2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 4.3.1《空間直角坐標(biāo)系》學(xué)案2

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 4.3.1《空間直角坐標(biāo)系》學(xué)案2 【教學(xué)目標(biāo)】 1. 讓學(xué)生經(jīng)歷用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程，學(xué)會(huì)科學(xué)的思維方法． 2. 理解空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握由空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)確定其坐標(biāo)或由坐標(biāo)確定其在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系． 3. 進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力與確定性思維能力． 【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn)：求一個(gè)幾何圖形的空間直角坐標(biāo)。 難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的理解。 【教學(xué)過程】 一、 情景導(dǎo)入 1. 確定一個(gè)點(diǎn)在一條直線上的位置的方法

2、． 2. 確定一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)的位置的方法． 3. 如何確定一個(gè)點(diǎn)在三維空間內(nèi)的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內(nèi)如何確定電燈位置？ 在學(xué)生思考討論的基礎(chǔ)上，教師明確：確定點(diǎn)在直線上，通過數(shù)軸需要一個(gè)數(shù)；確定點(diǎn)在平面內(nèi)，通過平面直角坐標(biāo)系需要兩個(gè)數(shù)．那么，要確定點(diǎn)在空間內(nèi)，應(yīng)該需要幾個(gè)數(shù)呢？通過類比聯(lián)想，容易知道需要三個(gè)數(shù)．要確定電燈的位置，知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個(gè)墻面的距離即可． （此時(shí)學(xué)生只是意識(shí)到需要三個(gè)數(shù)，還不能從坐標(biāo)的角度去思考，因此，教師在這兒要重點(diǎn)引導(dǎo)） 教師：在地面上建立直角坐標(biāo)系xOy，則地面上任一點(diǎn)的位置只須利用x，y就可確定．為了確

3、定不在地面內(nèi)的電燈的位置，須要用第三個(gè)數(shù)表示物體離地面的高度，即需第三個(gè)坐標(biāo)z．因此，只要知道電燈到地面的距離、到相鄰的兩個(gè)墻面的距離即可．例如，若這個(gè)電燈在平面xOy上的射影的兩個(gè)坐標(biāo)分別為4和5，到地面的距離為3，則可以用有序數(shù)組（4，5，3）確定這個(gè)電燈的位置（如圖26-3）． 這樣，仿照初中平面直角坐標(biāo)系，就建立了空間直角坐標(biāo)系O—xyz，從而確定了空間點(diǎn)的位置． 二、合作探究、精講點(diǎn)撥 1. 在前面研究的基礎(chǔ)上，先由學(xué)生對(duì)空間直角坐標(biāo)系予以抽象概括，然后由教師給出準(zhǔn)確的定義． 從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系O—xyz，點(diǎn)

4、O叫作坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫作坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為xO平面，yO平面，zOx平面． 教師進(jìn)一步明確： （1）在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手坐標(biāo)系，課本中建立的坐標(biāo)系都是右手坐標(biāo)系． （2）將空間直角坐標(biāo)系O—xyz畫在紙上時(shí)，x軸與y軸、x軸與z軸成135°，而y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長度相等，但x軸上的單位長度等于y軸和z軸上的單位長度的，這樣，三條軸上的單位長度直觀上大致相等． 2. 空間直角坐標(biāo)系O—xyz中點(diǎn)的坐標(biāo)． 思考1：在空間直角坐標(biāo)系中，空

5、間任意一點(diǎn)Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 在學(xué)生充分討論思考之后，教師明確： （1）過點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸，y軸，z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點(diǎn)P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，這樣，對(duì)空間任意點(diǎn)A，就定義了一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z）． （2）反之，對(duì)任意一個(gè)有序數(shù)組（x，y，z），按照剛才作圖的相反順序，在坐標(biāo)軸上分別作出點(diǎn)P，Q，R，使它們?cè)趚軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)分別是x，y，z，再分別過這些點(diǎn)作垂直于各自所在的坐標(biāo)軸的平面，這三個(gè)平面的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)A． 這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)A與有序數(shù)組（x，y，

