（浙江專版）2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 2．4.2　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 預(yù)習(xí)課本P106～107，思考并完成以下問題 (1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么？ (2

2、)如何用坐標(biāo)表示向量的模、夾角、垂直？ 　　　　 1．兩向量的數(shù)量積與兩向量垂直的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ. 數(shù)量積 兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即a·b＝x1x2＋y1y2 向量垂直 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 [

3、點(diǎn)睛]　記憶口訣：數(shù)量積的坐標(biāo)表示可簡記為“對(duì)應(yīng)相乘計(jì)算和”． 2．與向量的模、夾角相關(guān)的三個(gè)重要公式 (1)向量的模：設(shè)a＝(x，y)，則|a|＝. (2)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則||＝. (3)向量的夾角公式：設(shè)兩非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ， 則cos θ＝＝. 1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量的模等于向量坐標(biāo)的平方和．(　　) (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.(　　) (3)若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cos

4、 θ＜0，則兩向量的夾角θ一定是鈍角．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，則a·b的值是(　　) A．23　　　　B．7　　　　C．－23　　　　D．－7 答案：D 3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是(　　) A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6} 答案：C 4．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，則|a＋b|＝________. 答案：2 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算 [典例]　(1)(全國卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2

5、a＋b)·a＝(　　) A．－1　　　　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 (2)(廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，＝(1，－2)，＝(2,1)，則·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [解析]　(1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)， ∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1. (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案]　(1)C　(2)A 數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑 進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途

6、徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算．　　　　　　 [活學(xué)活用] 已知向量a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求向量a的坐標(biāo)； (2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a. 解：(1)因?yàn)閍與b同向，又b＝(1,2)， 所以a＝λb＝(λ，2λ)． 又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0. 因?yàn)棣耍?符合a與b同向的條件，所以a＝(2,4)． (2)因?yàn)閎·c＝1×2＋2×(－1)＝0， 所以(b·c)·a＝0·a＝0. 向量的模的問題 [典例]　(1)設(shè)x，y

7、∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 (2)已知點(diǎn)A(1，－2)，若向量與a＝(2,3)同向，||＝2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________． [解析]　(1)由?? ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)． ∴|a＋b|＝. (2)由題意可設(shè)＝λa(λ＞0)， ∴＝(2λ，3λ)．又||＝2， ∴(2λ)2＋(3λ)2＝(2)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴＝(4,6)．又A(1，－2)，∴B(5,4)． [答案]　(1)B　(2)(5,4) 求向量

8、的模的兩種基本策略 (1)字母表示下的運(yùn)算： 利用|a|2＝a2，將向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題． (2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算： 若a＝(x，y)，則a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝.　　　　　　 [活學(xué)活用] 1．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(，0)，則|2a－b|的最大值為________． 解析：2a－b＝(2cos θ－，2sin θ)， |2a－b|＝ ＝ ＝， 當(dāng)且僅當(dāng)cos θ＝－1時(shí)，|2a－b|取最大值2＋. 答案：2＋ 2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，則

9、|c|＝________. 解析：∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c＝a－(a·b)b＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c|＝＝8. 答案：8 向量的夾角和垂直問題 　　 [典例]　(1)已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，則實(shí)數(shù)λ＝________. (2)已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c與d的夾角為，則實(shí)數(shù)k的值為________． [解析]　(1)∵a＝(3,2)，b＝(－1,2)， ∴a＋λb＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵

10、(a＋λb)⊥b， ∴(a＋λb)·b＝0， 即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－. (2)c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)， 由cos ＝得＝， ∴(2－k)2＝(k－1)2，∴k＝. [答案]　(1)－　(2) 解決向量夾角問題的方法及注意事項(xiàng) (1)先利用平面向量的坐標(biāo)表示求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積a·b以及|a||b|，再由cos θ＝求出cos θ，也可由坐標(biāo)表示cos θ＝直接求出cos θ.由三角函數(shù)值cos θ求角θ時(shí)，應(yīng)注意角θ的取值范圍是0≤θ≤π. (2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝來判斷角θ時(shí)，要注意

11、cos θ<0有兩種情況：一是θ是鈍角，二是θ＝π；cos θ>0也有兩種情況：一是θ為銳角，二是θ＝0.　　　　　　 [活學(xué)活用] 已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b與c； (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夾角的大?。? 解：(1)∵a∥b，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3， ∴b＝(9,12)，c＝(4，－3)． (2)m＝2a－b＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 設(shè)m，n的夾角為θ， 則cos

12、θ＝＝ ＝＝－. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝， 即m，n的夾角為. 求解平面向量的數(shù)量積 [典例]　已知點(diǎn)A，B，C滿足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． [解]　[法一　定義法] 如圖，根據(jù)題意可得△ABC為直角三角形，且B＝，cos A＝，cos C＝， ∴·＋·＋· ＝·＋· ＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A) ＝－20cos C－15cos A ＝－20×－15× ＝－25. [法二　坐標(biāo)法] 如圖，建立平面直角坐標(biāo)系， 則A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)． ∴＝(－3,0)，＝(0,4)，＝(3，－4)．

13、 ∴·＝－3×0＋0×4＝0， ·＝0×3＋4×(－4)＝－16， ·＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9. ∴·＋·＋·＝0－16－9＝－25. [法三　轉(zhuǎn)化法] ∵||＝3，||＝4，||＝5， ∴AB⊥BC，∴·＝0， ∴·＋·＋·＝·(＋) ＝· ＝－||2＝－25. 求平面向量數(shù)量積常用的三個(gè)方法 (1)定義法：利用定義式a·b＝|a||b|cos θ求解； (2)坐標(biāo)法：利用坐標(biāo)式a·b＝x1x2＋y1y2解題； (3)轉(zhuǎn)化法：求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行計(jì)算．　　　　　　 [活學(xué)活用]

