2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教B版選修2-1

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1、 第三章 空間向量與立體幾何 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的運算法則及運算律.2.掌握空間向量數(shù)量積的運算及其應(yīng)用，會用數(shù)量積解決垂直問題、夾角問題.3.理解空間向量基本定理，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.4.會用基向量法、坐標(biāo)法表示空間向量.5.會用向量法解決立體幾何問題． 知識點一　空間中點、線、面位置關(guān)系的向量表示 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為μ，v，則 線線平行 l∥m?a∥b?a＝kb，k∈R 線面平行 l∥α?________?________ 面面平行 α∥β?μ∥v?__________ 線線垂直 l⊥m?

2、________?________ 線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ，k∈R 面面垂直 α⊥β?μ⊥v?__________ 線線夾角 l，m的夾角為θ(0≤θ≤)，cos θ＝________________ 線面夾角 l，α的夾角為θ(0≤θ≤)，sin θ＝________________ 面面夾角 α，β的夾角為θ(0≤θ≤)，cos θ＝________________ 知識點二　用坐標(biāo)法解決立體幾何問題 步驟如下： (1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系； (2)寫出相關(guān)點的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)； (3)進行相關(guān)坐標(biāo)的運算； (4)寫出幾何意義下的結(jié)論．

3、 關(guān)鍵點如下： (1)選擇恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．坐標(biāo)系的選取很重要，恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使得點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)易求且簡單，簡化運算過程． (2)點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)的確定．將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量的問題，必須確定點的坐標(biāo)、直線的方向向量、平面的法向量，這是最核心的問題． (3)幾何問題與向量問題的轉(zhuǎn)化．平行、垂直、夾角問題都可以通過向量計算來解決，如何轉(zhuǎn)化也是這類問題解決的關(guān)鍵． 類型一　空間向量及其運算 例1　如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2.給出以下結(jié)論： ①＋＋＋＝0； ②＋－－＝0； ③－＋－＝0； ④·＝·；

4、 ⑤·＝0. 其中正確結(jié)論的序號是________． 反思與感悟　向量的表示與運算的關(guān)鍵是熟練掌握向量加減運算的平行四邊形法則、三角形法則及各運算公式，理解向量運算法則、運算律及其幾何意義． 跟蹤訓(xùn)練1　如圖，在平行六面體A1B1C1D1—ABCD中，M分成的比為，N分成的比為2，設(shè)＝a，＝b，＝c，試用a、b、c表示. 類型二　利用空間向量解決位置關(guān)系問題 例2　四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中點，求證： (1)PC∥平面EBD； (2)平面PBC⊥平面PCD. 反思與感悟　(1)證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線

5、的方向向量是共線向量． (2)證明線面平行的方法 ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直． ②能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線． ③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量． (3)證明面面平行的方法 ①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理． ②證明這兩個平面的法向量是共線向量． (4)證明兩條直線垂直，只需證明這兩條直線的方向向量垂直． (5)證明線面垂直的方法 ①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量． ②證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直． (6)證明面面垂直的方法 ①轉(zhuǎn)化為證明線面垂直． ②證明兩

6、個平面的法向量互相垂直． 跟蹤訓(xùn)練2　正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點，求證：平面AED⊥平面A1FD1. 類型三　利用空間向量求角 例3　如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形． (1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)； (2)求直線AF與平面α所成角的正弦值． 反思與感悟　用向量法求空間角的注意點 (1)異面直線所成角：兩異面直線所成角范圍為0°<θ≤90°，

7、需找到兩異面直線的方向向量，借助方向向量所成角求解． (2)直線與平面所成的角：要求直線a與平面α所成的角θ，先求這個平面α的法向量n與直線a的方向向量a的夾角的余弦cos〈n，a〉，再利用公式sin θ＝|cos〈n，a〉|，求θ. (3)二面角：如圖，有兩個平面α與β，分別作這兩個平面的法向量n1與n2，則平面α與β所成的角跟法向量n1與n2所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點． (1)求證：GF∥平面ADE；

8、 (2)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值． 1．已知空間四邊形ABCD，G是CD的中點，則＋(＋)等于(　　) A. B. C. D. 2．若a＝(0，1，－1)，b＝(1，1，0)，且(a＋λb)⊥a，則實數(shù)λ的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－2 3．已知向量a＝(4－2m，m－1，m－1)與b＝(4，2－2m，2－2m)平行，則m＝________. 4．已知平面α經(jīng)過點O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內(nèi)任意一點，則x，y，z滿足的關(guān)系式是________． 5．已知空間三