6、z）之間就建立了一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系：A（x，y，z）． 教師進(jìn)一步指出：空間直角坐標(biāo)系O—xyz中任意點(diǎn)A的坐標(biāo)的概念 對(duì)于空間任意點(diǎn)A，作點(diǎn)A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即經(jīng)過點(diǎn)A作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸、z軸分別交于點(diǎn)P，Q，R，點(diǎn)P，Q，R在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，我們把有序數(shù)組（x，y，z）叫作點(diǎn)A的坐標(biāo)，記為A（x，y，z）．（如圖26-4） 思考2： （1）在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ （2）在空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ 解：（1）xOy平面、xOz平面、yOz平面內(nèi)

7、的點(diǎn)的坐標(biāo)分別形如（x，y，0），（x，0，z），（0，y，z）． （2）x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)分別形如（x，0，0），（0，y，0），（0，0，z）． 三、典型例題 例1、在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中，作出點(diǎn)P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標(biāo)定義，強(qiáng)調(diào)三個(gè)步驟，第一步從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)5個(gè)單位，第二步沿與ｙ軸平行的方向向右移動(dòng)4個(gè)單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)6個(gè)單位（如圖26-5）． 變式練習(xí)： 已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z

8、軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 注意：此題可以由學(xué)生口答，教師點(diǎn)評(píng)． 解：A（0，0，0），B（12，0，0），D（0，8，0），A′（0，0，5），C（12，8，0），B′（12，0，5），D′（0，8，5），C′（12，8，5）． 討論：若以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么各頂點(diǎn)的坐標(biāo)又是怎樣的呢？ 得出結(jié)論：建立不同的坐標(biāo)系，所得的同一點(diǎn)的坐標(biāo)也不同． 例2、結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個(gè)棱長為的小正方體堆積成的正方體），其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原

9、子，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標(biāo)。 解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標(biāo)。 下層原子全在xOy平面，它們所在位置的豎坐標(biāo)全是0，所以下層的五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為： （0,0,0），（1,0,0），（1,1,0），（0,1,0），（,,0）， 中層的四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為： （,0,），（1,,），（,1, ），（0,, ） 上層的五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為： （0,0,1），（1,0,1），（1,1,1），（0,1,1），（,,1）。 變式練習(xí)：在長方體OABC－D’A’B’C’中，∣OA∣＝3

10、，∣OC∣＝4，∣OD∣＝2，寫出D 、C、 A 、B四點(diǎn)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的坐標(biāo)。 注意：此題可以由學(xué)生口答，教師點(diǎn)評(píng)． 解：因?yàn)镈在z軸上，且∣OD∣＝2，它的豎坐標(biāo)為2，它的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是零，所以D點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,0，2），點(diǎn)C在y軸上，且∣OC∣＝4,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,4，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,0，2），B的坐標(biāo)為（3,4，2）。所以D點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,0，-2），點(diǎn)C對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4，0），點(diǎn)A對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,0，-2），B的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4，-2）。 四、反思總結(jié)： 五、當(dāng)堂檢測(cè): 1. 在空間直角坐標(biāo)系中，畫出下列各點(diǎn)：A（0，0

11、，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，－2）． 2. 已知：長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 3. 寫出坐標(biāo)平面yOz上∠yOz平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件． 【板書設(shè)計(jì)】 一、空間直角坐標(biāo)系 二、例題 例1 變式1 例2 變式2 【作業(yè)布置】作業(yè)：P138　2　 4.3.1空間直角坐標(biāo)系（導(dǎo)學(xué)案） 課前預(yù)習(xí)學(xué)案 一、 預(yù)習(xí)目標(biāo) 1. 用類比的數(shù)學(xué)思想

