2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第八章 推理與證明同步訓(xùn)練 理

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪總復(fù)習(xí) 第八章 推理與證明同步訓(xùn)練 理 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.下列表述正確的是(　　) ①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般地推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般地推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．①③⑤ 　2.給出下列三個(gè)類比結(jié)論： ①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn； ②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α

2、＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(a＋b)2類比，則有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； 其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 　3.由“直線與圓相切時(shí)，圓心與切點(diǎn)的連線與直線垂直”，想到“平面與球相切時(shí)，球心與切點(diǎn)的連線與平面垂直”，用的是(　　) A．歸納推理 B．演繹推理 C．類比推理 D．特殊推理 　4.(xx·全國Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)， 甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市； 乙說：我沒去過C城市； 丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市． 由此可判斷乙去過的城市為_

3、______． 　5.若數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列，設(shè)bn＝(n∈N*)，則有數(shù)列也為等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，若數(shù)列{cn}(n∈N*)為等比數(shù)列，且cn>0，設(shè)dn＝____________________，則有也為等比數(shù)列． 　6.觀察下列不等式： ①<1；②－<；③－－<，…，則第5個(gè)不等式為________________________________． 　7.(xx·上海)36的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)?6＝22×32，所以36的所有正約數(shù)之和為(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋

4、32)＝91. 參照上述方法，可求得xx的所有正約數(shù)之和為______． 　B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 對(duì)命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點(diǎn)”，可類比猜想出：正四面體的內(nèi)切球切于各面正三角形的什么位置(　　) A．各正三角形的中心 B．各正三角形的某高線上的點(diǎn) C．各正三角形內(nèi)一點(diǎn) D．各正三角形外的某點(diǎn) 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 觀察下列各式：則72＝49,73＝343,74＝2401，…，則7xx的末兩位數(shù)字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　

5、)否(　)] 將正偶數(shù)集合{2,4,6，…}從小到大按第n組有2n個(gè)偶數(shù)進(jìn)行分組：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，……則2120位于第______組(　　) A．33 B．32 C．31 D．30 　4.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·北京)學(xué)生的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)均被評(píng)定為三個(gè)等級(jí)，依次為“優(yōu)秀”“合格”“不合格”．若學(xué)生甲的語文、數(shù)學(xué)成績(jī)都不低于學(xué)生乙，且其中至少有一門成績(jī)高于乙，則稱“學(xué)生甲比學(xué)生乙成績(jī)好”．如果一組學(xué)生中沒有哪位學(xué)生比另一位學(xué)生成績(jī)好，并且不存在語文成績(jī)相同、數(shù)學(xué)成績(jī)也相同的兩位學(xué)生，那么這組學(xué)生最多有

6、(　　) A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 　5.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·廣州二模)將正偶數(shù)2,4,6,8，…按表的方式進(jìn)行排列，記aij表示第i行第j列的數(shù)，若aij＝xx，則i＋j的值為(　　) 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 第4行 32 30 28 26 第5行 34 36 38 40 … … … … … … A.257 B．256 C．254 D．

7、253 　6.[限時(shí)3分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·廣東清遠(yuǎn)一模)根據(jù)下列4個(gè)圖形及黑方塊的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，現(xiàn)用f(n)表示第n個(gè)圖黑方塊總數(shù)，則f(5)＝　41　，試猜測(cè)f(n)＝　2n2－2n＋1　. 　7.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 現(xiàn)代社會(huì)對(duì)破譯密碼的難度要求越來越高．有一種密碼把英文的明文(真實(shí)文)按字母分解，其中英文的a，b，c，…，z這26個(gè)字母(不論大小寫)依次對(duì)應(yīng)1,2,3，…，26這26個(gè)自然數(shù)(見下表)： a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8、 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 現(xiàn)給出一個(gè)變換公式： x′＝ 將明文轉(zhuǎn)換成密文，如8→＋13＝17，即h變成q；5→＝3，即e變成c. 按上述規(guī)定，若明文是wdri，那么翻譯成密文是什么？ C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：13分鐘) 　1.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·廣州海珠區(qū)一模)如圖

