（通用版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題二 數(shù)列教學(xué)案 理

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1、 專題二 數(shù)列 [研高考·明考點(diǎn)] 年份 卷別 小題考查 大題考查 2017 卷Ⅰ T4·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式 ——————— T12·等差、等比數(shù)列在實(shí)際問題中的綜合應(yīng)用 卷Ⅱ T3·數(shù)學(xué)文化，等比數(shù)列的概念、前n項(xiàng)和公式 ——————— T15·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，裂項(xiàng)相消法求和 卷Ⅲ T9·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng) ——————— T14·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 2016 卷Ⅰ T3·等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及性質(zhì) ——————— T15·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、二次函數(shù)最值及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

2、 卷Ⅱ ——————— T17·等差數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和，新定義運(yùn)算 卷Ⅲ ——————— T17·等比數(shù)列的通項(xiàng)，an與Sn的關(guān)系 卷Ⅰ ——————— T17·an與Sn的關(guān)系，裂項(xiàng)相消法求和 2015 卷Ⅱ T4·等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，整體代換思想 —————— T16·an與Sn的關(guān)系、等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式 [析考情·明重點(diǎn)] 小題考情分析 大題考情分析 ?？键c(diǎn) 1.等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算(3年6考) 2.等差、等比數(shù)列的性質(zhì)(3年3考) ?？键c(diǎn) 高考對(duì)數(shù)列的考查若只出現(xiàn)在解答題中時(shí)，常以數(shù)列的相關(guān)項(xiàng)以及關(guān)系式，或an與Sn的關(guān)系入手，結(jié)

3、合等差、等比數(shù)列的定義展開考查，題型主要有： 1.等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 2.數(shù)列求和問題 3.等差、等比數(shù)列的判斷與證明 偶考點(diǎn) 1.數(shù)列的遞推關(guān)系式 2.等差與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用問題 偶考點(diǎn) 數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題 第一講 小題考法——等差數(shù)列與等比數(shù)列 考點(diǎn)(一) 主要考查方式有兩種：一是利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn；二是利用an與an＋1的關(guān)系求通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn. 數(shù)列的遞推關(guān)系式 [典例感悟] [典例]　(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an(

4、n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(　　) A．(n＋1)3 B．(2n＋1)2 C．8n2 D．(2n＋1)2－1 (2)(2017·成都模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，a1＋＋＋…＋＝an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________. [解析]　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，4×(1＋1)×(a1＋1)＝(1＋2)2×a1，解得a1＝8.當(dāng)n≥2時(shí)，4(Sn＋1)＝，則4(Sn－1＋1)＝，兩式相減得，4an＝－，整理得，＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3.檢驗(yàn)知，a1＝8也符合，所以an＝(n＋1)3. (2)根據(jù)a1＋＋＋…＋＝an

5、，① 有a1＋＋＋…＋＝an－1，② ①－②得，＝an－an－1，即n2an－1＝(n2－1)an， 所以＝＝， 所以an＝a1×××…× ＝1×××…×＝ ＝ ＝. [答案]　(1)A　(2) [方法技巧] 由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式的注意事項(xiàng) (1)應(yīng)重視分類討論思想的應(yīng)用，分n＝1和n≥2兩種情況討論，特別注意an＝Sn－Sn－1成立的前提是n≥2. (2)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1也適合，則需統(tǒng)一表示(“合寫”)． (3)由Sn－Sn－1＝an推得an，當(dāng)n＝1時(shí)，a1不適合，則數(shù)列的通項(xiàng)公式應(yīng)分段表示(“分寫”)，即an＝ [演

6、練沖關(guān)] 1．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，則＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2－＋－＋…＋－＝2＝，故選A. 2．(2017·石家莊質(zhì)檢)數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則{an}的前60項(xiàng)和為(　　) A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析：選D　不妨令a1＝1，根據(jù)題意，得a2＝2，a3＝a

