(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語學(xué)案

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1、 第一章 集合與常用邏輯用語 第一節(jié)集__合 1.集合的相關(guān)概念 (1)集合元素的三個特性:確定性、無序性、互異性. (2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于,記為∈;不屬于,記為?. (3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法. (4)五個特定的集合: 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N*或N+ Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系   表示 關(guān)系   文字語言 符號語言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或 B?A 真子集 集合A是集合B的子集,

2、且集合B中至少有一個元素不屬于A A?B,且存在x0∈B,x0?A AB或 BA 相等 集合A,B的元素完全相同 A?B, B?A A=B 空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集 任意的x,x??,??A ? 3.集合的基本運算   表示 運算   文字語言 符號語言 圖形語言 記法 交集 屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A,且x∈B} A∩B 并集 屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 {x|x∈A,或x∈B} A∪B 補集 全集U中不屬于集合A的元素組成的集合 {x|x∈U,且x?A}

3、 ?UA 4.集合問題中的幾個基本結(jié)論 (1)集合A是其本身的子集,即A?A; (2)子集關(guān)系的傳遞性,即A?B,B?C?A?C; (3)A∪A=A∩A=A,A∪?=A,A∩?=?,?UU=?,?U?=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B. [小題體驗] 1.已知集合A={1,2},B={x|0

4、(x+1)(x-2)<0},B={x|0≤x≤3},則A∩B=________. 答案:{x|0≤x<2} 1.認(rèn)清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合是正確求解集合問題的兩個先決條件. 2.解題時注意區(qū)分兩大關(guān)系:一是元素與集合的從屬關(guān)系;二是集合與集合的包含關(guān)系. 3.易忘空集的特殊性,在寫集合的子集時不要忘了空集和它本身. 4.運用數(shù)軸圖示法易忽視端點是實心還是空心. 5.在解決含參數(shù)的集合問題時,要注意檢驗集合中元素的互異性,否則很可能會因為不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯誤. [小題糾偏] 1.設(shè)全集U=R,集合A={x|7-6x≤0},集合B={x|y

5、=lg(x+2)},則(?UA)∩B等于(  ) A. B. C. D. 解析:選A 依題意得A=,?UA=;B={x|x+2>0}={x|x>-2},因此(?UA)∩B=. 2.已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},則滿足A∪B={0,1,2}的集合B的個數(shù)為________. 解析:由A中的不等式解得0≤x≤2,x∈N,即A={0,1,2}.∵A∪B={0,1,2},∴B可能為{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},?,共8個. 答案:8 3.已知集合A={0, x+1,x2-5x},若-4∈A,則實數(shù)x的值為________. 解

6、析:∵-4∈A,∴x+1=-4或x2-5x=-4. ∴x=-5或x=1或x=4. 若x=1,則A={0, 2,-4},滿足條件; 若x=4,則A={0, 5,-4},滿足條件; 若x=-5,則A={0,-4,50},滿足條件. 所以x=1或x=4或-5. 答案:1或4或-5 [題組練透] 1.(易錯題)已知集合A={1,2,4},則集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的個數(shù)為(  ) A.3          B.6 C.8 D.9 解析:選D 集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4

7、,1),(4,2),(4,4),共9個. 2.已知a>0,b∈R,若={a-b,0,a2},則a2+b2的值為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:選B 由已知得a≠0,則=0,所以b=0,于是a2=4,即a=2或a=-2,因為a>0,所以a=2,故a2+b2=22+02=4. 3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一個元素,則a等于(  ) A. B. C.0 D.0或 解析:選D 若集合A中只有一個元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個實根或有兩個相等實根. 當(dāng)a=0時,x=,符合題意. 當(dāng)a≠0時,由Δ=(-3)2-8a=0,得a=,

8、 所以a的值為0或. 4.(易錯題)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為________. 解析:由題意得m+2=3或2m2+m=3,則m=1或m=-,當(dāng)m=1時,m+2=3且2m2+m=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意;當(dāng)m=-時,m+2=,而2m2+m=3,故m=-. 答案:- [謹(jǐn)記通法] 與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略 (1)確定集合的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點集.如“題組練透”第1題. (2)看這些元素滿足什么限制條件. (3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個數(shù),但要注意檢驗集合是否滿足元素的互異性.如“題組練透”第4

