2022年高考數學5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關系 理（含解析）

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1、2022年高考數學5年真題備考題庫 第八章 第4節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關系 理（含解析） 1．（xx江西，5分）在平面直角坐標系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為(　　) A. π B. π C．(6－2)π D. π 解析：選A　法一：設A(a,0)，B(0，b)，圓C的圓心坐標為，2r＝，由題知圓心到直線2x＋y－4＝0的距離d＝＝r，即|2a＋b－8|＝2r，2a＋b＝8±2r，由(2a＋b)2≤5(a2＋b2)，得8±2r≤2r?r≥，即圓C的面積S＝π r2≥π. 法二：由題意可知以線段A

2、B為直徑的圓C過原點O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最?。謭AC與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，知圓的直徑的最小值為點O到直線2x＋y－4＝0的距離，此時2r＝，得r＝，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝π. 答案：A 2．（xx新課標全國卷Ⅱ，5分）設點M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：由題意可知M在直線y＝1上運動，設直線y＝1與圓x2＋y2＝1相切于點P(0,1)．當x0＝0即點M與點P重合時，顯然圓上存在點N(±1，0)符合要求；當x0≠0時，過M作圓的切線，切點之一為點

3、P，此時對于圓上任意一點N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特別地，當∠OMP＝45°時，有x0＝±1.結合圖形可知，符合條件的x0的取值范圍為[－1,1]． 答案：[－1,1] 3．（xx江蘇，5分）在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________． 解析：因為圓心(2，－1)到直線x＋2y－3＝0的距離d＝＝，所以直線x＋2y－3＝0被圓截得的弦長為2＝. 答案： 3．（xx重慶，5分）已知直線ax＋y－2＝0與圓心為C的圓(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B兩點，且△ABC

4、為等邊三角形，則實數a＝________. 解析：依題意，圓C的半徑是2，圓心C(1，a)到直線ax＋y－2＝0的距離等于×2＝，于是有＝，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±. 答案：4± 4．（xx湖北，5分）直線l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b將單位圓C：x2＋y2＝1分成長度相等的四段弧，則a2＋b2＝________. 解析：由題意得，直線l1截圓所得的劣弧長為，則圓心到直線l1的距離為，即＝?a2＝1，同理可得b2＝1，則a2＋b2＝2. 答案：2 5．（xx江蘇，16分）如圖，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB

5、垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓．且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m．經測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新橋BC的長； (2)當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？ 解：法一：(1)如圖，以O為坐標原點，OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系xOy. 由條件知A(0,60)，C(170,0)， 直線BC的斜率kBC＝ －tan∠BCO＝－. 又因為AB⊥BC，所以直線AB的斜率kAB＝. 設點B的坐標為(a，b)， 則kBC＝＝－，kAB＝＝. 解得a＝

6、80，b＝120. 所以BC＝＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設保護區(qū)的邊界圓M的半徑為r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 由條件知，直線BC的方程為y＝－(x－170)， 即4x＋3y－680＝0. 由于圓M與直線BC相切，故點M(0，d)到直線BC的距離是r， 即r＝＝. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m， 所以即 解得10≤d≤35. 故當d＝10時，r＝最大，即圓面積最大． 所以當OM＝10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大． 法二：(1)如圖，延長OA，CB交于點F. 因為tan∠FCO＝， 所以sin∠FCO＝，cos∠

7、FCO＝. 因為OA＝60，OC＝170， 所以OF＝OCtan∠FCO＝， CF＝＝. 從而AF＝OF－OA＝. 因為OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝. 又因為AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝， 從而BC＝CF－BF＝150. 因此新橋BC的長是150 m. (2)設保護區(qū)的邊界圓M與BC的切點為D，連接MD，則MD⊥BC，且MD是圓M的半徑，并設MD＝r m，OM＝d m(0≤d≤60)． 因為OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO. 故由(1)知sin∠CFO＝＝＝＝，所以r＝. 因為O和A到圓M上任意一點的距離均不少于80 m，

8、 所以即 解得10≤d≤35. 故當d＝10時，r＝最大，即圓面積最大． 所以當OM＝10 m時，圓形保護區(qū)的面積最大． 6．（xx江西，5分）過點(，0)引直線l與曲線y＝相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于(　　) A.　　　　　　　　　　　　　 B．－ C．± D．－ 解析：本題考查圓的標準方程、直線與圓的位置關系，意在考查考生的數形結合的數學思想及運算能力．由y＝ 得x2＋y2＝1(y≥0)，即該曲線表示圓心在原點，半徑為1的半圓，如圖所示．故S△AOB＝|OA|·|OB|·sin ∠AOB＝sin ∠AOB.所以當sin

9、 ∠AOB＝1，即OA⊥OB時，S△AOB取得最大值，此時點O到直線l的距離d＝|OA|·sin 45°＝.設此時直線l的斜率為k，則方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，則有＝，解得k＝±，由圖可知直線l的傾斜角為鈍角，故取k＝－. 答案：B 7．（xx山東，4分）過點(3,1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長為________． 解析：本題主要考查直線與圓的位置關系，考查數形結合思想和運算能力．最短弦為過點(3,1)，且垂直于點(3,1)與圓心的連線的弦，易知弦心矩d＝＝，所以最短弦長為2＝2＝2. 答案：2 8．（xx重慶，5分）已知圓C1：(x－2)

10、2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點，P為x軸上的動點，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4　　　　　　　　　　　 B.－1 C．6－2 D. 解析：本題考查與圓有關的最值問題，意在考查考生數形結合的能力．兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點C1關于x軸的對稱點C(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2|)min＝|CC2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 答案：A 9．（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y

11、＝2x－4.設圓C的半徑為1，圓心在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． 解：本題考查直線與圓的方程，兩直線交點和直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，意在考查學生用待定系數法處理問題的能力和用代數法處理幾何性質的能力． (1)由題設，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．設過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 由題意，＝1，解得k＝0或－， 故所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓心在直

12、線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設點M(x，y)，因為MA＝2MO， 所以＝2，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上． 由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R； 由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以點C的橫坐標a的取值范圍為0，. 10．（xx天津，5分）設m，n∈R，若直線(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，則m＋n的取值范圍是(

13、　　) A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞) C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞) 解析：由題意可得＝1，化簡得mn＝m＋n＋1≤，解得m＋n≤2－2或m＋n≥2＋2. 答案：D 11．（xx陜西，5分）已知圓C：x2＋y2－4x＝0，l是過點P(3,0)的直線，則(　　) A．l與C相交 B．l與C相切 C．l與C相離 D．以上三個選項均有可能 解析：把點(3,0)代入圓的方程的左側得32＋0－4×3＝－3<0，故點(3,0)在圓的內部，所以過點(3,0)的直線l與圓C相交． 答案：A 12．（2011江西，

14、5分）若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數m的取值范圍是(　　) A．(－，) B．(－，0)∪(0，) C．[－，] D．(－∞，－)∪(，＋∞) 解析：整理曲線C1方程得，(x－1)2＋y2＝1，知曲線C1為以點C1(1,0)為圓心，以1為半徑的圓；曲線C2則表示兩條直線，即x軸與直線l：y＝m(x＋1)，顯然x軸與圓C1有兩個交點，知直線l與x軸相交，故有圓心C1到直線l的距離d＝