2022年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 文

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1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題8 選修專題 第一講 幾何證明選講 文 幾何證明選講在高考全國卷中有一道選做題，難度中等，訓練到位10分全拿，主要可能涉及相似形、圓的性質(zhì)等知識點，是重要的得分點，需充分重視． 1．平行線等分線段定理． 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A1，A2，A3，l′分別交直線l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2＝A2A3，則B1B2＝B2B3. 推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊，即在△ABC中，若AD＝DB，D

2、E∥BC，則AE＝EC. 推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線平分另一腰，即在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，則DF＝FC. 2．平行線分線段成比例定理． 三條平行線截任意兩條直線，所截出的對應(yīng)線段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交直線l1，l2，l3于D，E，F(xiàn)，則＝. 推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例，即在△ABC，DE∥BC，則＝. 3．相似三角形的定義． 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，解題時常常把對應(yīng)點寫在對應(yīng)的位置上．

3、 4．相似三角形的判定方法． (1)兩對對應(yīng)角相等的兩個三角形相似；(2)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；(3)兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似． 5．相似三角形的性質(zhì)． (1)相似三角形對應(yīng)邊上的高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比和它們周長的比都等于相似比(對應(yīng)邊的比)；(2)相似三角形的面積比等于相似比(對應(yīng)邊的比)的平方． 6．射影定理． 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，則BD2＝AD·CD，AB2＝AD·AC，BC2＝

4、CD·CA. 7．與圓有關(guān)的角的概念． (1)圓心角：頂點在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角．如圖1中的∠AOB. (2)圓周角：頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角．如圖2中的∠DEF. (3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖3中的∠MPN. 8．與圓有關(guān)的角的性質(zhì)． (1)圓周角定理：圓上的一條弧所對的圓周角大小等于它所對的圓心角的一半．如圖4，∠ACB＝∠AOB. (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對

5、的圓周角是直角，圓周角為90°時所對的弦是直徑．如圖5，∠DEF＝90°. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． 如圖6，∠MPN＝∠PQM. 9．圓的切線的判定和性質(zhì)． (1)圓的切線的定義：與圓只有一個公共點的直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點． (2)圓的切線的判定：①若圓心到直線的距離等于半徑，則該直線是圓的切線；②經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線． (3)圓的切線的性質(zhì)：①圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；②經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；③經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心． 10．與圓有關(guān)的比例線段． (1)相交弦定理：

6、圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段的積相等．如圖7，PA·PB＝PC·PD． (2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．如圖8，PA·PB＝PC·PD． (3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項．如圖9，PA2＝PC·PD． (4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．如圖10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO. 11．圓內(nèi)接四邊形． (1)圓內(nèi)接四邊形的判定：①如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點在同一個

7、圓上；②如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，那么這個四邊形的四個頂點在同一個圓上． (2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對角互補；②圓內(nèi)接四邊形的外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對角． 12．直線與圓的位置關(guān)系． (1)直線與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離． ①相交——直線與圓有兩個公共點； ②相切——直線與圓有一個公共點； ③相離——直線與圓沒有公共點． (2)判定直線與圓的位置關(guān)系的方法：直線與圓的位置決定于圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關(guān)系． ①直線與圓相交?dr． 判定直線與圓的位置關(guān)系時，先看：

8、看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點；再算：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關(guān)系；后斷：然后根據(jù)上述關(guān)系作出判斷． 13．圓與圓的位置關(guān)系． (1)平面內(nèi)兩圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含． (2)判定兩個圓的位置關(guān)系的方法：設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則 ①兩圓外離?d>R＋r，有4條公切線； ②兩圓外切?d＝R＋r，有3條公切線； ③兩圓相交?R－rr)，有2條公切線； ④兩圓內(nèi)切?d＝R－r(R>r)，有1條公切線； ⑤兩圓內(nèi)含?dr)，沒有公切線． 14．常用的輔助線的作法． 出現(xiàn)

9、切線就連接切點和圓心的半徑為輔助線，求弦長就作弦心距解直角三角形．　　　 　　　　　 　　 　　　　 1．如下圖所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)G為梯形BCED的中位線，若DE＝4，則FG等于(A) A．6 B．8 C．10 D．12 2．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，AE⊥AD交CB的延長線于E，則下列結(jié)論正確的是(C) A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 3．直線MN切⊙O于點C，AB是⊙O的直徑且∠CAB＝53°，則∠BOC＝106°，∠ACB＝90°，∠

10、ACM＝37°，∠BCN＝53°． 4．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦且BD∥AC，過點A做圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線段CF的長為________． 解析：由切割線定理，可知AE2＝EB·ED＝EB(EB＋BD)，即62＝EB(EB＋5)，所以EB＝4，由AE為圓的切線，AB＝AC，可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD，則AC∥BE，可得四邊形AEBC是平行四邊形．所以AC＝AB＝EB＝4，BC＝AE＝6.由BD∥AC，可得△AFC∽△DFB，則＝，即＝，所以CF＝. 答案：