9、題. [典例引領(lǐng)] 1.已知集合M={1,2,3,4},則集合P={x|x∈M且2x?M}的子集有(  ) A.8個         B.4個 C.3個 D.2個 解析:選B 由題意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4個. 2.已知集合A={2,3},B={x|ax-6=0},若B?A,則實數(shù)a的值為(  ) A.3 B.2 C.2或3 D.0或2或3 解析:選D 由題意可得,因為B?A,所以B={2},{3}或?;若B={2},則2∈B,所以2a-6=0,解得a=3;若B={3},則3∈B,所以3a-6=0,解得a=2;若B=?,則a=0.所以滿足條件的

10、實數(shù)a的值為0或2或3. [由題悟法] 集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個關(guān)鍵 [即時應(yīng)用] 1.集合{a,b,c,d,e}的真子集的個數(shù)為(  ) A.32 B.31 C.30 D.29 解析:選B 因為集合有5個元素,所以其子集的個數(shù)為25=32個,其真子集的個數(shù)為25-1=31個. 2.已知集合A={x|-10時, ∵A={x|-1

11、圍為(-∞,1]. 答案:(-∞,1] [鎖定考向] 集合運算多與解簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系,考查對集合的理解及不等式的有關(guān)知識;有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題,考查學(xué)生的靈活處理問題的能力. 常見的命題角度有: (1)集合的運算; (2)利用集合運算求參數(shù); (3)新定義集合問題.    [題點全練] 角度一:集合的運算 1.(2018·寧波模擬)已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6},A∩(?UB)={1,3,5},則B=(  ) A.{2,4,6}       B.{1,3,5} C.{0,2,4,6} D.{x∈Z|0≤x≤6}

12、 解析:選C 因為U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A∩(?UB)={1,3,5},所以B={0,2,4,6}. 2.(2016·浙江高考)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},則P∪(?RQ)=(  ) A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 解析:選B ∵Q={x∈R|x2≥4}, ∴?RQ={x∈R|x2<4}={x∈R|-2<x<2}. ∵P={x∈R|1≤x≤3}, ∴P∪(?RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3]. 角度二:利用集合運算求參數(shù) 3.設(shè)

13、集合A={x|-1≤x<2},B={x|x-1,又因為a<0,所以-10”的充分必要條件; 命題②:對任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C

14、).  A.命題①和命題②都成立 B.命題①和命題②都不成立 C.命題①成立,命題②不成立 D.命題①不成立,命題②成立 解析:選A 命題①成立,若A≠B,則card(A∪B)>card(A∩B),所以d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)>0.反之可以把上述過程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件; 命題②成立,由Venn圖,知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B), d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C), d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C), ∴d

15、(A,B)+d(B,C)-d(A,C) =card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C) -2card(B∩C)-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)] =2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C) =2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)] =2card(B)+2card(A∩C)-2[card((A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)] =[2card(B)-2card((A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)]

16、≥0, ∴d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得證. [通法在握] 解集合運算問題4個技巧 看元素構(gòu)成 集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的關(guān)鍵 對集合化簡 有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運算,可使問題簡單明了、易于解決 應(yīng)用數(shù)形 常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖 創(chuàng)新性問題 以集合為依托,對集合的定義、運算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新,但最終化為原來的集合知識和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識來解決 [演練沖關(guān)] 1.(2018·臺州模擬)若集合A={x|-1

17、(-1,+∞) C.(-1,1)∪[2,+∞) D.? 解析:選C 因為x-2≥0,解得x≥2,所以B=[2,+∞),所以A∪B=(-1,1)∪[2,+∞). 2.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個元素,則a=(  ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 解析:選A 由題意得方程ax2+ax+1=0只有一個實數(shù)解,當(dāng)a=0時,方程無實數(shù)解;當(dāng)a≠0時,則Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不符合題意,舍去). 3.(2018·吳越聯(lián)盟模擬)已知集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N,則滿足條件的P的子集有(  ) A.2個 B

18、.4個 C.6個 D.8個 解析:選B 因為P=M∩N={2,4},所以集合P的子集有?,{2},{4},{2,4},共4個. 4.如圖所示的Venn圖中,A,B是非空集合,定義集合AB為陰影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>0},則AB為(  ) A.{x|02} 解析:選D 因為A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},A∪B={x|x≥0},A∩B={x|12},故選D

19、. 一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快 1.(2016·全國卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},則A∪B=(  ) A.{1}          B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 解析:選C 因為B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1

20、.[-1,3] 解析:選A 由|x|<2,可得-21} D.A∩B=? 解析:選A ∵集合A={x|x<1},B={x|x<0}, ∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1},故選A. 4.設(shè)集合A={3,m},B={3m,3},且A=B,則實數(shù)m的值是________. 解析:由集合A={3,m}=B={3m,3},得3m=m,則m=0.