9、，對(duì)大于或等于2的正整數(shù)m的n次冪進(jìn)行如下方式的“分裂”(其中m，n∈N*)：例如72的“分裂”中最小的數(shù)是1，最大的數(shù)是13；若m3的“分裂”中最小的數(shù)是241，則最大的數(shù)是　271　. 　2.[限時(shí)4分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·廣東揭陽三模)非空集合G關(guān)于運(yùn)算⊕滿足： (1)對(duì)任意a、b∈G，都有a⊕b∈G； (2)存在e∈G，使得對(duì)一切a∈G，都有a⊕e＝c⊕a＝e，則稱G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算： ①G＝{非負(fù)整數(shù)}，⊕為整數(shù)的加法； ②G＝{偶數(shù)}，⊕為整數(shù)的乘法； ③G＝{平面向量}，⊕為平面向量的加法； 其中G關(guān)于運(yùn)算⊕為“融洽集

10、”的是?、佗邸?寫出所有“融洽集”的序號(hào))． 　3.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] (xx·湖南)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋bx－cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0. (1)記集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長，且a＝b}，則(a，b，c)∈M所對(duì)應(yīng)的f(x)的零點(diǎn)的取值集合為　{x|0＜x≤1}　. (2)若a，b，c是△ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是　①②③　.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)) ①?x∈(－∞，1)，f(x)＞0； ②?x∈R，使ax，bx，cx不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長； ③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈(1,2)，使f(x

11、)＝0. 第2講　直接證明與間接證明 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.已知a，b∈R＋，則x＝－與y＝的大小關(guān)系是(　　) A．x＞y B．x≥y C．x≤y D．不確定 　2.已知a＝2－，b＝－2，c＝5－2，則(　　) A．a(chǎn)q D．不確定 　4.設(shè)x，y，z均為正實(shí)數(shù)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)(　　) A．

12、至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2 C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2 　5.若x>1，則x與lnx的大小關(guān)系為　x>lnx　. 　6.如果a＋b＞a＋b，則a、b應(yīng)滿足的條件是　a≥0，b≥0，且a≠b　. 　7.已知|x|≤1，|y|≤1，用分析法證明：|x＋y|≤|1＋xy|. 　B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：20分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理數(shù)根，那么a、b、c中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)正確的是(　　) A．a(chǎn)，b，

13、c中至多一個(gè)是偶數(shù) B．a(chǎn)，b，c中至少一個(gè)是奇數(shù) C．a(chǎn)，b，c中全是奇數(shù) D．a(chǎn)，b，c中恰有一個(gè)偶數(shù) 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 設(shè)0

14、3.5)＞f(2.5) 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知函數(shù)f(x)＝x2－ln x，則f(x)的零點(diǎn)有　0　個(gè)． 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 設(shè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2，則x，y，z的大小關(guān)系是　z≥y>x　. 　6.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知：x，y，z∈(0,1)，求證：(1－x)y，(1－y)z，(1－z)x不可能都大于. 　7.[限時(shí)5分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知f(x)＝ax＋(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根

15、． C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：10分鐘) 　1.[限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長； (2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形． 第3講　數(shù)學(xué)歸納法 　　　　　　　　　　　　　　　 A級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：15分鐘) 　1.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2n>n2(其中n∈

16、N＋，n≥n0)時(shí)，初始值n0＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．6 　2.在數(shù)列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，則ak＋1＝(　　) A．a(chǎn)k＋ B．a(chǎn)k＋－ C．a(chǎn)k＋ D．a(chǎn)k＋－ 　3.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xn－yn能被x－y整除”時(shí)，在驗(yàn)證n＝2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，xk－yk能被x－y整除 B．假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除 C．假設(shè)n＝2k(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除 D．假設(shè)n＝2k－2(k∈N*)時(shí)，x2k－y2k能被x－y整除 　4.數(shù)列{

17、an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是　an＝n2　. 　5.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”，當(dāng)n＝1時(shí)，左端為　4　. 　6.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的遞推關(guān)系式是____________________________． 　7.對(duì)于n∈N*，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2)． 　B級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間

18、：16分鐘) 　1.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時(shí)命題成立，那么綜合上述，對(duì)于(　　) A．一切正整數(shù)命題成立 B．一切正奇數(shù)命題成立 C．一切正偶數(shù)命題成立 D．以上都不對(duì) 　2.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n＝4時(shí)該命題不成立，那么可推得(　　) A．當(dāng)n＝5時(shí)，該命題不成立 B．當(dāng)n＝5時(shí)，該命題成立 C．當(dāng)n＝3時(shí)，該

