2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第26講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第26講 平面向量的數(shù)量積練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.以客觀題的形式考查平面向量數(shù)量積的計(jì)算，向量垂直條件與數(shù)量積的性質(zhì).2.以平面向量數(shù)量積為工具，與平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)交匯命題，主要考查運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想． 一、平面向量的數(shù)量積 1．?dāng)?shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數(shù)量積是數(shù)量|a||b|cos θ，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0. 2．向量的投影：設(shè)θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cos θ；向量b在a方向上的投影是|b

2、|cos θ. 3．?dāng)?shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． 二、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a·b＝b·a； 2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； 3．分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 三、平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 　已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要

3、條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立) |x1x2＋y1y2|≤· 1．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，則(b·c)a等于(　　) A．(26，－78)　　　　　　 B．(－28，－42) C．－52 D．－78 【解析】 　∵b·c＝4×2＋6×3＝26， ∴(b·c)a＝(26，－78)． 【答案】　A 2．已知向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，則a與b的夾角為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 【解析】

4、 　向量a、b滿足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2， 設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝，∴θ＝. 【答案】　C 3．已知向量a，b和實(shí)數(shù)λ，下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是(　　) A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b| C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b| 【解析】 　|a·b|＝|a||b||cos θ|，故B錯(cuò)誤． 【答案】　B 4．已知向量a，b滿足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，則|2a－b|＝(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 【解析】 　∵|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0 ∴|2a－b|＝＝＝2. 【

5、答案】　B 5．(xx·湖北高考)已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影為(　　) A. B. C．－ D．－ 【解析】 　由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影為＝＝. 【答案】　A 6．(xx·課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，則t＝________. 【解析】 　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. ∵b·c＝0，∴1－＝0，

6、∴t＝2. 【答案】　2 考向一 [077]　平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 　(1)(xx·浙江高考)在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AM＝3，BC＝10，則·＝________. (2)(xx·北京高考)已知正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則·的值為________；·的最大值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)把，用，或表示； (2)建立平面直角坐標(biāo)系，把向量用坐標(biāo)表示．或用數(shù)量積的幾何意義求解 【嘗試解答】　(1)如圖所示，＝＋，＝＋＝－， ∴·＝(＋)·(－)＝2－2＝||2－||2＝9－25＝－16. (2) 法一　如圖所示，以AB，AD所

7、在的直線分別為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，由于正方形邊長為1， 故B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)． 又E在AB邊上，故設(shè)E(t,0)(0≤t≤1)． 則＝(t，－1)，＝(0，－1)． 故·＝1. 又＝(1,0)， ∴·＝(t，－1)·(1,0)＝t. 又0≤t≤1，∴·的最大值為1. 法二　∵ABCD是正方形，∴＝. ∴·＝·＝||||cos∠EDA ＝||||cos∠EDA＝||·||＝||2＝1. 又E點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，故為點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，在上的投影最大，此時(shí)·＝||||cos 45°＝×＝1. 所以·的最大值為1. 【答案】　(1)－16　(2

8、)1　1 規(guī)律方法1　1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式，一是依據(jù)長度與夾角，二是利用坐標(biāo)來計(jì)算. 2.要有“基底”意識(shí)，關(guān)鍵用基向量表示題目中所求相關(guān)向量，如本例(1)中用、表示、等.注意向量夾角的大小，以及夾角θ＝0°，90°，180°三種特殊情形. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·江西高考)設(shè)e1，e2為單位向量， 且e1，e2的夾角為，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，則向量a在b方向上的投影為________． (2)(xx·濟(jì)南模擬)在邊長為1的正三角形ABC中，設(shè)＝2，＝3，則·＝________. 【解析】 　(1)由于a＝e1＋3e2，b＝2e1， 所以|b|＝2，a·b

9、＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝2＋6×＝5， 所以a在b方向上的投影為|a|·cosa，b＝＝. (2) ∵＝2，＝3， ∴點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段CA的三等分點(diǎn)， 以向量，作為基向量， ∴＝(＋)，＝－， ∴·＝(＋)·(－) ＝2－2－·， 又||＝||＝1， 且〈，〉＝. ∴·＝－－||||cos ＝－. 【答案】　(1)　(2)－ 考向二 [078]　平面向量的夾角與垂直 　(1)(xx·安徽高考)若非零向量a，b滿足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，則a與b夾角的余弦值為________． (2)(xx·山東高考)已知向量

10、與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由|a|＝|a＋2b|平方得出a·b，然后代入夾角公式cos〈a，b〉＝求解． (2)把轉(zhuǎn)化為－，再通過·＝0求解． 【嘗試解答】　(1)由|a|＝|a＋2b|，兩邊平方，得|a|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，所以a·b＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos〈a，b〉＝＝＝－. (2)∵⊥，∴·＝0. 又＝λ＋，＝－， ∴(λ＋)(－)＝0， 即(λ－1)·－λ2＋2＝0， ∴(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. ∴(λ－1