21、答案:0 5.已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1

22、},則A∩(?RB)=(  ) A.{x|04} D.{x|x≤0} 解析:選A 由y=x,得y>0,即A={y|y>0},由-x2+6x-8>0,解得2

23、=R. 4.(2018·河南六市第一次聯(lián)考)已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4個子集,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3) C.(0,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞) 解析:選B ∵A∩B有4個子集,∴A∩B中有2個不同的元素,∴a∈A,∴a2-3a<0,解得0

24、} D.{x|x<-1} 解析:選C 由x2-5x-6<0,解得-1

25、B={x|x2-4x≤0},則A∪B=________,A∩(?RB)=________. 解析:因為B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},所以A∪B={x|-1≤x≤4};因為?RB={x|x<0或x>4},所以A∩(?RB)={x|-1≤x<0}. 答案:{x|-1≤x≤4} {x|-1≤x<0} 8.設(shè)集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠?. (1)b的取值范圍是________; (2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值為9,則b的值是________. 解析:由圖可知,當(dāng)y=-x往右移動到陰影區(qū)域時,

26、才滿足條件,所以b≥2;要使z=x+2y取得最大值,則過點(0,b),有0+2b=9?b=. 答案:(1)[2,+∞) (2) 9.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,則實數(shù)a-b 的取值范圍是________. 解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因為A?B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即實數(shù)a-b的取值范圍是(-∞,-2]. 答案:(-∞,-2] 10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3]

27、,求實數(shù)m的值; (2)若A??RB,求實數(shù)m的取值范圍. 解:由已知得A={x|-1≤x≤3}, B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)因為A∩B=[0,3], 所以所以m=2. (2)?RB={x|xm+2}, 因為A??RB, 所以m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3. 因此實數(shù)m的取值范圍是(-∞,-3)∪(5,+∞). 三上臺階,自主選做志在沖刺名校 1.(2018·杭州名校聯(lián)考)設(shè)集合A={y|y=sin x,x∈R},集合B={x|y=lg x},則(?RA)∩B=(  ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.[-1,1]

28、 C.(1,+∞) D.[1,+∞) 解析:選C 由題可得,A=[-1,1],所以?RA=(-∞,-1)∪(1,+∞).又B=(0,+∞),所以(?RA)∩B=(1,+∞). 2.對于集合M,N,定義M-N={x|x∈M,且x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),設(shè)A=,B={x|x<0,x∈R},則A⊕B=(  ) A. B. C.∪[0,+∞) D.∪(0,+∞) 解析:選C 依題意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=,故A⊕B=∪[0,+∞).故選C. 3.設(shè)全集U=R,且集合A={x|x2-2x-8≤0},集合B={x|x2+2x-3>0},C={x|x2-

29、3ax+2a2<0}. (1)求A∩B; (2)試求實數(shù)a的取值范圍,使得C?A∪(?UB). 解:(1)因為A={x|x2-2x-8≤0}=[-2,4], B={x|x2+2x-3>0}=(-∞,-3)∪(1,+∞), 所以A∩B=(1,4]. (2)由題可得,?UB=[-3,1], 所以A∪(?UB)=[-3,4]. 因為C={x|x2-3ax+2a2<0}={x|(x-a)(x-2a)<0}, 所以當(dāng)a<0時,C=(2a,a), 因為C?A∪(?UB), 所以此時只需-3≤2a,解得a≥-,所以-≤a<0. 當(dāng)a=0時,C=?,滿足C?A∪(?UB),所以a=0.

