2022年高考數(shù)學專題復習 第20講 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及三角函數(shù)模型的應用練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第20講 函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的圖象及三角函數(shù)模型的應用練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換.2.考查函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象畫法或解析式的求法.3.以新問題新情景為切入點，考查三角函數(shù)模型的應用． 一、y＝Asin(ωx＋φ)的有關概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一個振動量時 振幅 周期 頻率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 二、用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖 用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期

2、內(nèi)的簡圖時，要找五個關鍵點，如下表所示 x － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三、由y＝sin x的圖象變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的圖象 　(1)先平移后伸縮　　　　　(2)先伸縮后平移 兩種變換的差異 先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是(ω＞0)個單位．原因是相位變換和周期變換都是針對x而言的． 1．已知簡諧運動f(x)＝2sin的圖象經(jīng)過點(0,1)，則該簡諧運動的最小正周期T和初

3、相φ分別為(　　) A．T＝6，φ＝　 B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 【解析】　由題意知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝， 又|φ|＜，∴φ＝，又T＝6，故選A. 【答案】　A 2．函數(shù)y＝sin在區(qū)間上的簡圖是下列選項中的(　　) 【解析】　當x＝時，y＝sin＝0；當x＝π時，y＝sin＝－，從而排除B、C、D，選A. 【答案】　A 3．將函數(shù)y＝sin x的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再把所得圖象上所有的點向右平行移動個單位，得到圖象的函數(shù)解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C

4、．y＝sin D．y＝sin 【解析】　將y＝sin x的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)得到的圖象解析式為y＝sin x，再把所得圖象上所有點向右平移個單位，得到的圖象解析式為y＝sin ＝sin. 【答案】　D 圖3－4－1 4．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分圖象如圖3－4－1所示，則(　　) A．ω＝1，φ＝ B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 【解析】　由圖象知A＝1，T＝4＝π， ∴＝π，ω＝2，排除A，B，再由2×＋φ＝，得φ＝－. 【答案】　D 5．(xx·安徽高考)要得到函數(shù)y＝c

5、os(2x＋1)的圖象，只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象(　　) A．向左平移1個單位 B．向右平移1個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位 【解析】　∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2， ∴只要將函數(shù)y＝cos 2x的圖象向左平移個單位即可，故選C. 【答案】　C 6．(xx·四川高考)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖3－4－2所示，則ω，φ的值分別是(　　) 圖3－4－2 A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 【解析】　∵＝π－π，∴T＝π. 又T＝(ω>0)， ∴＝π，∴ω＝2. 由五點作圖法可知當x＝π時，

6、ωx＋φ＝，即2×π＋φ＝，∴φ＝－.故選A. 【答案】　A 考向一 [056]　作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象 　已知函數(shù)f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x. (1)將f(x)化為y＝Acos(ωx＋φ)的形式； (2)用“五點法”在給定的坐標中，作出函數(shù)f(x)在[0，π]上的圖象． 【思路點撥】　(1)運用二倍角公式及兩角和與差的余弦公式化為y＝Acos(ωx＋φ)的形式； (2)在表中列出[0，π]上的特殊點及兩個區(qū)間端點，根據(jù)變化趨勢畫出圖象． 【嘗試解答】　(1)f(x)＝cos2x－sin2x－2sin xcos x ＝cos

7、 2x－sin 2x＝ ＝cos. (2)列表： 2x＋ π π 2π π x 0 π π π π f(x) 1 0 － 0 1 圖象為： 規(guī)律方法1　1.尋找[0，π]上的特殊點時，可先求出2x＋的范圍，在此范圍內(nèi)找出特殊點，再求出對應的x值. 2.用“五點法”作圖應注意四點：(1)將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；(2)求出周期T＝；(3)求出振幅A；(4)列出一個周期內(nèi)的五個特殊點，當畫出某指定區(qū)間上的圖象時，應列出該區(qū)間內(nèi)的特殊點和區(qū)間端點. 對點訓