7、5＝a7＝…＝1，a4＝6，a6＝10，…，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝1，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)構(gòu)成以a2＝2為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列．所以{an}的前60項(xiàng)和為S60＝30＋2×30＋×4＝1 830. 3．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，則S5＝________. 解析：∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴數(shù)列是 公比為3的等比數(shù)列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121. 答案：121 考點(diǎn)(二) 主要考查與等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公

8、式有關(guān)的五個(gè)基本量間的“知三求二”運(yùn)算. 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 [典例感悟] [典例]　(1)(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 (2)(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項(xiàng)的和為(　　) A．－24 B．－3 C．3 D．8 (3)(2017·江蘇高考)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S3＝，S6＝，則a8＝________. [解析]　(1)∵{an

9、}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴ ∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98，故選C. (2)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 因?yàn)閍2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a， 即(a1＋d)(a1＋5d)＝(a1＋2d)2. 又a1＝1，所以d2＋2d＝0. 又d≠0，則d＝－2， 所以{an}前6項(xiàng)的和 S6＝6×1＋×(－2)＝－24. (3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由S6≠2S3，得q≠1，則解得 則a8＝a1q7＝×27＝32. [答案]　(1)C　(2)A　(3)32

10、[方法技巧] 等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題思路 (1)設(shè)基本量：首項(xiàng)a1和公差d(公比q)． (2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(或q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量． [演練沖關(guān)] 1．(2017·合肥質(zhì)檢)若等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，則a4＋S7的值是(　　) A．20 B．36 C．24 D．72 解析：選C　由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得∴a4＋S7＝8a1＋24d＝24.故選C. 2．(2017·全國卷Ⅲ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，

11、則a4＝________. 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則a1＋a2＝a1(1＋q)＝－1， a1－a3＝a1(1－q2)＝－3， 兩式相除，得＝，解得q＝－2，a1＝1， 所以a4＝a1q3＝－8. 答案：－8 3．(2018屆高三·河南十校聯(lián)考)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和，若S8＝4S4，則a10＝________. 解析：∵{an}是公差為1的等差數(shù)列， ∴S8＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4， ∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝. 答案： 考點(diǎn)(三) 主要

12、考查利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解基本量及與前n項(xiàng)和有關(guān)的最值問題. 等差、等比數(shù)列的性質(zhì) [典例感悟] [典例]　(1)(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12＝(　　) A．40 B．60 C．32 D．50 (2)(2017·長沙模擬)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．8－4 (3)(2018屆高三·湖南名校聯(lián)考)若{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>0，a2 016＋a2 01

13、7>0，a2 016·a2 017<0，則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(　　) A．2 016 B．2 017 C．4 032 D．4 033 [解析]　(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4,8，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，所以S9－S6＝16，S12－S9＝32，所以S12＝(S12－S9)＋(S9－S6)＋(S6－S3)＋S3＝32＋16＋8＋4＝60，故選B. (2)在等比數(shù)列{an}中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－

14、1＋＋1)2＝(2)2＝8，故選C. (3)因?yàn)閍1>0，a2 016＋a2 017>0，a2 016·a2 017<0，所以d<0，a2 016>0，a2 017<0，所以S4 032＝＝>0，S4 033＝＝4 033a2 017<0，所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 032，故選C. [答案]　(1)B　(2)C　(3)C [方法技巧] 等差、等比數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略 (1)解題關(guān)鍵：抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解． (2)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的

15、性質(zhì)解題． [演練沖關(guān)] 1．已知等差數(shù)列{an}中，a1＝1，前10項(xiàng)和等于前5項(xiàng)和，若am＋a6＝0，則m＝(　　) A．10 B．9 C．8 D．2 解析：選A　記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，由題意S10＝S5，所以S10－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，又a6＋a10＝a7＋a9＝2a8，于是a8＝0，又am＋a6＝0，所以m＋6＝2×8，解得m＝10. 2．(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝.若對(duì)任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(－8，－7) B．

16、[－8，－7) C．(－8，－7] D．[－8，－7] 解析：選A　因?yàn)閧an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，所以an＝n＋a－1，因?yàn)閎n＝＝1＋，又對(duì)任意的n∈N*都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即≥對(duì)任意的n∈N*恒成立，因?yàn)閿?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，所以{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列，所以即解得－8