30、 當(dāng)a>0時,C=(a,2a), 因為C?A∪(?UB), 所以此時只需滿足2a≤4,解得a≤2,所以0

31、,4. 3.充要條件 若p?q,則p是q的充分條件,q是p的必要條件 p成立的對象的集合為A,q成立的對象的集合為B p是q的充分不必要條件 p?q且q p A是B的真子集 集合與 充要條件 p是q的必要不充分條件 p q且q?p B是A的真子集 p是q的充要條件 p?q A=B p是q的既不充分也不必要條件 p q且q p A,B互不包含 [小題體驗] 1.下列命題是真命題的是(  ) A.若log2a>0,則函數(shù)f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定義域上是減函數(shù) B.命題“若xy=0,則x=0”的否命題 C.“m=3”

32、是“直線(m+3)x+my-2=0與mx-6y+5=0垂直”的充要條件 D.命題“若cos x=cos y,則x=y(tǒng)”的逆否命題 答案:B 2.設(shè)A,B是兩個集合,則“A∩B=A”是“A?B”的______條件. 答案:充要 3.設(shè)a,b是向量,則命題“若a=-b,則|a|=| b|”的逆否命題為:________. 答案:若|a|≠|(zhì)b|,則a≠-b 1.易混淆否命題與命題的否定:否命題是既否定條件,又否定結(jié)論,而命題的否定是只否定命題的結(jié)論. 2.易忽視A是B的充分不必要條件(A?B且BA)與A的充分不必要條件是B(B?A且AB)兩者的不同. [小題糾偏] 1.(2

33、018·杭州模擬)“x<0”是“l(fā)n(x+1)<0”的(  ) A.充分不必要條件    B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案:B 2.“在△ABC中,若∠C=90°,則∠A,∠B都是銳角”的否命題為:________________. 解析:原命題的條件: 在△ABC中,∠C=90°, 結(jié)論:∠A,∠B都是銳角. 否命題是否定條件和結(jié)論. 即“在△ABC中,若∠C≠90°, 則∠A,∠B不都是銳角”. 答案:在△ABC中,若∠C≠90°,則∠A,∠B不都是銳角 [題組練透] 1.命題“若a2>b2,則a>b”的否命題是(  

34、) A.若a2>b2,則a≤b   B.若a2≤b2,則a≤b C.若a≤b,則a2>b2 D.若a≤b,則a2≤b2 解析:選B 根據(jù)命題的四種形式可知,命題“若p,則q”的否命題是“若綈p,則綈q”.該題中,p為a2>b2,q為a>b,故綈p為a2≤b2,綈q為a≤b.所以原命題的否命題為:若a2≤b2,則a≤b. 2.命題“若x2+3x-4=0,則x=4”的逆否命題及其真假性為(  ) A.“若x=4,則x2+3x-4=0”為真命題 B.“若x≠4,則x2+3x-4≠0”為真命題 C.“若x≠4,則x2+3x-4≠0”為假命題 D.“若x=4,則x2+3x-4=0”為假

35、命題 解析:選C 根據(jù)逆否命題的定義可以排除A,D,因為x2+3x-4=0,所以x=4或-1,故原命題為假命題,即逆否命題為假命題. 3.給出以下四個命題: ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題; ②(易錯題)“全等三角形的面積相等”的否命題; ③“若q≤-1,則x2+x+q=0有實根”的逆否命題; ④若ab是正整數(shù),則a,b都是正整數(shù). 其中真命題是________.(寫出所有真命題的序號) 解析:①命題“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題為“若x,y互為相反數(shù),則x+y=0”,顯然①為真命題;②不全等的三角形的面積也可能相等,故②為假命題;③原命題正確,所

36、以它的逆否命題也正確,故③為真命題;④若ab是正整數(shù),但a,b不一定都是正整數(shù),例如a=-1,b=-3,故④為假命題. 答案:①③ [謹(jǐn)記通法] 1.寫一個命題的其他三種命題時的2個注意點 (1)對于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫; (2)若命題有大前提,寫其他三種命題時需保留大前提.如“題組練透”第3題②易忽視. 2.命題真假的2種判斷方法 (1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷. (2)利用原命題與逆否命題,逆命題與否命題的等價關(guān)系進(jìn)行判斷. [典例引領(lǐng)] 1.(2018·紹興模擬)已知a,b為實數(shù),則“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b