8、練　已知函數(shù)f(x)＝sin.畫出函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 【解】　∵0≤x≤π，∴≤2x＋≤.列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π y 1 0 －1 0 畫出圖象如圖所示． 考向二 [057]　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換 　(1)(xx·浙江高考)把函數(shù)y＝cos 2x＋1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是(　　) (2)(xx·課標全國卷Ⅱ)函數(shù)y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ＜π)的圖象向右平移

9、個單位后，與函數(shù)y＝sin的圖象重合，則φ＝________. 【思路點撥】　(1)寫出變換后的函數(shù)解析式，再根據(jù)圖象變換找圖象； (2)先進行平移，得出的三角函數(shù)與所給的三角函數(shù)進行比較，求出φ的值. 【嘗試解答】　(1)y＝cos 2x＋1y＝cos x＋1 y＝cos(x＋1)＋1y＝cos(x＋1)． 結合選項可知應選A. (2)y＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)＝cos的圖象，整理得y＝cos(2x－π＋φ)． ∵其圖象與y＝sin(2x＋)的圖象重合， ∴φ－π＝－＋2kπ，∴φ＝＋π－＋2kπ， 即φ＝＋2kπ.又∵－π≤φ＜π，∴φ＝. 【答

10、案】　(1)A　(2) 規(guī)律方法2　對y＝Asin(ωx＋φ)進行圖象變換時應注意以下兩點： (1)平移變換時，x變?yōu)閤±a(a＞0)，變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin[ω(x±a)＋φ]； (2)伸縮變換時，x變?yōu)?橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍)，變換后的函數(shù)解析式為y＝Asin(x＋φ). 對點訓練　(xx·濟南一中等四校聯(lián)考)為了得到函數(shù)y＝sin 2x的圖象，只需把函數(shù)y＝sin的圖象．(　　) A．向左平移個單位　 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向右平移個單位 【解析】　∵y＝sin＝sin 2，故只需把該函數(shù)的圖象向右平移個單位便可得到函數(shù)y＝sin 2x的

11、圖象． 【答案】　D 考向三 [058]　求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 　(1)如圖3－4－3是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的圖象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(　　) 圖3－4－3 A．A＝3，T＝，φ＝－　　 B．A＝1，T＝，φ＝ C．A＝1，T＝，φ＝－ D．A＝1，T＝，φ＝－ (2)如圖3－4－4是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分圖象，則該函數(shù)的解析式為________． 圖3－4－4 【思路點撥】　(1)利用求A，借助T＝求ω，利用點求φ. (2)借助圖象特征求A及T，進而求出ω，

12、利用點或(π，0)，等條件確定φ的值． 【嘗試解答】　(1)由圖象知，A＝＝1，＝π－＝π，∴T＝π，ω＝，由π×＋φ＝＋2kπ， 得φ＝－π＋2kπ，k∈Z， 令k＝0得φ＝－π，故選C. 【答案】　C (2)由圖知A＝5，由＝－π＝，得T＝3π， ∴ω＝＝，此時y＝5sin. 下面求初相φ. 法一(單調(diào)性法)： ∵點(π，0)在遞減的那段曲線上， ∴＋φ∈(k∈Z)． 由sin＝0得＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． ∵|φ|＜π，∴φ＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法二(最值點法)： 將最高點坐標代入y＝5sin， 得5si

13、n＝5，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)， ∴φ＝2kπ＋(k∈Z)． 又|φ|＜π，∴φ＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法三(起始點法)： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象一般由“五點法”作出，而起始點的橫坐標x正是由ωx＋φ＝0解得的．故只需找出起始點橫坐標x0，就可以迅速求得φ.由圖象易得x0＝－，∴φ＝－ωx0＝－×＝. ∴該函數(shù)的解析式為y＝5sin. 法四(平移法)： 由圖象知，將y＝5sin的圖象沿x軸向左平移個單位，就得到本題圖象，故所求函數(shù)解析式為y＝5sin. 規(guī)律方法3　1.求參數(shù)φ是確定函數(shù)解析式的關鍵，由特殊點求φ時，一定要分清特殊點是“五點法”