17、 a20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50 考點(diǎn)(四) 主要考查等差、等比數(shù)列相結(jié)合的基本量的計(jì)算以及數(shù)列有關(guān)最值問題的求解. 等差、等比數(shù)列的綜合問題 [典例感悟] [典例]　(1)(2018屆高三·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值為(　　) A．－ B．－1 C．－ D． (2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，

18、記數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn.若a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)，則＝________. [解析]　(1)依題意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，所以＝＝－， 故tan ＝tan ＝tan ＝－tan ＝－. (2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q. 由a5＝b5，a6＝b6，且S7－S5＝4(T6－T4)， 得解得 故＝＝＝＝－. [答案]　(1)A　(2)－ [方法技巧] 等差、等比數(shù)列綜合問題的求解策略 (1)對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問題，要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手，理清它們的關(guān)系，常用“基本量法”求解，但有時(shí)靈活地

19、運(yùn)用等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)等性質(zhì)，可使運(yùn)算簡便． (2)數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列的有關(guān)最值問題． [演練沖關(guān)] 1．(2017·云南調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1－1，a3－3，a5－5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：選C　依題意，得2a3＝a1＋a5,2a3－6＝a1＋a5－6，即2(a3－3)＝(a1－1)＋(a5－5)，所以a1－1，a3－3，a5－5成等差數(shù)列．又a1－1，a3－3，a5－5依次構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，因此有a1－1＝a3－3＝a5－5，q＝＝

20、1. 2．(2017·望江調(diào)研)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為(　　) A．－47 B．－48 C．－49 D．－50 解析：選C　由已知得 解得那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，又6<<7，從而檢驗(yàn)n＝6時(shí)，6S6＝－48，n＝7時(shí)，7S7＝－49.所以nSn 的最小值為－49. 3．(2017·太原模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和S6＝6，且1－為a1，a3的等差中項(xiàng)，則a7＋a8＋a9＝________. 解析：依題意得a1＋a3＝2－a2，即S3＝a1＋a2＋a3＝2

21、，由等比數(shù)列的性質(zhì)，知數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6成等比數(shù)列，即數(shù)列2,4，S9－S6成等比數(shù)列，于是有S9－S6＝8，即a7＋a8＋a9＝8. 答案：8 [必備知能·自主補(bǔ)缺] (一) 主干知識(shí)要記牢 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列 等差數(shù)列 等比數(shù)列 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1(q≠0) 前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝ na1＋d (1)q≠1，Sn＝＝； (2)q＝1，Sn＝na1 2．判斷等差數(shù)列的常用方法 (1)定義法：an＋

22、1－an＝d(常數(shù))(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式法：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)中項(xiàng)公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (4)前n項(xiàng)和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 3．判斷等比數(shù)列的常用方法 (1)定義法：＝q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (2)通項(xiàng)公式法：an＝cqn(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)?{an}是等比數(shù)列． (3)中項(xiàng)公式法：a＝an·an＋2(an·an＋1·an＋2≠0，n∈N*)?{an}

23、是等比數(shù)列． (二) 二級(jí)結(jié)論要用好 1．等差數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an. (2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd. (3)連續(xù)k項(xiàng)的和(如Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…)構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列． (4)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m，公差為d，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所有項(xiàng)之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝. (5)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m－1，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則所

24、有項(xiàng)之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝. [針對(duì)練1]　一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d. 由已知條件，得 解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 答案：5 2．等比數(shù)列的重要規(guī)律與推論 (1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m＋n?ap·aq＝am·an. (2){an}，{bn}成等比數(shù)列?{anbn}成等比數(shù)列． (3)連續(xù)m項(xiàng)的和

25、(如Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…)構(gòu)成的數(shù)列是等比數(shù)列(注意：這連續(xù)m項(xiàng)的和必須非零才能成立)． (4)若等比數(shù)列有2n項(xiàng)，公比為q，奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇，偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶，則＝q. (5)對(duì)于等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn，有： ①Sm＋n＝Sm＋qmSn； ②＝(q≠±1)． (三) 易錯(cuò)易混要明了 已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示．事實(shí)上，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1. [針對(duì)練2]　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為________． 解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2. 當(dāng)n≥2