37、為偶函數(shù)”的(  ) A.充分不必要條件    B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由題可得,因為f(-x)=(-x)2+a|-x|+b=x2+a|x|+b=f(x),所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),此時a∈R.所以“a=0”是“f(x)=x2+a|x|+b為偶函數(shù)”的充分不必要條件. 2.設(shè)a∈R,則“a=4”是“直線l1:ax+8y-8=0與直線l2:2x+ay-a=0平行”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選D ∵當(dāng)a≠0時,==?直線l1與直線l2重合,∴無論a取何值,直線

38、l1與直線l2均不可能平行,當(dāng)a=4時,l1與l2重合.故選D. [由題悟法] 充要條件的3種判斷方法 (1)定義法:根據(jù)p?q,q?p進(jìn)行判斷; (2)集合法:根據(jù)p,q成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷; (3)等價轉(zhuǎn)化法:根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性,把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷.這個方法特別適合以否定形式給出的問題,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件,即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=1且y=1”是“xy=1”的某種條件. [即時應(yīng)用] 1.設(shè)a>0,b>0,則“a2+b2≥1”是“a+b≥ab+1”成立的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

39、 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選B 因為a>0,b>0,所以a+b>0,ab+1>0,故不等式a+b≥ab+1成立的充要條件是(ab+1)2≤(a+b)2,即a2+b2≥a2b2+1. 顯然,若a2+b2≥a2b2+1,則必有a2+b2≥1,反之則不成立,所以a2+b2≥1是a2+b2≥a2b2+1成立的必要不充分條件,即a2+b2≥1是a+b≥ab+1成立的必要不充分條件. 2.已知條件p:x+y≠-2,條件q:x,y不都是-1,則p是q的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 因為p:x+y≠

40、-2,q:x≠-1,或y≠-1, 所以綈p:x+y=-2,綈q:x=-1,且y=-1, 因為綈q?綈p但綈p 綈q,所以綈q是綈p的充分不必要條件,即p是q的充分不必要條件. 3.(2018·寧波模擬)已知四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,l為空間一直線,則“l(fā)垂直于兩腰AD,BC”是“l(fā)垂直于兩底AB,DC”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 因為四邊形ABCD是梯形,且AB∥CD,所以腰AD,BC是交線,由直線與平面垂直的判定定理可知,當(dāng)l垂直于兩腰AD,BC時,l垂直于ABCD所在平面,所以l垂直于兩

41、底AB,CD,所以是充分條件;當(dāng)l垂直于兩底AB,CD,由于AB∥CD,所以l不一定垂直于ABCD所在平面,所以l不一定垂直于兩腰AD,BC,所以不是必要條件.所以是充分不必要條件. [典例引領(lǐng)] 已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根α,β.證明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要條件. 證明:(1)充分性:由根與系數(shù)的關(guān)系,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.設(shè)f(x)=x2+ax+b,則f(x)的圖象是開口向上的拋物線.又|a|<2,|β|<2,所以f(±2)>0.即有?4+b>2a>-(4+b),又|b|<4?4+b>0

42、?2|a|<4+b. (2)必要性:因為2|a|<4+b且|b|<4?f(±2)>0,函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線.所以方程f(x)=0的兩根α,β同在(-2,2)內(nèi)或無實根.因為α,β是方程f(x)=0的實根,所以α,β同在(-2,2)內(nèi),且|α|<2且|β|<2. [由題悟法] 根據(jù)充要條件求參數(shù)的值或取值范圍的關(guān)鍵點 (1)先合理轉(zhuǎn)化條件,常通過有關(guān)性質(zhì)、定理、圖象將恒成立問題和有解問題轉(zhuǎn)化為最值問題等,得到關(guān)于參數(shù)的方程或不等式(組),再通過解方程或不等式(組)求出參數(shù)的值或取值范圍. (2)求解參數(shù)的取值范圍時,一定要注意區(qū)間端點值的檢驗,尤其是利用兩個集合之間的關(guān)

43、系求解參數(shù)的取值范圍時,不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象. [即時應(yīng)用] 1.(2018·杭州名校模擬)已知條件p:|x+1|>2,條件q:x>a,且綈p是綈q的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.[1,+∞)        B.(-∞,1] C.[-3,+∞) D.(-∞,-3] 解析:選A 由|x+1|>2,可得x>1或x<-3,所以綈p:-3≤x≤1;又綈q:x≤a.因為綈p是綈q的充分不必要條件,所以a≥1. 2.已知“命題p:(x-m)2>3(x-m)”是“命題q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分條件,則實數(shù)m的取

