九年級數(shù)學(xué)教案示例 北師大版(I)

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1、九年級數(shù)學(xué)教案示例 北師大版(I) 課時安排 1課時 從容說課 本節(jié)在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)用銳角三角函數(shù)解決實際問題，經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.因此本節(jié)選取了現(xiàn)實生活中的幾個題材：船右觸礁的危險嗎，小明測塔的高度，改變商場樓梯的安全性能等，使學(xué)生真正體會到三角函數(shù)在解決實際問題中必不可少的重要地位.提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 因此，本節(jié)的重點是讓學(xué)生親歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助計算器進(jìn)行三角函數(shù)的計算，并能進(jìn)一步對結(jié)果的意義進(jìn)行

2、說明，發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力.教學(xué)時，教師可讓學(xué)生在審清題意的基礎(chǔ)上，自己畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這是本節(jié)課的重點也是難點.同時，讓學(xué)生對“三角學(xué)”的發(fā)展史有所了解. 第六課時 課 題 §1.4 船有觸礁的危險嗎 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用. 2.能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明. (二)能力訓(xùn)練要求 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力. (三)情

3、感與價值觀要求 1.在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨(dú)立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣. 2.選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望. 教具重點 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用. 2.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力. 教學(xué)難點 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖. 教學(xué)方法 探索——發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 多媒體演示 教學(xué)過程 Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 [師]直角三角形就像一個萬

4、花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界.我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等. 下面我們就來看一個問題(多媒體演示). 海中有一個小島A，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流. 下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知

5、識解決此問題.(板書：船有觸礁的危險嗎) Ⅱ.講授新課 [師]我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? [生]應(yīng)該是“上北下南，左西右東”. [師]請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的. [生]首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處，C在B的正東方，且在A南偏東25°處.示意圖如下. [師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定? [生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果

6、小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD⊥BC，D為垂足，即AD的長度.我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較. [師]這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題.下面我們就來看AD如何求.根據(jù)題意，有哪些已知條件呢? [生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°. [師]在示意圖中，有兩個直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一個三角形中求出AD呢? [生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD. [生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，雖然知

7、道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD. [師]那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮? [生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. [師]有何聯(lián)系呢? [生]在Rt△ABD中，tan55°＝，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝，CD＝ADtan25°. [生]利用BC＝BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝

8、20. [師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙.其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一. 下面我們一起完整地將這個題做完. [師生共析]解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，從而BD=AD tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得 ADtan55°-ADtan25°＝20. AD(tan55°-tan25°)＝20， AD=≈20.79(海里). 這樣AD≈20.79海里>10海里，所以貨輪

9、沒有觸礁的危險. [師]接下來，我們再來研究一個問題.還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 多媒體演示 想一想你會更聰明： 如圖，小明想測量塔 CD的高度.他在A處 仰望塔頂，測得仰角 為30°，再往塔的方 向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到1 m) [師]我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角? [生]當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指∠DAC

10、，60°的仰角指∠DBC. [師]很好!請同學(xué)們獨(dú)立思考解決這個問題的思路，然后回答. (教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)) [生]首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30°=， 即AC＝在Rt△BDC中，tan60°=, 即BC＝，又∵AB=AC-BC＝50 m，得 -=50. 解得CD≈43(m)， 即塔CD的高度約為43 m. [生]我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高.

11、 [師]這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6 m，其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎? [生]示意圖如 右圖所示，由前面的 解答過程可知CC′≈ 43 m，則CD＝43+ 1.6＝44.6 m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6 m. [師]同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想請同學(xué)們幫忙解決一下. 多媒體演示： 某商場準(zhǔn)備改善原來 樓梯的安全性能，把

12、 傾角由40°減至35°， 已知原樓梯長為4 m， 調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0l m) 請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨(dú)立完成，然后相互交流，討論各自的想法) [生]在這個問題 中，要注意調(diào)整前后 的梯樓的高度是一個 不變量.根據(jù)題意可 畫㈩示意圖(如右 圖).其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.∠ACB是原樓梯的傾角，∠ADB是調(diào)整后的樓梯的傾角.轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為： 如圖，AB⊥DB，

13、∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的長度. [師]這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題.大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式.我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧! [生]解：由條件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝，即AB＝4sin40°m，原樓梯占地 長BC＝4cos40°m. 調(diào)整后,在Rt△ADB中，sin35°＝，則AD＝m.樓梯占地長 DB=m. ∴調(diào)整后樓梯加長AD-AC＝-4≈0.48(m)，樓梯比原來多占DC＝DB-BC= -4cos40°≈0.61(m).

14、 Ⅲ.隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被 一鋼纜CD固定，CD與地面 成40°夾角，且DB＝5 m， 現(xiàn)再在C點上方2m處加固 另一條鋼纜ED，那么鋼纜 ED的長度為多少? 解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= ，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 在Rt△EDB中，DB=5 m， BE=BC+EC＝2+5sin40°(m). 根據(jù)勾股定理，得DE=≈7.96(m). 所以鋼纜ED的長度為7.96 m. 2.如圖，水庫大壩的 截面是梯形ABCD，壩頂AD ＝

15、6 m，坡長CD＝8 m.坡底 BC＝30 m，∠ADC=135°. (1)求∠ABC的大小： (2)如果壩長100 m.那么建筑這個大壩共需多少土石料?(結(jié)果精確到0.01 m3) 解：過A、D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°， ∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=4 (m). ∴BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m). 在Rt△AEB中，AE＝DF=4 (m). tanAB

16、C＝≈0.308. ∴∠ABC≈17°8′21″. (2)梯形ABCD的面積S＝(AD+BC)×AE = (6+30)×4 =72 (m2). 壩長為100 m，那么建筑這個大壩共需土石料100×72 ≈10182.34(m3). 綜上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大壩共需10182.34 m3土石料. Ⅳ.課時小結(jié) 本節(jié)課我們運(yùn)用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實際問題，提高了我們分析和 解決實際問題的能力. 其實，我們這一章所學(xué)的內(nèi)容屬于“三角學(xué)”的范疇.請同學(xué)們閱讀“讀一讀”，了解“三角學(xué)”的發(fā)展，相信

17、你會對“三角學(xué)”更感興趣. Ⅴ.課后作業(yè) 習(xí)題1.6第1、2、3題. Ⅵ.活動與探究 (xx年貴州貴 陽)如圖，某貨船以 20海里／時的速度 將一批重要物資由A 處運(yùn)往正西方向的B 處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時.接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里／時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1)問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由. (2)為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：≈1.4， ≈1.7)

18、[過程]這是一道需借助三角知識解決的應(yīng)用問題，需抓住問題的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學(xué)問題上下功夫. [結(jié)果](1)過點B作BD⊥AC.垂足為D. 依題意，得∠BAC＝30°，在Rt△ABD中，BD= AB=×20×16=160＜200， ∴B處會受到臺風(fēng)影響. (2)以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E、F，由勾股定理可求得DE=120. AD=160. AE=AD-DE=160 -120， ∴=3.8(小時). 因此，陔船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物. 板書設(shè)計 §1.4 船有觸礁的危險嗎 一、船布觸礁的危險嗎 1.根據(jù)題意，畫出示意圖.將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 2.用三角函數(shù)和方程的思想解決關(guān)于直角三角形的問題. 3.解釋最后的結(jié)果. 二、測量塔高 三、改造樓梯