19、命題成立 D．當(dāng)n＝3時(shí)，該命題不成立 　3.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N時(shí)，1＋2＋22＋…＋25n－1是31的倍數(shù)時(shí)，當(dāng)n＝1時(shí)，原式為____________________，從k到k＋1時(shí)需增添的項(xiàng)是__________________________________． 　4.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3＋5n能被6整除”的過程中，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對(duì)式子(k＋1)3＋5(k＋1)應(yīng)變形為　(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6　. 　5.[限時(shí)2分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 共有n級(jí)樓梯，每步只能跨上1級(jí)或2

20、級(jí)，走完這n級(jí)樓梯共有f(n)種不同的走法，則f(n)，f(n－1)，f(n－2)之間有關(guān)系式是　f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)　. 　6.[限時(shí)6分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 設(shè)函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f()＝4x－＋1，數(shù)列{an}和{bn}滿足下列條件：a1＝1，an＋1－2an＝f(n)，bn＝an＋1－an(n∈N*)． (1)求f(x)的解析式； (2)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn； (3)試比較2an與bn的大小，并證明你的結(jié)論． C級(jí)訓(xùn)練 (完成時(shí)間：20分鐘) 　1.[限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)

21、否(　)] (xx·廣東肇慶二模)已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}滿足xn＋＜2(n∈N*)． (1)證明：xn＋≥2； (2)證明：xn＜xn＋1； (3)證明：＜xn＜. [限時(shí)10分鐘，達(dá)標(biāo)是(　)否(　)] 已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底，e＝2.71828…. (1)證明：函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)； (2)求方程f(x)＝g(x)根的個(gè)數(shù)，并說明理由； (3)若數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1＝a(a＞0)

22、(a為常數(shù))，a＝g(an)，證明：存在常數(shù)M，使得對(duì)于任意n∈N*，都有an≤M. 第八章　推理與證明 第1講　合情推理與演繹推理 【A級(jí)訓(xùn)練】 1．D　解析：歸納推理是由部分到整體的推理，演繹推理是由一般到特殊的推理，類比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正確的． 2．B　解析：只有③正確． 3．C　解析：由直線類比平面，由圓類比球，由圓心類比球心，是從特殊到特殊的推理，選C. 4．A　解析：由題意可推斷：甲沒去過B城市，但比乙去的城市多，而丙說“三人去過同一城市”，說明甲去過A，C城市，而乙“沒去過C城市”，說明乙去過城市A，由此可知，乙去

23、過的城市為A. 5. 6.－－－－< 　解析：由①<1，②－<，③－－<，歸納可知第5個(gè)不等式應(yīng)為－－－－<. 7．4836　解析：類比36的所有正約數(shù)之和的方法，有：xx的所有正約數(shù)之和可按如下方法得到：因?yàn)閤x＝24×53，所以xx的所有正約數(shù)之和為(1＋2＋22＋23＋24)(1＋5＋52＋53)＝4836.可求得xx的所有正約數(shù)之和為4836. 【B級(jí)訓(xùn)練】 1．A　解析：四面體的面可以與三角形的邊類比，因此三邊的中點(diǎn)也就類比成各三角形的中心． 2．D　解析：因?yàn)閒(x)＝7x，f(2)＝49，f(3)＝343，f(4)＝2401，f(5)＝16807，f(6)＝1176

24、49，末兩位數(shù)以4為周期，又xx＝503×4＋2，所以7xx與72的末兩位數(shù)相同． 3．A　解析：第一組有2＝1×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為4； 第二組有4＝2×2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為12即2×(2＋4)； 第三組有6＝2×3個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)為24，即2×(2＋4＋6)； …… 所以第n組有2n個(gè)數(shù)，其中最后一個(gè)數(shù)為2×(2＋4＋…＋2n)＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝2n(n＋1)． 所以當(dāng)n＝32時(shí)，第32組的最后一個(gè)數(shù)為2×32×33＝2112. 所以第33組里邊有66個(gè)數(shù)． 所以2120位于第33組． 4．B　解析：假設(shè)滿足條件的學(xué)生有4位及4位以上，設(shè)其中4位同學(xué)分別為甲、乙

25、、丙、丁，則4位同學(xué)中必有兩個(gè)人語文成績(jī)一樣，且這兩個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)不一樣，那么這兩個(gè)人中一個(gè)人的成績(jī)比另一個(gè)人好，故滿足條件的學(xué)生不能超過3人．當(dāng)有3位學(xué)生時(shí)，用A，B，C表示“優(yōu)秀”“合格”“不合格”，則滿足題意的有AC，CA，BB，所以最多有3人． 5．C　解析：因?yàn)閤x＝16×125＋2×7,xx＝8×252－2，所以可以看作是125×2行，再從251行數(shù)7個(gè)數(shù)，也可以看作252行再去掉1個(gè)數(shù)，也就是xx在第252行第2列．即i＝252，j＝2，所以i＋j＝252＋2＝254. 6．41　2n2－2n＋1　解析：根據(jù)前面四個(gè)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×