44、值范圍為________________. 解析:命題p:x>m+3或x<m, 命題q:-4<x<1. 因為p是q成立的必要不充分條件, 所以m+3≤-4或m≥1, 故m≤-7或m≥1. 答案:(-∞,-7]∪[1,+∞) 一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快 1.“(2x-1)x=0”是“x=0”的(  ) A.充分不必要條件    B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選B 若(2x-1)x=0,則x=或x=0,即不一定是x=0;若x=0,則一定能推出(2x-1)x=0.故“(2x-1)x=0”是“x=0”的必要不充分條件. 2.設(shè)a,

45、b∈R,則“a3>b3且ab<0”是“>”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由a3>b3,知a>b,由ab<0,知a>0>b,所以此時有>,故充分性成立; 當(dāng)>時,若a,b同號,則ab,所以必要性不成立.故選A. 3.對于直線m,n和平面α,β,m⊥α成立的一個充分條件是(  ) A.m⊥n,n∥α B.m∥β,β⊥α C.m⊥β,n⊥β,n⊥α D.m⊥n,n⊥β,β⊥α 解析:選C 對于選項C,因為m⊥β,n⊥β,所以m∥n,又n⊥α,所以m⊥α,故選C. 4.命題p:

46、“若x2<1,則x<1”的逆命題為q,則p與q的真假性為(  ) A.p真q真 B.p真q假 C.p假q真 D.p假q假 解析:選B q:若x<1,則x2<1. ∵p:x2<1,則-15是x>a的充分條件,則實數(shù)a的取值范圍為(  ) A.a(chǎn)>5 B.a(chǎn)≥5 C.a(chǎn)<5 D.a(chǎn)≤5 解析:選D 由x>5是x>a的充分條件知,{x|x>5}?{x|x>a},∴a≤5,故選D. 二保高考,全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1.命題“若一個數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方是正數(shù)”的逆命題是(  ) A.“若一個

47、數(shù)是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)” B.“若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)” C.“若一個數(shù)不是負(fù)數(shù),則它的平方不是正數(shù)” D.“若一個數(shù)的平方不是正數(shù),則它不是負(fù)數(shù)” 解析:選B 依題意得,原命題的逆命題是“若一個數(shù)的平方是正數(shù),則它是負(fù)數(shù)”. 2.(2018·舟山模擬)已知α,β∈[-π,π],則“|α|>|β|”是“|α|-|β|>cos α-cos β ”的(  ) A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 設(shè)f(x)=|x|-cos x,x∈[-π,π],則函數(shù)f(x)為偶函數(shù).因為|α|>|β|,不妨考慮x∈[0,π

48、],f(x)=x-cos x.因為f′(x)=1+sin x>0,所以函數(shù)f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以當(dāng)α>β時,α-cos α>β-cos β,即|α|-|β|>cos α-cos β,所以是充分條件;當(dāng)|α|-|β|>cos α-cos β,即當(dāng)α,β∈[0,π]時,α-β>cos α-cos β,所以α-cos α>β-cos β.因為函數(shù)f(x)在[0,π]上單調(diào)遞增,所以α>β,由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)可知|α|>|β|,所以是必要條件.故是充要條件. 3.有下列命題: ①“若x+y>0,則x>0且y>0”的否命題; ②“矩形的對角線相等”的否命題; ③“若m≥1,則m

49、x2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命題; ④“若a+7是無理數(shù),則a是無理數(shù)”的逆否命題. 其中正確的是(  ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 解析:選C?、俚哪婷}為“若x>0且y>0,則x+y>0”為真,故否命題為真; ②的否命題為“不是矩形的圖形對角線不相等”,為假命題; ③的逆命題為,若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集為R,則m≥1. ∵當(dāng)m=0時,解集不是R, ∴應(yīng)有 即m>1. ∴③是真命題; ④原命題為真,逆否命題也為真. 4.(2018·浙江五校聯(lián)考)已知直線l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=