9、點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設(shè)a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求向量c； (2)求向量a與向量b的夾角的余弦值． 解決立體幾何中的問題，可用三種方法：幾何法、基向量法、坐標(biāo)法．幾何法以邏輯推理作為工具解決問題；基向量法利用向量的概念及其運算解決問題；坐標(biāo)法利用數(shù)及其運算來解決問題．坐標(biāo)方法經(jīng)常與向量運算結(jié)合起來使用． 提醒：完成作業(yè)　第三章　章末復(fù)習(xí)課 答案精析 知識梳理 知識點一 a⊥μ　a·μ＝0　μ＝kv，k∈R　a⊥b a·b＝0　μ·v＝0　　 題型探究 例1?、邰? 解析　容易推出－＋－＝＋＝0，

10、所以③正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2·2·cos∠ASB，·＝2·2·cos∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是·＝·，因此④正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是③④. 跟蹤訓(xùn)練1　解　連接AN， 則＝＋， 由已知ABCD是平行四邊形， 故＝＋＝a＋b， 又M分成的比為， 故＝－＝－(a＋b)． 由已知，N分成的比為2，故 ＝＋＝－＝－ ＝(c＋2b)． 于是＝＋ ＝－(a＋b)＋(c＋2b) ＝(－a＋b＋c)． 例2　證明　如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別以DC，DA，DP所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角

11、坐標(biāo)系． 設(shè)DC＝a，PD＝b，則D(0，0，0)，C(a，0，0)，B(a，a，0)，P(0，0，b)，E(0，，)． (1)＝(0，，)，＝(a，a，0)． 設(shè)平面EBD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則即 令x＝1，得n＝(1，－1，)， 因為·n＝(a，0，－b)·(1，－1，)＝0， 所以⊥n，故PC∥平面EBD. (2)由題意得平面PDC的一個法向量為＝(0，a，0)， 又＝(a，a，－b)，＝(a，0，－b)， 設(shè)平面PBC的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)， 則即 得y1＝0，令x1＝1，則z1＝， 所以m＝(1，0，)， 因為·m＝(0，a

12、，0)·(1，0，)＝0， 所以⊥m，即平面PBC⊥平面PCD. 跟蹤訓(xùn)練2　證明　如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 設(shè)正方體棱長為1，則 E， D1(0，0，1)， A(1，0，0)， F. ∴＝(1，0，0)＝，＝，＝.設(shè)m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)分別是平面AED和A1FD1的一個法向量， 由得 令y1＝1，得m＝(0，1，－2)． 又由得 令z2＝1，得n＝(0，2，1)． ∵m·n＝(0，1，－2)·(0，2，1)＝0， ∴m⊥n，故平面AED⊥平面A1FD1. 例3　解　(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示， (2)

13、作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EM＝AA1＝8. 因為EHGF為正方形， 所以EH＝EF＝BC＝10. 于是MH＝＝6， 所以AH＝10. 以D為坐標(biāo)原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(10，0，0)，H(10，10，0)， E(10，4，8)，F(xiàn)(0，4，8)，＝(10，0，0)， ＝(0，－6，8)． 設(shè)n＝(x，y，z)是平面EHGF的法向量， 則即 所以可取n＝(0，4，3)．又＝(－10，4，8)，故|cos〈n，〉|＝＝. 所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為. 跟蹤訓(xùn)練3　方法一 (1)證明　如圖，取AE

14、的中點H，連接HG，HD， 又G是BE的中點， 所以GH∥AB，且GH＝AB. 又F是CD的中點， 所以DF＝CD. 由四邊形ABCD是矩形， 得AB∥CD，AB＝CD， 所以GH∥DF，且GH＝DF， 從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH. 又DH?平面ADE，GF?平面ADE， 所以GF∥平面ADE. (2)解　如圖，在平面BEC內(nèi)，過B點作BQ∥EC. 因為BE⊥CE，所以BQ⊥BE. 又因為AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ. 以B為原點，分別以，，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 則A(0，0，2)，B(0

15、，0，0)，E(2，0，0)， F(2，2，1)． 因為AB⊥平面BEC，所以＝(0，0，2)為平面BEC的法向量．設(shè)n＝(x，y，z)為平面AEF的法向量． 又＝(2，0，－2)，＝(2，2，－1)， 由得 取z＝2，得n＝(2，－1，2)． 從而|cos〈n，〉|＝＝＝，所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為. 方法二　(1)證明　如圖，取AB中點M，連接MG，MF. 又G是BE的中點，可知GM∥AE. 又AE?平面ADE，GM?平面ADE， 所以GM∥平面ADE. 在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點得MF∥AD. 又AD?平面ADE，M

16、F?平面ADE. 所以MF∥平面ADE. 又因為GM∩MF＝M，GM?平面GMF，MF?平面GMF， 所以平面GMF∥平面ADE. 因為GF?平面GMF， 所以GF∥平面ADE. (2)同方法一． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．A　2.D　3.1或3 4．x＋y＋z＝0 5．解　(1)∵c∥，∴存在實數(shù)m， 使得c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)． ∵|c|＝3， ∴ ＝3|m|＝3， ∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)． (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1. 又∵|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝－， 即向量a與向量b的夾角的余弦值為－. 11