26、時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1， 又當(dāng)n＝1時(shí)，2×1－1＝1≠2. ∴an＝ 答案：an＝ [課時(shí)跟蹤檢測(cè)] A組——12＋4提速練 一、選擇題 1．(2017·成都模擬)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝6，a3＋a5＋a7＝78，則a5＝(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 解析：選B　∵a3＋a5＋a7＝a3(1＋q2＋q4)＝6(1＋q2＋q4)＝78，解得q2＝3，∴a5＝a3q

27、2＝6×3＝18.故選B. 2．(2017·蘭州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，則S9＝(　　) A．36 B．72 C．144 D．288 解析：選B　∵a8＋a10＝2a9＝28，∴a9＝14，∴S9＝＝72. 3．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：選C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則由得 即解得d＝4. 4．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S1＝a2－，S2＝a3－，則公比q＝

28、(　　) A．1 B．4 C．4或0 D．8 解析：選B　∵S1＝a2－，S2＝a3－， ∴ 解得或(舍去)， 故所求的公比q＝4. 5．已知Sn是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則的值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：選C　設(shè)數(shù)列的公差為d，則S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d，故(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)，整理得d＝2a1，所以＝＝＝8. 6．(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝(　　) A

29、．72 B．88 C．92 D．98 解析：選C　由Sn＋1＝Sn＋an＋3，得an＋1－an＝3，所以數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92. 7．已知數(shù)列滿足an＋1＝若a1＝，則a2 018＝(　　) A. B. C. D. 解析：選A　因?yàn)閍1＝，根據(jù)題意得a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，所以數(shù)列以4為周期，又2 018＝504×4＋2，所以a2 018＝a2＝，故選A. 8．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前4項(xiàng)的和為9，積為，則前4項(xiàng)倒數(shù)的和為(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D　設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q，則第2,3,4

30、項(xiàng)分別為a1q，a1q2，a1q3，依題意得a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝9，a1·a1q·a1q2·a1q3＝，化簡得aq3＝，則＋＋＋＝＝2. 9．(2017·廣州模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是(　　) A. B. C. D. 解析：選A　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，所以＝＝＝＝＝，故選A. 10．(2017·張掖模擬)等差數(shù)列{an}中，是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，則該常數(shù)的可能值的集合為(　　) A．{

31、1} B. C. D. 解析：選B?。剑?，若a1＝d≠0，則＝；若a1≠0，d＝0，則＝1.∵a1－d＋nd≠0，∴≠0，∴該常數(shù)的可能值的集合為. 11．(2018屆高三·湖南十校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1<0，若存在自然數(shù)m≥3，使得am＝Sm，則當(dāng)n>m時(shí)，Sn與an的大小關(guān)系是(　　) A．Snan D．大小不能確定 解析：選C　若a1<0，存在自然數(shù)m≥3，使得am＝Sm，則d>0，否則若d≤0，數(shù)列是遞減數(shù)列或常數(shù)列，則恒有Sm0，當(dāng)m≥3時(shí)，有am＝Sm，

32、因此am>0，Sm>0，又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，顯然Sn>an.故選C. 12．(2017·洛陽模擬)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公比為－，前n項(xiàng)和為Sn，則當(dāng)n∈N*時(shí)，Sn－的最大值與最小值之和為(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選C　依題意得，Sn＝＝1－n.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝1＋隨著n的增大而減小，1

33、題 13．(2017·合肥質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，則其前9項(xiàng)和S9＝________. 解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a，即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0，所以an＋1＝2an，又因?yàn)閍1＝2，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故S9＝＝210－2＝1 022. 答案：1 022 14．(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2 017＝________. 解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－

34、1)Sn－S＝－SnSn－1，∴－＝1，又＝2，∴是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴＝n＋1，故Sn＝，則S2 017＝. 答案： 15．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為________． 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，∴a1＝8. 故a1a2…an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n· ＝23n－＋＝2－＋n. 記t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋， 結(jié)合n∈N*可知n＝3或4時(shí)，t有最大值6. 又y＝2t為增