26、2，f(4)－f(3)＝4×3，…，f(n)－f(n－1)＝4(n－1)；這n－1個(gè)式子相加可得：f(n)＝2n2－2n＋1.當(dāng)n＝5時(shí)，f(5)＝41. 7．解析：明文wdri中的w對(duì)應(yīng)的數(shù)字為23，按照變換公式： x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是12，對(duì)應(yīng)的字母是l； 明文wdri中d的對(duì)應(yīng)的數(shù)字為4，按照變換公式： x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是15，對(duì)應(yīng)的字母是o； 明文中的r對(duì)應(yīng)的數(shù)字為18，按照變換公式： x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是22，對(duì)應(yīng)的字母是v； 明文wdri中i的對(duì)應(yīng)的數(shù)字為9，按照變換公式： x′＝，密文對(duì)應(yīng)的數(shù)字是5，對(duì)應(yīng)的字母是e. 所以將明文wdri翻譯成密文是

27、love. 【C級(jí)訓(xùn)練】 1．271　解析：由題意，從23到(m－1)3，正好用去從3開始的連續(xù)奇數(shù)共2＋3＋4＋…＋(m－1)＝個(gè)，即241＝3＋×2，解得m＝16或m＝－15(舍去)，在m3的“分裂”中的最大數(shù)是m2＋m－1，所以所求最大的數(shù)是271. 2．①③　解析：①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)a，b知道：a＋b仍為非負(fù)整數(shù)，所以a⊕b∈G；取e＝0，及任意非負(fù)整數(shù)a，則a＋0＝0＋a＝a，因此G對(duì)于⊕為整數(shù)的加法運(yùn)算來說是“融洽集”；②對(duì)于任意偶數(shù)a，b知道：ab仍為偶數(shù)，故有a⊕b∈G；但是不存在e∈G，使對(duì)一切a∈G都有a⊕e＝e⊕a＝a，故②的G不是“融洽集”．③當(dāng)a，b都為平面向量

28、時(shí)，兩平面向量相加仍然為平面向量，且存在零向量通過向量加法滿足條件(2)，故G是“融洽集”． 3．(1){x|0＜x≤1}　(2)①②③ 　解析：(1)因?yàn)閏＞a，由c≥a＋b＝2a， 所以≥2，則ln≥ln2＞0， 令f(x)＝ax＋bx－cx＝2ax－cx＝cx[2(()x－1]＝0，得()x＝2， 所以x＝≤＝1，所以0＜x≤1. 故填{x|0＜x≤1}． (2)因?yàn)閒(x)＝ax＋bx－cx＝cx[()x＋()x－1]， 又＜1，＜1， 所以對(duì)?x∈(－∞，1)，()x＋()x－1>()1＋()1－1＝>0. 所以命題①正確； 令x＝－1，a＝2，b＝4，c＝5，

29、 則ax＝，bx＝，cx＝，不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長，所以命題②正確； 若三角形為鈍角三角形，則a2＋b2－c2＜0. f(1)＝a＋b－c＞0，f(2)＝a2＋b2－c2＜0. 所以?x∈(1,2)，使f(x)＝0，所以命題③正確． 第2講　直接證明與間接證明 【A級(jí)訓(xùn)練】 1．C 2．A　解析：a＝2－<0，b＝－2>0，c＝5－2＝(－2)>－2.　　所以，a

30、式矛盾．所以a、b、c三數(shù)至少有一個(gè)不小于2. 5．x>lnx　解析：畫出圖形，易知x>lnx. 6．a(chǎn)≥0，b≥0，且a≠b　解析：因?yàn)閍＋b>a＋b， 移項(xiàng)得a＋b－a－b>0 ?(a＋b－2)(＋)>0， 即要滿足(－)2(＋)>0， 可以看出式子左邊是大于等于0的，故要排除等于0的情況． 因?yàn)閍，b求平方根，則必有a≥0，b≥0， 若a＝b，則有(－)2·(＋)＝0矛盾，故a≠b. 7．證明：要證|x＋y|≤|1＋xy|.即證(x＋y)2≤(1＋xy)2，即證x2＋y2≤1＋x2y2， 即證(x2－1)(1－y2)≤0，因?yàn)閨x|≤1，|y|≤1， 所以x2－1≤