14、的第幾個點. 2.用五點法求φ值時，往往以尋找“五點法”中的第一個點為突破口.“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時ωx＋φ＝0.“第二點”(即圖象的“峰點”)時，ωx＋φ＝；“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)時ωx＋φ＝π；“第四點”(即圖象的“谷點”)時ωx＋φ＝；“第五點”時ωx＋φ＝2π. 對點訓練　(xx·大綱全國卷)若函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分圖象如圖3－4－5，則ω＝(　　) 圖3－4－5 A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．2 【解析】　設函數(shù)的最小正周期為T，由函數(shù)圖象可知＝－x0＝，所以T＝.又因為T＝，可解得ω＝4. 【答案

15、】　B 考向四 [059]　三角函數(shù)模型的簡單應用 圖3－4－6 　如圖3－4－6為一個纜車示意圖，該纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面距離為0.8 m,60秒轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動θ角到OB，設B點與地面間的距離為h. (1)求h與θ間關系的函數(shù)解析式； (2)設從OA開始轉動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)關系式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？ 【思路點撥】　 【嘗試解答】　(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的直角坐標系，則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－. 故點B的坐標為， ∴h＝5.6＋4.8si

16、n. (2)點A在圓上轉動的角速度是， 故t秒轉過的弧度數(shù)為t， ∴h＝5.6＋4.8sin，t∈[0，＋∞)． 到達最高點時，h＝10.4 m. 由sin＝1且用時最少得t－＝， ∴t＝30，∴纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒． 規(guī)律方法4　1.三角函數(shù)模型在實際中的應用體現(xiàn)在兩個方面：一是已知三角函數(shù)模型，準確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應法則，二是把實際問題抽象轉化成數(shù)學問題，建立三角函數(shù)模型，再利用三角函數(shù)的有關知識解決問題，其關鍵是合理建模． 2．建模的方法是，認真審題，把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程．

17、對點訓練　 圖3－4－7 (xx·鄭州模擬)如圖3－4－7所示，質點P在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為P0(，－)，角速度為1，那么點P到x軸距離d關于時間t的函數(shù)圖象大致為(　　) 　　　 【解析】　∵P0(，－)，∴∠P0Ox＝. 按逆時針轉時間t后，得∠POP0＝t，∠POx＝t－. 由三角函數(shù)定義，知點P的縱坐標為2sin， 因此d＝2. 當點P在P0處時，t＝0，d＝，排除A、D； 當t＝時，點P在x軸上，此時d＝0，排除B. 【答案】　C 規(guī)范解答之四　三角函數(shù)的圖象性質及平移變換 —————　[1個示范例]　————　[1個規(guī)范練]　——

18、——— 　　　(12分)(xx·山東高考)已知向量m＝(sin x,1)，n＝(A>0)，函數(shù)f(x)＝m·n的最大值為6. (1)求A； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求g(x)在上的值域． 【規(guī)范解答】　(1)f(x)＝m·n＝Asin xcos x＋cos 2x＝A＝Asin.4分 因為A>0，由題意知A＝6.6分 (2)由(1)得f(x)＝6sin. 將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移個單位后得到y(tǒng)＝6sin＝6sin的圖象；8分 再將得到的圖象上各點橫坐標縮短為原來的，縱坐

19、標不變，得到y(tǒng)＝6sin的圖象.10分 因此g(x)＝6sin.因為x∈， 所以4x＋∈， 故g(x)在上的值域為[－3,6].12分 【名師寄語】　(1)伸縮變換時，只是x的系數(shù)發(fā)生變化，橫坐標縮短為原來的倍，則x變?yōu)?x，其他量不變. (2)求y＝Asin(ωx＋φ)的值域問題，應先根據(jù)x的范圍，確定ωx＋φ的范圍，再數(shù)形結合求值域. (xx·安徽高考)設函數(shù)f(x)＝sin x＋sin. (1)求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合； (2)不畫圖，說明函數(shù)y＝f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到． 【解】　(1)因為f(x)＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， 所以當x＋＝2kπ－(k∈Z)，即x＝2kπ－(k∈Z)時，f(x)取得最小值－. 此時x的取值集合為. (2)先將y＝sin x的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的倍(橫坐標不變)，得y＝sin x的圖象；再將y＝sin x的圖象上所有的點向左平移個單位，得y＝f(x)的圖象．