35、函數(shù)，從而a1a2…an的最大值為26＝64. 答案：64 16．(2017·廣州模擬)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1＝2，對(duì)任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，則f(n)＝(n∈N*)的最小值為________． 解析：a1＝2，對(duì)任意p，q∈N*，都有ap＋q＝ap＋aq，令p＝1，q＝n，則有an＋1＝an＋a1＝an＋2.故{an}是等差數(shù)列，所以an＝2n，Sn＝2×＝n2＋n，f(n)＝＝＝＝n＋1＋－1.當(dāng)n＋1＝8，即n＝7時(shí)，f(7)＝8＋－1＝；當(dāng)n＋1＝7，即n＝6時(shí)，f(6)＝7＋－1＝，因?yàn)?，則f(n)＝(n∈N*)的最小值為. 答案：

36、B組——能力小題保分練 1．若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選D　不妨設(shè)a＞b，由題意得 ∴a＞0，b＞0， 則a，－2，b成等比數(shù)列，a，b，－2成等差數(shù)列， ∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9. 2．(2017·鄭州質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對(duì)任意n∈N*都有＋＋…＋

37、依題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝＝×n－1，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于＝<，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 3．(2017·全國卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 依題意有解得 所以Sn＝，＝＝2， 因此＝2＝. 答案： 4．(2017·蘭州模擬)已知數(shù)列{an}，{bn}，若b1＝0，an＝，當(dāng)n≥2時(shí)，有bn＝bn－1＋an－1，則b2 018＝________.

38、解析：由bn＝bn－1＋an－1，得bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＝a1，b3－b2＝a2，…，bn－bn－1＝an－1，∴b2－b1＋b3－b2＋…＋bn－bn－1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋，即bn－b1＝a1＋a2＋…＋an－1＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝，∵b1＝0，∴bn＝，∴b2 018＝. 答案： 5．(2017·石家莊質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{an}為，，，，，，，，，，…，，，…，，…，若Sk＝14，則ak＝________. 解析：因?yàn)椋剑剑?，＋＋…＋＝＝，所以?shù)列，＋，＋＋，…，＋＋…＋是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所

39、以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝＋1＋＋…＋＝.令Tn＝＝14，解得n＝7(n＝－8舍去)，所以ak＝. 答案： 6．在數(shù)列{an}和{bn}中，an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－，a1＝1，b1＝1.設(shè)cn＝＋，則數(shù)列{cn}的前2 018項(xiàng)和為________． 解析：由已知an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－得an＋1＋bn＋1＝2(an＋bn)，又a1＋b1＝2，所以數(shù)列{an＋bn}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即an＋bn＝2n，將an＋1＝an＋bn＋，bn＋1＝an＋bn－相乘并化簡，得an＋1bn＋1＝2anbn，即＝2.所以數(shù)列{anbn}是首項(xiàng)為1，

40、公比為2的等比數(shù)列，所以anbn＝2n－1，因?yàn)閏n＝＋，所以cn＝＝＝2，數(shù)列{cn}的前2 018項(xiàng)和為2×2 018＝4 036. 答案：4 036 第二講 大題考法——數(shù)　列 題型(一) 主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和的求解，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式命題. 等差、等比數(shù)列基本量的計(jì)算 [典例感悟] [典例1]　(2017·沈陽模擬)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a1＝2，a4＝8，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足b2＝4，b5＝32. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)設(shè)等差數(shù)列{

41、an}的公差為d，由題意得d＝＝2，所以an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n. 設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，由題意得q3＝＝8，解得q＝2. 因?yàn)閎1＝＝2，所以bn＝b1·qn－1＝2×2n－1＝2n. (2)因?yàn)閍n＝2n，bn＝2n，所以an＋bn＝2n＋2n，所以Sn＝＋＝n2＋n＋2n＋1－2. [備課札記]　