31、0,1－y2≥0，所以(x2－1)(1－y2)≤0， 所以不等式成立． 【B級(jí)訓(xùn)練】 1．C　解析：根據(jù)反證法的步驟，假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定“至少有一個(gè)”的否定“都不是”．即假設(shè)正確的是：假設(shè)a、b、c都不是偶數(shù)． 2．C　解析：因?yàn)?2＝>， 所以只需比較1＋x與的大?。? 因?yàn)?＋x－＝＝－<0， 所以1＋x<. 3．B　解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(0,2)上是增函數(shù)，函數(shù)y＝f(x＋2)是偶函數(shù)，所以x＝2是對(duì)稱軸，在(2,4)上為減函數(shù)，f(2.5)＞f(1)＝f(3)＞f(3.5)． 4．0　解析：因?yàn)閒(x)＝x2－ln x，x>0， 所

32、以f′(x)＝x－，由f′(x)＝0，得x＝1， 于是可得f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增， 故f(x)的最小值f(1)＝>0，所以f(x)的零點(diǎn)有0個(gè)． 5．z≥y>x　解析：由y＋z＝6－4x＋3x2，z－y＝4－4x＋x2， 兩式相減化簡(jiǎn)得y＝x2＋1. 因?yàn)閦－y＝4－4x＋x2＝(x－2)2≥0，所以z≥y. 又y－x＝x2－x＋1＝(x－)2＋>0， 所以y>x. 所以x，y，z的大小關(guān)系是z≥y>x. 6．證明：假設(shè)三個(gè)式子都大于， 即(1－x)y＞，(1－y)z＞，(1－z)x＞， 三個(gè)式子相乘得： (1－x)y·(1－y)z·(

33、1－z)x＞，① 因?yàn)?＜x＜1所以x(1－x)≤()2＝， 同理(1－y)y≤，(1－z)z≤， 所以(1－x)y·(1－y)z·(1－z)x≤，② 顯然①與②矛盾，所以假設(shè)是錯(cuò)誤的，故原命題成立． 7．證明：假設(shè)x0是f(x)＝0的負(fù)數(shù)根，則x0<0，且x0≠－1，同時(shí)ax0＝－. 又a>1，所以0

34、OABC為菱形． 因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0. 由，消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則＝－，＝k·＋m＝. 所以AC的中點(diǎn)為M(，)． 因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0， 所以直線OB的斜率為－. 因?yàn)閗·(－)≠－1，所以AC與OB不垂直． 所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾． 所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能為菱形． 第3講　數(shù)學(xué)歸納法 【A級(jí)訓(xùn)練】 1．C　解析：易知n＝1,2,3,4時(shí)，不等式均不成立，但當(dāng)n＝5時(shí)成立，因此初值n0＝5. 2．

35、D 3．C　解析：n為正偶數(shù)，最小的正偶數(shù)為2，故n＝2k(k∈N*)，此時(shí)xn－yn＝x2k－y2k.選C. 4．a(chǎn)n＝n2　解析：計(jì)算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2. 5．4　解析：在等式：“1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，n∈N＋”中，當(dāng)n＝1時(shí)，3n＋1＝4，而等式左邊起始為1×4的連續(xù)的正整數(shù)積的和，故n＝1時(shí)，等式左端＝1×4＝4. 6．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 　解析：因?yàn)閒(k)＝12＋22＋＋(2k)2，所以f(k＋1)＝12＋22＋＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2

36、，兩式相減得f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2.所以f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 7．證明：設(shè)f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1. (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝1，等式成立； (2)設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1 ＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k

37、＋(k＋1) ＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1) ＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)． 所以由(1)(2)可知當(dāng)n∈N*時(shí)等式都成立． 【B級(jí)訓(xùn)練】 1．B　解析：本題證的是對(duì)n＝1,3,5,7，命題成立，即命題對(duì)一切正奇數(shù)成立．A、C、D不正確；故選B. 2．D　解析：由題意可知，P(n)對(duì)n＝3不成立(否則n＝4也成立)，同理可推得P(n)對(duì)n＝3，n＝2，n＝1也不成立，故選D. 3．1＋2＋22＋23＋24　25k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4 　解析：當(dāng)n＝1時(shí)代入可得1＋2＋22＋23＋24. 當(dāng)n＝k時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋…＋2

