2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

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1、2022人教A版數(shù)學(xué)必修二 《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》教案 1課時 教學(xué)分析 在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識,本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.同時,由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學(xué)習(xí)了圓的方程,就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說,本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性,對圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學(xué)生的主體意識,教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)和學(xué)會創(chuàng)造,同時培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識,本節(jié)內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型

2、教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計為若干問題,從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式,教師在教學(xué)過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學(xué)生“探”,把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來.教師的每項(xiàng)教學(xué)措施,都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動腦、動手、動口并主動參與的學(xué)習(xí)機(jī)會,激發(fā)學(xué)生的求知欲,促使學(xué)生解決問題. 課題 4.1.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)目標(biāo) （一）知識與技能 使學(xué)生掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問

3、題的能力. （二）過程與方法 會用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí),形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力. （三）情感態(tài)度與價值觀 把握運(yùn)動變化原則,培養(yǎng)學(xué)生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn),欣賞和體驗(yàn)圓的對稱性,感受數(shù)學(xué)美. 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 同學(xué)們,我們知道直線可以用一個方程表示,那么,圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 二、講授新課 自主學(xué)習(xí) ①已知兩點(diǎn)A(2,-5),B(6,9),如何求它們之

4、間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離? ②具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？ ③圖1中哪個點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個點(diǎn)是動點(diǎn)？動點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？ 圖1 ④我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,確定一條直線的條件是兩點(diǎn)或一點(diǎn)和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么? ⑤如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程? ⑥圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時,圓的方程是什么？ 學(xué)生展示 討論結(jié)果：①根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式,得 |AB|=, |CD|=. ②平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡

5、稱為圓,定點(diǎn)是圓心,定長是半徑(教師在黑板上畫一個圓). ③圓心C是定點(diǎn),圓周上的點(diǎn)M是動點(diǎn),它們到圓心距離等于定長|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小. ④確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了. ⑤確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r＞0).設(shè)M(x,y)為這個圓上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P={M||MA|=r},由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn)M適合的條件=r.①將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2. 化簡可得(x-a)2+(y-b)2=

6、r2.② 若點(diǎn)M(x,y)在圓上,由上述討論可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程②,反之若點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程②,這就說明點(diǎn)M與圓心C的距離為r,即點(diǎn)M在圓心為C的圓上.方程②就是圓心為C(a,b),半徑長為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ⑥這是二元二次方程,展開后沒有xy項(xiàng),括號內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(diǎn)(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0,0)時,方程為x2+y2=r2. 合作探究 探究1 ①根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么? ②確定圓的方程的方法和步驟是什么? ③坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷? 學(xué)生展示

7、：①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三個參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,這時圓的方程就被確定,因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需三個獨(dú)立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件. ②確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為： 1°根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2=r2； 2°根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組； 3°解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程. ③點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r

8、2的關(guān)系的判斷方法： 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時,點(diǎn)M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2. 用點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為: 1°點(diǎn)到圓心的距離大于半徑,點(diǎn)在圓外(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,點(diǎn)在圓外; 2°點(diǎn)到圓心的距離等于半徑,點(diǎn)在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點(diǎn)在圓上; 3°點(diǎn)到圓心的距離小于半徑,點(diǎn)在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2＜r2,點(diǎn)在圓內(nèi). 探究2 例1 寫出

9、下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (1)圓心在原點(diǎn),半徑是3； ⑵圓心在點(diǎn)C(3,4),半徑是; (3)經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),圓心在點(diǎn)C(8,-3)； (4)圓心在點(diǎn)C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相切. 學(xué)生展示 這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩種方法都可,要視問題的方便而定. (4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=. 老師點(diǎn)評：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長等

10、于5的圓的方程,并判斷點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個圓上. 學(xué)生解答:圓心為A(2,-3),半徑長等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 (x-2)2+(y+3)2=25, 把點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25, 則M1的坐標(biāo)滿足方程,M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上. 老師點(diǎn)評:本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后給一個點(diǎn),判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程——從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上——從代數(shù)到幾何. 教師精講 例3 △ABC的三個頂點(diǎn)的坐

11、標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程. 教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點(diǎn)確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法. 解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)锳(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圓上, 它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是 解此方程組得所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25. 解法二:線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-1

12、),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6). ① 同理線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5). ②解由①②組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r==5,所以△ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.

13、 點(diǎn)評:△ABC外接圓的圓心是△ABC的外心,它是△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn),它到三頂點(diǎn)的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識,可豐富解題思路. 鞏固提高 1、一圓過原點(diǎn)O和點(diǎn)P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程. 2、課本本節(jié)練習(xí)1、2. 3、求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0都相切的圓的方程. 活動:學(xué)生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法. 三、課堂小結(jié) ①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. ②點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法. ③根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法. ④利用圓的平面幾何的知識構(gòu)建方程. ⑤直徑端點(diǎn)是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 四、布置作業(yè) 1.復(fù)習(xí)初中有關(guān)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容. 2.預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法. 3.課本習(xí)題4.1 A組第2、3題.