42、 　 [方法技巧] 等差、等比數(shù)列的基本量的求解策略 (1)分析已知條件和求解目標(biāo)，確定為最終解決問題需要先求解的中間問題．如為求和需要先求出通項(xiàng)、為求出通項(xiàng)需要先求出首項(xiàng)和公差(公比)等，即確定解題的邏輯次序． (2)注意細(xì)節(jié)．例如：在等

43、差數(shù)列與等比數(shù)列綜合問題中，若等比數(shù)列的公比不能確定，則要看其是否有等于1的可能；在數(shù)列的通項(xiàng)問題中，第一項(xiàng)和后面的項(xiàng)能否用同一個(gè)公式表示等． [演練沖關(guān)] 1．(2017·洛陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N*)． (1)求a2的值并證明：an＋2－an＝2； (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． 解：(1)令n＝1得2a1a2＝4a1－3，又a1＝1，∴a2＝. 由題可得，2anan＋1＝4Sn－3，① 2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.② ②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1. ∵an≠0，∴a

44、n＋2－an＝2. (2)由(1)可知：數(shù)列a1，a3，a5，…，a2k－1，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為1，∴a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1，即n為奇數(shù)時(shí)，an＝n. 數(shù)列a2，a4，a6，…，a2k，…為等差數(shù)列，公差為2，首項(xiàng)為，∴a2k＝＋2(k－1)＝2k－，即n為偶數(shù)時(shí)，an＝n－. 綜上所述，an＝ 題型(二) 主要考查錯(cuò)位相減法求和、裂項(xiàng)相消法求和以及分組求和，且常結(jié)合數(shù)列的遞推公式、周期等命題. 數(shù) 列 求 和 問 題 [典例感悟] [典例2]　等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a

45、5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求T2n. [解]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 則由得 解得所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝n(n＋2)， 則cn＝ 即cn＝ 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋＋…＋＋(2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1)． [備課札記]　

46、 　 [方法技巧] 1．分組求和中分組的策略 (1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組． (2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組． 2．裂項(xiàng)相消的規(guī)律 (1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差． (2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多． 3．錯(cuò)

47、位相減法的關(guān)注點(diǎn) (1)適用題型：等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘({an·bn})型數(shù)列求和． (2)步驟： ①求和時(shí)先乘以數(shù)列{bn}的公比； ②將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減； ③整理結(jié)果形式． [演練沖關(guān)] 2．(2017·合肥質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S4＝24，S7＝63. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝2an＋an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)∵{an}為等差數(shù)列， ∴解得 ∴an＝2n＋1. (2)∵bn＝2an＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)， ∴Tn＝2×(4＋42＋

48、…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1) ＝2×＋ ＝(4n－1)＋n2＋2n. 3．(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和(n∈N*)． 解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12， 而b1＝2，所以q2＋q－6＝0. 又因?yàn)閝＞0，解得q＝2. 所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a

49、1，可得3d－a1＝8.① 由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.② 由①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－2，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n. (2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1， 得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1， 上述兩式相減，得 －3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n

50、－1)×4n＋1 ＝－4－(3n－1)×4n＋1 ＝－(3n－2)×4n＋1－8. 故Tn＝×4n＋1＋. 所以數(shù)列{a2nb2n－1}的前n項(xiàng)和為×4n＋1＋. 題型(三) 主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義、等差中項(xiàng)及等比中項(xiàng)，且常與數(shù)列的遞推公式相結(jié)合命題. 等差、等比數(shù)列的判定與證明 [典例感悟] [典例3]　(2017·成都模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)證明數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn. [解]　(1)證明：∵an＋1＝2an＋4， ∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)

51、， ∴＝2， ∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∴{an＋4}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)，可知an＋4＝2n， ∴an＝2n－4. 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝－2<0， ∴S1＝|a1|＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，an≥0. ∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2. 又當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足上式． ∴數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Sn＝2n＋1－4n＋2. [備課札記]　

