高中數(shù)學(xué) 第3、4章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)綜合測(cè)試題 北師大版必修1

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1、高中數(shù)學(xué) 第3、4章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)綜合測(cè)試題 北師大版必修1 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.若logx=z,則x,y,z之間滿足(  ) A.y7=xz        B.y=x7z C.y=7xz D.y=zx [答案] B [解析] logxy=z,logxy=z,y=x7z. 2.設(shè)集合M={x|x≤m},N={y|y=3-x,x∈R},若M∩N≠?,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(  ) A.m≥0 B.m>0 C.m≤0 D.m<0 [答案] B [解析] N=(0,+∞),要使M∩N

2、≠?,利用數(shù)軸易知m>0. 3.設(shè)f(x)=3x-x2,則在下列區(qū)間中,使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是(  ) A.[0,1] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-1,0] [答案] D [解析] ∵f(-1)=3-1-(-1)2=-1=-<0,f(0)=30-02=1>0, ∴f(-1)·f(0)<0, ∴有零點(diǎn)的區(qū)間是[-1,0]. 4.函數(shù)f(x)=x+的零點(diǎn)是(  ) A.1 B.-1 C.±1 D.不存在 [答案] D [解析] 由f(x)=0知f(x)不存在零點(diǎn). 5.(xx·陜西高考)設(shè)a,b,c均不等于1的正實(shí)數(shù),則下列等式中恒成立的是(  )

3、 A.logab·logcb=logca B.logab·logca=logcb C.loga(bc)=logab·logac D.loga(b+c)=logab+logac [答案] B [解析] 由換底公式得logab·logca=·==logcb,B正確. 6.若a>a,則a的范圍是(  ) A.a(chǎn)>1 B.0 [答案] B [解析] ∵<,a>a, ∴y=ax在(0,+∞)上是減函數(shù). ∴0

4、f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù) C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù) D.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù) [答案] B [解析] f(x)=3x+3-x且定義域?yàn)镽,則f(-x)=3-x+3x,∴f(x)=f(-x),∴f(x)為偶函數(shù). 同理得g(-x)=-g(x),∴g(x)為奇函數(shù).故選B. 8.(),(),()的大小關(guān)系為(  ) A.()>()>() B.()>()>() C.()>()>() D.()>()>() [答案] D [解析] ∵y=()x為減函數(shù),<, ∴()>(). 又∵y=x在(0,+∞)上為增函數(shù),且>, ∴()>(), ∴()

5、>()>().故選D. 9.生物學(xué)中指出:生態(tài)系統(tǒng)中,在輸入一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)的能量中,大約只有10%~20%的能量能夠流動(dòng)到下一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí),在H1→H2→H3→H4→H5→H6這條生物鏈中,若能使H6獲得10kJ的能量,則需要H1最多提供的能量是(  ) A.107kJ B.106kJ C.105kJ D.104kJ [答案] B [解析] 設(shè)H1最多提供的能量為xkJ,則x·()5=10,即x=106. 10.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(a)>f(-a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(

6、-∞,-1)∪(0,1) [答案] C [解析] 解法1:由圖像變換知函數(shù)f(x)圖像如圖, 且f(-x)=-f(x),即f(x)為奇函數(shù), ∴f(a)>f(-a)化為f(a)>0, ∴當(dāng)x∈(-1,0)∪(1,+∞)時(shí),f(a)>f(-a),故選C. 解法2:①若a>0,則-a<0, ∴l(xiāng)og2a>a?log2a>log2?a>?a>1. ②若a<0,則-a>0, (-a)>log2(-a)? log2(-)>log2(-a)?->-a ?a2<1?a∈(-1,1). 又∵a<0,∴-1

7、卷(非選擇題 共100分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分,把答案填在題中橫線上) 11.已知函數(shù)y=f(2x)定義域?yàn)閇-1,1],則函數(shù)y=f(log2x)的定義域?yàn)開(kāi)_________. [答案] [,4] [解析] ∵函數(shù)y=f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1], ∴-1≤x≤1,∴≤2x≤2, ∴函數(shù)y=f(log2x)中,≤log2x≤2, ∴≤x≤4, ∴函數(shù)y=f(log2x)的定義域?yàn)閇,4]. 12.若函數(shù)y=mx2+x-2沒(méi)有零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. [答案] (-∞,-) [解析] 當(dāng)m=0時(shí),函數(shù)有零點(diǎn), 所

8、以應(yīng)有 解得m<-. 13.已知函數(shù)f(x)=,則f[f()]的值是__________. [答案]?。? [解析] ∵f(x)=, ∴f[f()]=f[log2(3×+1)]=f(log28)=f(3) =33=33=-3. 14.某類產(chǎn)品按質(zhì)量可分10個(gè)檔次(第1檔次為最低檔次,第10檔次為最高檔次),最低檔次的產(chǎn)品,每件利潤(rùn)為8元,如果產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次,則每件利潤(rùn)增加2元;最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件,用同樣的工時(shí),每提高一個(gè)檔次將少生產(chǎn)3件產(chǎn)品,則生產(chǎn)第__________檔次的產(chǎn)品,所獲利潤(rùn)最大. [答案] 9 [解析] 設(shè)生產(chǎn)第x檔次的產(chǎn)品獲利為y元,則 y=