50、0,其中a∈R,則“a=-3”是“l(fā)1⊥l2”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由題可得,當(dāng)l1⊥l2時,由a+(a+2)a=0,解得a=0或a=-3,可知“a=-3”是“l(fā)1⊥l2”的充分不必要條件. 5.命題“對任意x∈[1,2),x2-a≤0”為真命題的一個充分不必要條件可以是(  ) A.a(chǎn)≥4 B.a(chǎn)>4 C.a(chǎn)≥1 D.a(chǎn)>1 解析:選B 要使“對任意x∈[1,2),x2-a≤0”為真命題,只需要a≥4,∴a>4是命題為真的充分不必要條件. 6.命題“若a>b,則ac2>bc2(a,b∈R

51、),”否命題的真假性為________. 解析:命題的否命題為“若a≤b,則ac2≤bc2”. 若c=0,結(jié)論成立. 若c≠0,不等式ac2≤bc2也成立. 故否命題為真命題. 答案:真 7.下列命題: ①“a>b”是“a2>b2”的必要條件;②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要條件;③“a>b”是“a+c>b+c”的充要條件. 其中是真命題的是________(填序號). 解析:①a>b a2>b2,且a2>b2 a>b,故①不正確; ②a2>b2?|a|>|b|,故②正確; ③a>b?a+c>b+c,且a+c>b+c?a>b,故③正確. 答案:②③

52、8.(2018·溫州模擬)已知數(shù)列{an},“an+1>|an|(n=1,2,3,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 解析:因為|an|≥an,所以an+1>an,可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,所以是充分條件;當(dāng)數(shù)列{an}是遞增數(shù)列時,?。?,-2,-1,0,…,則該數(shù)列為遞增數(shù)列,但不一定滿足an+1>|an|,所以不是必要條件.所以是充分不必要條件. 答案:充分不必要 9.設(shè)α和β為不重合的兩個平面,給出下列命題: ①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線,則α平行于β; ②若α外一條直線

53、l與α內(nèi)的一條直線平行,則l和α平行; ③設(shè)α和β相交于直線l,若α內(nèi)有一條直線垂直于l,則α和β垂直; ④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直. 上面命題中,真命題的序號是________.(寫出所有真命題的序號) 解析:①α內(nèi)兩條相交直線分別平行于平面β,則兩條相交直線確定的平面α平行于平面β,正確.②平面α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行,則l平行于α,正確. ③如圖,α∩β=l,a?α,a⊥l,但不一定有α⊥β,錯誤.④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條相交直線垂直,而該命題缺少“相交”兩字,故為假命題.綜上所述,真命題的序號為①②. 答案:

54、①② 10.已知集合A=,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分條件,求實數(shù)m的取值范圍. 解:y=x2-x+1=2+, ∵x∈, ∴≤y≤2, ∴A=. 由x+m2≥1,得x≥1-m2, ∴B={x|x≥1-m2}. ∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件, ∴A?B,∴1-m2≤, 解得m≥或m≤-, 故實數(shù)m的取值范圍是∪. 三上臺階,自主選做志在沖刺名校 1.(2018·吳越聯(lián)盟)若“x=1”是“(x-a)(x-a-2)≤0”的充分不必要條件,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.[-1,+∞) B.(-1,1) C.[-1,1] D.(-

55、∞,1] 解析:選C 由(x-a)(x-a-2)≤0,得a≤x≤a+2.要使條件成立,則解得-1≤a≤1. 2.設(shè)n∈N*,關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________. 解析:因為方程有根,所以Δ=16-4n≥0,解得n≤4,因為n∈N*,所以n=1,2,3,4.當(dāng)n=4時,方程的根為2,滿足條件;當(dāng)n=3時,方程的根為1,3,滿足條件;當(dāng)n=1,2時,方程的根不是整數(shù),所以不滿足條件.所以使得方程有整數(shù)根的充要條件是n=3,4. 答案:3,4 3.已知全集U=R,非空集合A=,B={x|(x-a)(x-a2-2)<0,命題p:x∈A,命題q:x∈

56、B. (1)當(dāng)a=12時,若p真q假,求x的取值范圍; (2)若q是p的必要條件,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)當(dāng)a=12時,A={x|2