52、 　 [方法技巧] 判定和證明數(shù)列是等差(比)數(shù)列的方法 (1)定義法：對(duì)于n≥

53、1的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an＋1－an為與正整數(shù)n無關(guān)的某一常數(shù)． (2)中項(xiàng)公式法： ①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，則{an}為等差數(shù)列； ②若a＝an－1·an＋1≠0(n∈N*，n≥2)，則{an}為等比數(shù)列． [演練沖關(guān)] 4．(2018屆高三·東北三校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1>0，an＋1＝(n∈N*)，且a1＝. (1)求證：是等比數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)證明：記bn＝－1，則＝＝＝＝＝， 又b1＝－1＝－1＝，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列． 所以－1＝×n－1，即an＝. 所以數(shù)列

54、{an}的通項(xiàng)公式為an＝. (2)由(1)知，＝×n－1＋1. 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn＝＋n＝＋n. 5．(2017·全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． 解：(1)設(shè){an}的公比為q. 由題設(shè)可得 解得 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝ ＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1 ＝－＋(－1)n ＝2＝2Sn， 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． [解題通法點(diǎn)撥] 數(shù)列

55、問題重在“歸”——化歸、歸納 [循流程思維——入題快] 等差數(shù)列與等比數(shù)列是我們最熟悉的兩個(gè)基本數(shù)列，在高中階段它們是一切數(shù)列問題的出發(fā)點(diǎn)與落腳點(diǎn)．首項(xiàng)與公差(比)稱為等差(比)數(shù)列的基本量，大凡涉及這兩個(gè)數(shù)列的問題，我們總希望把已知條件化歸為等差或等比數(shù)列的基本量間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的．這種化歸為基本量處理的方法，是解決等差或等比數(shù)列問題特有的方法，對(duì)于不是等差或等比的數(shù)列，可從簡單的個(gè)別的特殊的情景出發(fā)，從中歸納出一般性的規(guī)律、性質(zhì)，這種歸納思想便形成了解決一般性數(shù)列問題的重要方法：觀察、歸納、猜想、證明．由于數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，也可根據(jù)題

56、目特點(diǎn)，將數(shù)列問題化歸為函數(shù)問題來解決． [按流程解題——快又準(zhǔn)] [典例]　(2015·全國卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和． [解題示范]　 (1)由a＋2an＝4Sn＋3，① 可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.② ②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1， 即2(an＋1＋an)＝a－a ＝(an＋1＋an)(an＋1－an)． 由an>0，得an＋1－an＝2. 又a＋2a1＝4a1＋3， 解得a1＝－1(舍去)或a1＝3. 所以

57、{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知 bn＝＝ ＝. 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝＋ ＋…＋－ ＝. [思維升華]　對(duì)于數(shù)列的備考：一是準(zhǔn)確掌握數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系，這是解決數(shù)列問題的基礎(chǔ)；二是重視等差與等比數(shù)列的復(fù)習(xí)，熟悉其基本概念、公式和性質(zhì)，這是解決數(shù)列問題的根本；三是注意數(shù)列與函數(shù)、不等式等的綜合問題，掌握解決此類問題的通法；四是在知識(shí)的復(fù)習(xí)和解題過程中體會(huì)其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程思想等． [應(yīng)用體驗(yàn)] (2017·濟(jì)南

58、模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝511,4an＝an－1－3(n≥2)． (1)求證：數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝|log2(an＋1)|，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，由4an＝an－1－3得an＋1＝(an－1＋1)， 所以數(shù)列{an＋1}是以512為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 所以an＋1＝512×n－1＝211－2n，an＝211－2n－1. (2)bn＝|11－2n|，設(shè)數(shù)列{11－2n}的前n項(xiàng)和為Tn，則Tn＝10n－n2. 當(dāng)n≤5時(shí)，Sn＝Tn＝10n－n2；當(dāng)n≥6時(shí)，Sn＝2S5－Tn＝

59、n2－10n＋50. 所以Sn＝ [課時(shí)跟蹤檢測(cè)] 1．(2018屆高三·廣西三市聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝log4an＋1，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－1， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2－1＝1，滿足an＝2n－1， ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝， 則bn＋