14、如果正方形OABC的邊長為1，點(diǎn)D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，那么cos∠DOE的值為________． 解析：法一： 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OC所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則由已知條件，可得＝，＝. 故cos∠DOE＝＝＝. 法二：∵＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ∴||＝，| |＝， ·＝2＋2＝1， ∴cos∠DOE＝＝. 答案： 層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo) 1．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，則向量a在b方向上的投影為(　　) A.　　　　　　　　　　 B．3 C．－ D．－3 解析：選D　向量a在b方向上的投影為＝＝－3.選

15、D. 2．設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝(　　) A. B. C．2 D．10 解析：選B　由a⊥b得a·b＝0， ∴x×1＋1×(－2)＝0，即x＝2， ∴a＋b＝(3，－1)， ∴|a＋b|＝＝. 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 解析：選D　2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12. 4．a(chǎn)，b為平面向量，已知a＝

16、(4,3)，2a＋b＝(3,18)，則a，b夾角的余弦值等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：選C　設(shè)b＝(x，y)，則2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以解得故b＝(－5,12)，所以cos〈a，b〉＝＝. 5．已知A(－2,1)，B(6，－3)，C(0,5)，則△ABC的形狀是(　　) A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 解析：選A　由題設(shè)知＝(8，－4)，＝(2,4)，＝(－6,8)，∴·＝2×8＋(－4)×4＝0，即⊥. ∴∠BAC＝90°， 故△ABC是直角三角形． 6．設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝

17、(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝________. 解析：a＋c＝(3,3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，則a＝(1，－1)，故|a|＝. 答案： 7．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a與2a＋b的夾角為θ，則θ＝________. 解析：∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)， ∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2， ∴cos θ＝＝，∴θ＝. 答案： 8．已知向量a＝(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b＝，則向量b的坐標(biāo)為________． 解析：設(shè)b＝(

18、x，y)(y≠0)，則依題意有解得故b＝. 答案： 9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R. (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解：(1)若a⊥b， 則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x) ＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0， 即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，則1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. 當(dāng)x＝0時(shí)，a＝(1,0)，b＝(3,0)， a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2. 當(dāng)x＝－2時(shí)，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)， a－b＝

19、(2，－4)，|a－b|＝＝2. 綜上，|a－b|＝2或2. 10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)． (1)求·及|＋|； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(－t)⊥，求t的值． 解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)， ∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵＋＝(－2，－6)， ∴|＋|＝＝2. (2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥， ∴(－t)·＝0， ∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0， ∴t＝－1. 層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo) 1．設(shè)向量a＝(1,0)，b＝，則下列結(jié)論中正確

20、的是(　　) A．|a|＝|b|　　　　　　　　　 B．a(chǎn)·b＝ C．a(chǎn)－b與b垂直 D．a(chǎn)∥b 解析：選C　由題意知|a|＝＝1，|b|＝＝，a·b＝1×＋0×＝，(a－b)·b＝a·b－|b|2＝－＝0，故a－b與b垂直． 2．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x軸上有一點(diǎn)P，使·有最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是(　　) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 解析：選C　設(shè)P(x,0)，則＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)， ∴·＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1， 故當(dāng)x＝3時(shí)，·最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

21、(3,0)． 3．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a與b的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 解析：選C　x應(yīng)滿足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共線，解得x＞，且x≠－，∴x＞. 4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設(shè)C(x，y)，則＝(x，y)． 又＝(－3,1)， ∴＝－＝(x＋3，y－1)． ∵∥， ∴5(x＋3)－0·(y－1)＝0，∴x＝－3. ∵＝(0,5)， ∴＝－＝(x，y－5)，＝－＝(3,4)．

22、∵⊥，∴3x＋4(y－5)＝0，∴y＝， ∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是. 5．平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________. 解析：因?yàn)橄蛄縜＝(1,2)，b＝(4,2)，所以c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋2)，所以a·c＝m＋4＋2(2m＋2)＝5m＋8，b·c＝4(m＋4)＋2(2m＋2)＝8m＋20. 因?yàn)閏與a的夾角等于c與b的夾角，所以＝，即＝，所以＝， 解得m＝2. 答案：2 6．已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為______；·的最大值為______． 解析： 以D為坐

23、標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示． 則D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)， 設(shè)E(1，a)(0≤a≤1)． 所以·＝(1，a)·(1,0)＝1， ·＝(1，a)·(0,1)＝a≤1， 故·的最大值為1. 答案：1　1 7．已知a，b，c是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中a＝(1,2)． (1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐標(biāo)； (2)若|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ. 解：(1)設(shè)c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2， ∴x2＋y2＝20. 由c∥a和|c|＝2， 可得解得或 故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)． (2)∵

24、(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0， 即2a2＋3a·b－2b2＝0， ∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－， ∴cos θ＝＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π. 8．已知＝(4,0)，＝(2,2)，＝(1－λ)＋λ (λ2≠λ)． (1)求·及在上的投影； (2)證明A，B，C三點(diǎn)共線，且當(dāng)＝時(shí)，求λ的值； (3)求||的最小值． 解：(1)·＝8，設(shè)與的夾角為θ，則cos θ＝＝＝， ∴在上的投影為||cos θ＝4×＝2. (2)＝－＝(－2,2)，＝－＝(1－λ)·－(1－λ)＝(λ－1)，所以A，B，C三點(diǎn)共線． 當(dāng)＝時(shí)，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)||2＝(1－λ)2＋2λ(1－λ)·＋λ2 ＝16λ2－16λ＋16＝162＋12， ∴當(dāng)λ＝時(shí)，||取到最小值，為2. 12