9、[8+2×(x-1)][60-3(x-1)]=(6+2x)(63-3x)=6(x+3)(21-x)=6(-x2+18x+63) =-6(x-9)2+864. ∴當(dāng)x=9時(shí),y取最大值,即獲利最大. 15.給出以下結(jié)論,其中正確結(jié)論的序號(hào)是________. ①函數(shù)圖像通過(guò)零點(diǎn)時(shí),函數(shù)值一定變號(hào) ②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào) ③函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),若滿足f(a)·f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上一定有實(shí)根 ④“二分法”對(duì)連續(xù)不斷的函數(shù)的所有零點(diǎn)都有效 [答案]?、冖? [解析] 零點(diǎn)有變號(hào)零點(diǎn)與不變號(hào)零點(diǎn),故①不對(duì);“二分法”針對(duì)的是連

10、續(xù)不斷的函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn),故④不對(duì).據(jù)零點(diǎn)的性質(zhì)知②③都正確. 三、解答題(本大題共6個(gè)小題,滿分75分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟) 16.(本小題滿分12分)(1)計(jì)算:(2)+(lg5)0+()-; (2)解方程:log3(6x-9)=3. [解析] (1)原式=()+(lg5)0+[()3] -=+1+=4. (2)由方程log3(6x-9)=3得 6x-9=33=27, ∴6x=36=62,∴x=2. 經(jīng)檢驗(yàn),x=2是原方程的解. ∴原方程的解為x=2. 17.(本小題滿分12分)已知函數(shù)y=log4(2x+3-x2), (1)求函數(shù)的定義域; (2

11、)求y的最大值,并求取得最大值時(shí)的x值. [解析] (1)由真數(shù)2x+3-x2>0,解得-1

12、x≥1時(shí),由2x-2-=0得x=; 當(dāng)x<1時(shí),由x2-2x-=0得x=(舍去)或x=. ∴函數(shù)g(x)=f(x)-的零點(diǎn)是或. 19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)y=a2x+2ax+3(a>0,a≠1)在區(qū)間[-1,1]上有最大值11,試求a的值. [解析] y=a2x+2ax+3=(ax)2+2ax+3 =(ax+1)2+2, 令ax=t,則y=(t+1)2+2, 當(dāng)a>1時(shí),因?yàn)椋?≤x≤1,所以≤ax≤a, 即≤t≤a. 因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱軸為t=-1,所以當(dāng)t=a時(shí)函數(shù)取最大值,所以(a+1)2+2=11,所以a=2; 當(dāng)0

13、, 即a≤t≤,所以當(dāng)t=時(shí)函數(shù)取最大值, 所以2+2=11,所以a=. 綜上所述,a的值是2或. 20.(本小題滿分13分)已知f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a>0且a≠1). (1)求f(x)+g(x)的定義域; (2)判斷f(x)+g(x)的奇偶性并說(shuō)明理由; (3)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合. [解析] (1)f(x)+g(x)的定義域需滿足 ∴-1

14、x), 又因?yàn)镕(x)的定義域?yàn)?-1,1)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 所以f(x)+g(x)為偶函數(shù). (3)由f(x)+g(x)<0得 loga(x+1)+loga(1-x)<0, ∴ 當(dāng)a>1時(shí)得x∈(-1,0)∪(0,1); 當(dāng)01時(shí),使f(x)+g(x)<0成立的x的集合為(-1,0)∪(0,1);當(dāng)0

15、系式分別符合下列函數(shù)模型:f(x)=a1x2+b1x+6,g(x)=a23x+b2(a1,a2,b1,b2∈R). (1)求甲、乙兩個(gè)工廠今年5月份的利潤(rùn); (2)在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)f(x)與g(x)的草圖,并根據(jù)草圖比較今年甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn)的大小情況. [解析] (1)依題意:由,有, 解得:a1=4,b1=-4,∴f(x)=4x2-4x+6. 由,有, 解得a2=,b2=5,∴g(x)=×3x+5=3x-1+5. 所以甲廠在今年5月份的利潤(rùn)為f(5)=86萬(wàn)元,乙廠在今年5月份的利潤(rùn)為g(5)=86萬(wàn)元,故有f(5)=g(5),即甲、乙兩個(gè)工廠今年5月份的利潤(rùn)相等. (2)作函數(shù)圖像如下: 從圖中可以看出今年甲、乙兩個(gè)工廠的利潤(rùn): 當(dāng)x=1或x=5時(shí),有f(x)=g(x); 當(dāng)1g(x); 當(dāng)5

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