60、1－bn＝－＝， 又b1＝log4a1＋1＝1， ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1，公差d＝的等差數(shù)列， ∴Tn＝nb1＋d＝. 2．(2017·福州質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其公差為2，a2a4＝4a3＋1. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a3＋a9＋…＋a3n. 解：(1)依題意知，an＝a1＋2(n－1)，an>0. 因?yàn)閍2a4＝4a3＋1，所以(a1＋2)(a1＋6)＝4(a1＋4)＋1， 所以a＋4a1－5＝0，解得a1＝1或a1＝－5(舍去)， 所以an＝2n－1. (2)a1＋a3＋a9＋…＋a3n ＝(2×1－1)＋(2×3－1)

61、＋(2×32－1)＋…＋(2×3n－1) ＝2×(1＋3＋32＋…＋3n)－(n＋1) ＝2×－(n＋1) ＝3n＋1－n－2. 3．(2018屆高三·廣東五校聯(lián)考)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)∵Sn＝2an－a1，① ∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－a1；② ①－②得，an＝2an－2an－1，即an＝2an－1. 由a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，得2(a2＋1)＝a1＋a3， ∴2(2a1＋1)＝a1＋4a1，解得

62、a1＝2. ∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＝2n. (2)∵an＝2n，∴Sn＝2an－a1＝2n＋1－2，Sn＋1＝2n＋2－2. ∴bn＝＝＝－. ∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Tn＝＋＋…＋＝＝. 4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若an＝－3Sn＋4，bn＝－log2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式與數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝＋，其中n∈N*，若數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn. 解：(1)由a1＝－3a1＋4，得a1＝1， 由an＝－3Sn＋4，知an＋1＝－3Sn＋1＋4， 兩式相減并化簡得an＋1＝an，

63、 ∴an＝n－1， bn＝－log2an＋1＝－log2n＝2n. (2)由題意知，cn＝＋. 令Hn＝＋＋＋…＋， ① 則Hn＝＋＋…＋＋， ② ①－②得，Hn＝＋＋＋…＋－＝1－. ∴Hn＝2－. 又Tn－Hn＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝， ∴Tn＝Hn＋(Tn－Hn)＝2－＋. 5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋n＋1. (1)是否存在實(shí)數(shù)p，q，使{an＋pn＋q}成等比數(shù)列？若存在，求出p，q的值；若不存在，請(qǐng)說明理由； (2)令bn＝an＋2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)p，q，使數(shù)列{an＋

64、pn＋q}為等比數(shù)列，且其公比為A，則由題意得，an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，即an＋1＝Aan＋(Ap－p)n＋Aq－q－p，又an＋1＝2an＋n＋1， ∴即 ∴an＋1＋(n＋1)＋2＝2(an＋n＋2)， 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋1＋2＝4，∴存在實(shí)數(shù)p＝1，q＝2，使數(shù)列{an＋pn＋q}是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列． (2)由(1)可知an＋n＋2＝4·2n－1＝2n＋1， ∴an＝2n＋1－n－2，n∈N*. ∴bn＝an＋2＝2n＋1－n， ∴Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)－(1＋2＋…＋n) ＝2n＋2－4－ ＝2n＋2－. 第三講

65、創(chuàng)新考法與思想方法 [常見創(chuàng)新考法] 創(chuàng)新點(diǎn)(一)　創(chuàng)新命題情景考應(yīng)用能力 [典例1]　如果一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和．已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1＝3，公和為4，那么數(shù)列{an}的前25項(xiàng)和S25的值為________． [解析]　由題意知，an＋an＋1＝4，且a1＝3，所以a1＋a2＝4，得a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，a24＝1，a25＝3，即數(shù)列{an}是周期為2的數(shù)列

66、，所以S25＝(3＋1)＋(3＋1)＋…＋(3＋1)＋3＝12×4＋3＝51. [答案]　51 [點(diǎn)評(píng)]　本題通過新定義“等和數(shù)列”考查了學(xué)生利用歸納推理解決新問題的能力．本題的實(shí)質(zhì)是考查與周期有關(guān)的數(shù)列求和問題． [演練沖關(guān)] 1．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是(　　) A．5,6月 B．6,7月 C．7,8月 D．8,9月 解析：選C　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝不滿足題意；當(dāng)n≥2時(shí)，第n個(gè)月的需求量an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋15n－9)，解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6