12、方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法． 2. 理解空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握由空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)確定其坐標(biāo)或由坐標(biāo)確定其在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系． 二、 預(yù)習(xí)內(nèi)容 1. 如何確定一個(gè)點(diǎn)在一條直線上的位置？ 。 2. 如何確定一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)的位置？ 。 3.從空間某一個(gè)定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸,y軸,z軸.這樣就建立了 ，點(diǎn)O叫作 ，x軸、y軸、z軸叫作

13、 ，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別稱為 , , . 4.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，若中指指向z軸的正方向則稱這個(gè)坐標(biāo)系為 。 5.空間任意點(diǎn)A的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點(diǎn)A在此 ，記作 。其中x 叫做點(diǎn)A的 ，y叫做點(diǎn)A的 ，z叫做點(diǎn)A的 。 6.空間兩點(diǎn)間的距離公式

14、 。 三、提出疑惑 1、 ； 2、 ； 3、 。 課內(nèi)探究學(xué)案 一、學(xué)習(xí)目標(biāo) 1. 讓學(xué)生用類比的數(shù)學(xué)思想方法探索空間直角坐標(biāo)系的建立方法，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)概念、方法產(chǎn)生和發(fā)展的過程． 2. 理解空間直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)的意義，掌握由空間

15、直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)確定其坐標(biāo)或由坐標(biāo)確定其在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，認(rèn)識(shí)空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系． 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：求一個(gè)幾何圖形的空間直角坐標(biāo)。 學(xué)習(xí)難點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的理解。 二、學(xué)習(xí)過程 思考1： 如何確定一個(gè)點(diǎn)在三維空間內(nèi)的位置？ 例：如圖26-2，在房間（立體空間）內(nèi)如何確定電燈位置？ 思考2：在空間直角坐標(biāo)系中，空間任意一點(diǎn)Ａ與有序數(shù)組（x，y，z）有什么樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 思考3： （1）在空間直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)平面xOy，xOz，yOz上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？

16、 （2） 在空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？ 典型例題 例1、 在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中，作出點(diǎn)P（5，4，6）． 注意：在分析中緊扣坐標(biāo)定義，第一步從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)5個(gè)單位，第二步沿與ｙ軸平行的方向向右移動(dòng)4個(gè)單位，第三步沿與z軸平行的方向向上移動(dòng)6個(gè)單位（如

17、圖26-5）． 變式練習(xí)： 已知長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝5，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，AD，AA′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 討論：若以C點(diǎn)為原點(diǎn)，以射線CB，CD，CC′方向分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，那么各頂點(diǎn)的坐標(biāo)又是怎樣的呢？ 例2、結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，如圖是食鹽晶胞的示意圖（可看成是八個(gè)棱長為的小正方體堆積成的正方體），其中色點(diǎn)代表鈉原子，黑點(diǎn)代表氯原子，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所

18、在位置的坐標(biāo)。 變式練習(xí)：在長方體OABC－D′A′B′C′中，∣OA∣＝3，∣OC∣＝4，∣OD∣＝2，寫出D 、C、 A 、B四點(diǎn)關(guān)于平面xOy對(duì)稱的坐標(biāo)。 反思總結(jié)： 當(dāng)堂檢測(cè): 1. 在空間直角坐標(biāo)系中，畫出下列各點(diǎn)：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4），D（－1，2，

19、－2）． 2. 已知：長方體ABCD－A′B′C′D′的邊長AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以這個(gè)長方體的頂點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AB，BC，BB′分別為x軸、y軸和z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求這個(gè)長方體各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 3. 寫出坐標(biāo)平面yOz上∠yOz平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件． 課后練習(xí)與提高 1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過點(diǎn)作平面的垂線，則的坐標(biāo)為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2.已知點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3.坐標(biāo)原點(diǎn)到下列各點(diǎn)的距離最小的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 4. 在空間直角坐標(biāo)系中，的所有點(diǎn)構(gòu)成的圖形是　　　　　　． 5.點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　，關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　　，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是　　　　　　　． 6. 求證：以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形．