11、)×3×2×－9λ＋4＝0.解得λ＝. 【答案】　(1)－　(2) 規(guī)律方法2　1.當(dāng)a，b以非坐標(biāo)形式給出時(shí)，求〈a，b〉的關(guān)鍵是借助已知條件求出|a|、|b|與a·b的關(guān)系. 2.(1)非零向量垂直的充要條件：a⊥b?a·b＝0?|a＋b|＝|a－b|?x1x2＋y1y2＝0.(2)本例(2)中常見的錯(cuò)誤是不會(huì)借助向量減法法則把表示成－，導(dǎo)致求解受阻. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)已知a，b都是非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為________． (2)已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 【解析】

12、　(1)由|a|＝|b|＝|a－b|得，|a|2＝|b|2，|b|2＝a2－2a·b＋b2，所以a·b＝a2.而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2|a|2＋2×|a|2＝3|a|2，所以|a＋b|＝|a|. 設(shè)a與a＋b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝，由于0°≤θ≤180°，所以θ＝30°. (2)∵a與b是不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1. 又ka－b與a＋b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0. ∴k－1＋ka·b－a·b＝0. 即k－1＋kcos θ－cos θ＝0.(θ為a與b的夾角) ∴(k－1)(1＋cos θ

13、)＝0.又a與b不共線， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. 【答案】　(1)30°　(2)1 考向三 [079]　平面向量的模及其應(yīng)用 　(1)(xx·威海模擬)設(shè)x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A.　　　 B.　　　 C．2　　　 D．10 (2)(xx·鄭州模擬)已知＝(cos θ，sin θ)，＝(1＋sin θ，1＋cos θ)，其中0≤θ≤π，求||的取值范圍及||取得最大值時(shí)θ的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由a⊥c求x的值，由b∥c求y的值，求a＋b，求|a＋b|. (2)→→ 【嘗試解答】

14、　(1)∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)， 由a⊥c得a·c＝0，即2x－4＝0，∴x＝2. 由b∥c得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2. ∴a＝(2,1)，b＝(1，－2)． ∴a＋b＝(3，－1)，∴|a＋b|＝＝. 【答案】　B (2)∵＝－＝(1＋sin θ－cos θ，1＋cos θ－sin θ)， ∴|P|2＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋cos θ－sin θ)2 ＝4－4sin θcos θ＝4－2sin 2θ. ∵0≤θ≤π，∴－1≤sin 2θ≤1， ∴||2∈[2,6]，∴||∈[，]． 當(dāng)sin 2θ＝－1，即θ＝時(shí)，

15、||取得最大值． 規(guī)律方法3　1.x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)共線的充要條件，而后者是它們垂直的充要條件. 2.求解向量的長度問題一般可以從兩個(gè)方面考慮： (1)利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解； (2)利用公式|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2把長度問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算問題解決. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·安徽高考)設(shè)向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝________.

16、 (2)已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，－＜θ＜. ①若a⊥b，則θ＝________. ②若|a＋b|的最大值為＋1，則θ＝________. 【解析】 　(1)a＋c＝(1,2m)＋(2，m)＝(3,3m)． ∵(a＋c)⊥b， ∴(a＋c)·b＝(3,3m)·(m＋1,1)＝6m＋3＝0， ∴m＝－.∴a＝(1，－1)，∴|a|＝. (2)①由a⊥b得sin θ＋cos θ＝0，∴tan θ＝－1. ∵－＜θ＜，∴θ＝－. ②|a＋b|＝a2＋2a·b＋b2＝sin2θ＋1＋2sin＋cos2θ＋1＝3＋2sin. ∵－＜θ＜， ∴－＜θ＋

17、＜. ∴當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)．|a＋b|2最大為3＋2，而＝＋1.∴|a＋b|取最大值＋1時(shí)，θ＝. 【答案】　(1)　(2)－　 易錯(cuò)易誤之九　忽略向量共線條件致誤 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　——— 　(xx·廣州模擬)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a與a＋λb的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________． 【解析】 　∵a與a＋λb均為非零向量，且夾角為銳角， ∴a·(a＋λb)＞0， 即(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＞0， ∴(1＋λ)＋2(2＋λ)＞0，∴λ＞－， 當(dāng)a與 a＋λb共線時(shí)，存在實(shí)數(shù)m，使a＋λb＝ma， 此

18、處在求解時(shí)，常因忽略“a與a＋λb共線”的情形致誤，出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是誤認(rèn)為a·b＞0與〈a，b〉為銳角等價(jià). 即(1＋λ，2＋λ)＝m(1,2)， ∴，∴λ＝0， 即當(dāng)λ＝0時(shí)，a與a＋λb共線． 綜上可知，λ的取值范圍為. 【防范措施】 　1.a，b的夾角為銳角并不等價(jià)于a·b＞0，a·b＞0等價(jià)于a與b夾角為銳角或0°. 2.依據(jù)兩向量的夾角θ求向量坐標(biāo)中的參數(shù)時(shí)，要注意θ＝0°或180°的情形.其中cos 0°＝1＞0，cos 180°＝－1＜0.) 　已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是________． 【解析】 　由a·b＜0，即2λ－3＜0，解得λ＜. 又當(dāng)a∥b時(shí)，λ＝－6，故所求λ的范圍為λ＜且λ≠－6. 【答案】