57、條件解得-≤a<; 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為∪. 命題點一 集合及其運算 命題指數(shù):☆☆☆☆☆ 難度:低 題型:選擇、填空題 1.(2017·全國卷Ⅱ)設(shè)集合A={1,2,3},B={2,3,4},則A∪B=(  ) A.{1,2,3,4}       B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,3,4} 解析:選A 由題意得A∪B={1,2,3,4}. 2.(2017·天津高考)設(shè)集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},則(A∪B)∩C=(  ) A.{2}          B.{1,2,4} C.{1,2,4,

58、6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析:選B A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},則(A∪B)∩C={1,2,4}. 3.(2017·浙江高考)已知集合P={x|-1

59、,2] 解析:選C 由x2-2x≥0,得x≤0或x≥2,即P={x|x≤0或x≥2},所以?RP={x|0<x<2}=(0,2). 又Q={x|1<x≤2}=(1,2],所以(?RP)∩Q=(1,2). 5.(2017·全國卷Ⅲ)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},則A∩B中元素的個數(shù)為(  ) A.3           B.2 C.1 D.0 解析:選B 因為A表示圓x2+y2=1上的點的集合,B表示直線y=x上的點的集合,直線y=x與圓x2+y2=1有兩個交點,所以A∩B中元素的個數(shù)為2. 6.(2017·江蘇高考)已知集合A={1

60、,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},則實數(shù)a的值為________. 解析:因為a2+3≥3,所以由A∩B={1}得a=1,即實數(shù)a的值為1. 答案:1 命題點二 充要條件 命題指數(shù):☆☆☆☆ 難度:中、低 題型:選擇題 1.(2017·浙江高考)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn,則“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 因為{an}為等差數(shù)列,所以S4+S6=4a1+6d+6a1+15d=10a1+21d,2S5=10a1+20d,S4

61、+S6-2S5=d,所以d>0?S4+S6>2S5. 2.(2015·浙江高考)設(shè)a,b是實數(shù),則“a+b>0”是“ab>0”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選D 特值法:當(dāng)a=10,b=-1時,a+b>0,ab<0,故a+b>0?/ ab>0; 當(dāng)a=-2,b=-1時,ab>0,但a+b<0, 所以ab>0?/ a+b>0. 故“a+b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要條件. 3.(2017·天津高考)設(shè)x∈R,則“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充

62、分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選B 由2-x≥0,得x≤2, 由|x-1|≤1,得0≤x≤2. ∵0≤x≤2?x≤2,x≤2?/ 0≤x≤2, 故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分條件. 4.(2017·天津高考)設(shè)θ∈R,則“<”是“sin θ<”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 法一:由<,得0<θ<, 故sin θ<.由sin θ<,得-+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,推不出“<”. 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件. 法二:

63、. 故“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件. 5.(2017·北京高考)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(  ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A ∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2. ∴當(dāng)λ<0,n≠0時,m·n<0. 反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0?cos〈m,n〉<0?〈m,n〉∈, 當(dāng)〈m,n〉∈時,m,n不共線. 故“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要條件.

64、 6.(2016·山東高考)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選A 由題意知a?α,b?β,若a,b相交,則a,b有公共點,從而α,β有公共點,可得出α,β相交;反之,若α,β相交,則a,b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件.故選A. 命題點三 四種命題及其關(guān)系 命題指數(shù):☆☆☆ 難度:低 題型:選擇題 1.(2015·山東高考)設(shè)m∈R,命題

65、“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是(  ) A.若方程x2+x-m=0有實根,則m>0 B.若方程x2+x-m=0有實根,則m≤0 C.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m>0 D.若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0 解析:選D 根據(jù)逆否命題的定義,命題“若m>0,則方程x2+x-m=0有實根”的逆否命題是“若方程x2+x-m=0沒有實根,則m≤0”. 2.(2014·陜西高考)原命題為“若z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),則|z1|=|z2|”,關(guān)于其逆命題,否命題,逆否命題真假性的判斷依次如下,正確的是(  ) A.真,假,真 B.假,假,真 C.真,真,假 D.假,假,假 解析:選B 因為原命題為真,所以它的逆否命題為真;若|z1|=|z2|,當(dāng)z1=1,z2=-1時,這兩個復(fù)數(shù)不是共軛復(fù)數(shù),所以原命題的逆命題是假的,故否命題也是假的.故選B. 25

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