】. 【解析】 如圖，將正方體關(guān)于面對稱，則就是所求的最小值，． 三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟共70分 ） 17.17.已知曲線方程為,求: （1）點(diǎn)處的切線方程 （2）過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程. 【答案】(1) .

15、(2) 或. 【解析】 【分析】 求導(dǎo)后算出在點(diǎn)處的斜率然后求出切線方程 切點(diǎn)坐標(biāo)為，求導(dǎo)后算出直線方程，將點(diǎn)代入求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而計(jì)算出直線方程 【詳解】(1) . 又點(diǎn)在曲線上,∴.故所求切線的斜率, 故所求切線的方程為,即. (2)∵點(diǎn)不在曲線上,∴設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為, 由(1)知,∴切線的斜率,切線方程為. 又∵點(diǎn)在切線上,∴解得或. ∴切點(diǎn)坐標(biāo)為,. 故所求切線方程為或, 即或. 【點(diǎn)睛】解題的思路是求出曲線解析式的導(dǎo)函數(shù)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求出切線的斜率，進(jìn)而寫出切線方程，要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則以及會根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫出直線的方程。 18.18.在銳角中,

16、分別為角所對的邊,且 （1）求角C的大小; （2）若,且的面積為,求a+b的值. 【答案】(1) . (2)5. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理邊化角轉(zhuǎn)化為即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得邊c 試題解析： 解： （1）由正弦定理得， ∵是銳角，∴，故. （2）∵，∴ 由余弦定理得 ∴ 點(diǎn)睛：在解三角形問題時多注意正余弦定理的結(jié)合運(yùn)用，正弦定理主要用在角化邊和邊化角上，而余弦定理通常用來求解邊長 視頻 19.19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)證明：BC1∥平面A

17、1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 (1)連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)． 又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則BC1∥DF.因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，的方向?yàn)閥軸正方向，的方向?yàn)閦軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.設(shè)CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)． 設(shè)n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD

18、的法向量， 則即可取n＝(1，－1，－1)． 同理，設(shè)m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量， 則即可取m＝(2,1，－2)． 從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝ 即二面角D－A1C－E的正弦值為 20.20.如下圖,已知橢圓,分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),A為橢圓的上頂點(diǎn),直線交橢圓于另一點(diǎn)B. (1)若,求橢圓的離心率; (2)若橢圓的焦距為2,且,求橢圓的方程. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 ，則為等腰直角三角形， 根據(jù)勾股定理可得橢圓的離心率 由，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求出的坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得

19、橢圓方程。 【詳解】 (1)若,則為等腰直角三角形 所以有 即 所以, (2)由題知,,設(shè) 由,即 解得, 代入,得 即,解得， 所以橢圓方程為 【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，結(jié)合向量知識求出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可算出答案，本題解題思路清晰，題目較為基礎(chǔ) 21.21.已知拋物線的焦點(diǎn)F,C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5. （1）求C的方程; （2）過F作直線l,交C于A,B兩點(diǎn),若直線AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求直線l的方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】 法一：利用已知條件列出方程組，求解即可 法二：利用拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的

20、定義列出方程，求解即可 法一：由可得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法，求出線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，得到直線的斜率，求出直線方程 法二：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，通過線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求出即可 【詳解】法一:拋物線: 的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知 解得或∵, ∴∴的方程為. 法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可知解得 ∴的方程為. 2.法一:由(1)得拋物線C的方程為,焦點(diǎn) 設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,則 兩式相減,整理得 ∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ∴直線的斜率 直線的方程為即 分法二:由(1)得拋物線的方程為,焦點(diǎn) 設(shè)直線的方程為由

21、 消去,得設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為, ∵線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為∴解得 直線的方程為即 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對于涉及到中點(diǎn)弦的問題，一般采用點(diǎn)差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設(shè)出，設(shè)直線方程時要注意考慮斜率的問題，此題可設(shè)直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關(guān)系，求出未知參數(shù)。 22.22.已知函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間; （2）求在區(qū)間上的最小值 【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是;單調(diào)遞增區(qū)間是. （2）. 【解析】 【分析】 對函數(shù)求導(dǎo)，令，，所得的解區(qū)間即為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 根據(jù)中的結(jié)論，并對分類討

22、論，分別得到在不同取值區(qū)間內(nèi)的最小值 【詳解】(1).令,得.當(dāng)變化時,與的變化情況如下: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 + ? ? ? ? ? ? ↘ ? ? ? ? ? ? ↗ 所以的單調(diào)遞減區(qū)間是;單調(diào)遞增區(qū)間是. (2)當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上的最小值為; 當(dāng),即,由1知在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上的最小值為. 當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以在區(qū)間上的最小值為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)并判斷函數(shù)單調(diào)性與極值的方法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，尤其含有參量時的導(dǎo)數(shù)需要進(jìn)行分類討論