38、5k－1， 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋…＋25k－1＋25k＋25k＋1＋…＋25k＋4，與上式相減可得． 4．(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6　解析：由數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟和配湊法得知． 5．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)　解析：由題意，每步只能跨上1級(jí)或2級(jí)， 故f(3)＝f(1)＋f(2)． 由數(shù)學(xué)歸納法證明得f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)． 6．解析：(1)由已知，2f(x)－f()＝4x－＋1， 所以2f()－f(x)＝－2x＋1. 聯(lián)立解得f(x)＝2x＋1. (2)由(1)知，an＋1－2an＝2n＋1， 所以an＋2－2an＋1＝2n

39、＋3. 兩式相減得an＋2－3an＋1＋2an＝2， 即an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)＋2，所以bn＋1＝2bn＋2. 則bn＋1＋2＝2(bn＋2)， 所以數(shù)列{bn＋2}是公比為2的等比數(shù)列． 又因?yàn)閍1＝1，所以a2＝5， 則b1＝4，所以b1＋2＝6，所以bn＋2＝6·2n－1， 所以bn＝3·2n－2(n∈N*)． (3)由(2)知an＋1－an＝3·2n－2， 而已知an＋1－2an＝2n＋1. 聯(lián)立解得an＝3·2n－2n－3， 所以2an＝6·2n－4n－6， 所以2an－bn＝3·2n－4(n＋1)， n＝1時(shí)，2a1

40、2a2＝b2； n＝3時(shí)，2a3>b3； n＝4時(shí)，2a4>b4. 猜想n≥3時(shí)，2an>bn，即3·2n>4(n＋1)． 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (ⅰ)當(dāng)n＝3時(shí)，顯然成立． (ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k>3，k∈N*)時(shí)成立，則n＝k＋1時(shí)， 3·2k＋1＝2·(3·2k)>8(k＋1) ＝8k＋8＝4k＋8＋4k>4k＋8 ＝4(k＋2)， 所以n＝k＋1時(shí)也成立． 由(ⅰ)(ⅱ)知，n≥3時(shí)，2an>bn. 綜上所述，n＝1時(shí)，2anbn. 【C級(jí)訓(xùn)練】 1．證明：(1)方法一：因?yàn)閤n＞0， 所以xn＋

41、≥2＝2， 故xn＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)xn＝1時(shí)，等號(hào)成立． 方法二：因?yàn)閤n＞0， 所以xn＋－2＝(－)2≥0， 故xn＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)xn＝1時(shí)，等號(hào)成立． (2)由(1)知xn＋≥2， 又xn＋＜2， 所以＞＞0， 所以xn＜xn＋1. (3)先證：xn＞(數(shù)學(xué)歸納法)． 當(dāng)n＝1時(shí)，不等式顯然成立； 假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立，即xk＞. 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由xn＋＜2得xk＋1＞＞＝， 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立； 綜上，對(duì)一切n∈N*都有xn＞成立． 再證：xn＜. 由xn＞0及xn＋＜2(n∈N*)，得xn＜2(n∈N*)， 所以當(dāng)n

42、＝1時(shí)，不等式顯然成立； 當(dāng)n≥2時(shí)，可以證明xn＜(反證法)． 假設(shè)存在k，使得xk≥， 則有xk＋1＞≥＝， 即xk＋1＞， 所以xk＋2＞，xk＋3＞，…，x2k－2＞，x2k－1＞2，與題設(shè)x2k－1＋＜2矛盾． 所以對(duì)一切n∈N*都有xn＜成立． 所以對(duì)一切n∈N*都有＜xn＜成立． 2．解析：(1)證明：由h(x)＝f(x)－g(x)＝ex－1－－x， 得：h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2－＞0， 所以函數(shù)h(x)在區(qū)間(1,2)上有零點(diǎn)． (2)由(1)得：h(x)＝ex－1－－x由g(x)＝＋x知，x∈[0，＋∞)， 而h(0)＝0，則x＝0為h

43、(x)的一個(gè)零點(diǎn)， 且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點(diǎn)，因此h(x)至少有兩個(gè)零點(diǎn)． 所以h′(x)＝ex－x－－1， 記φ(x)＝ex－x－－1， 則φ′(x)＝ex＋x－. 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，φ′(x)＞0，因此φ(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 則φ(x)在(0，＋∞)內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)． h(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)． 所以，方程f(x)＝g(x)根的個(gè)數(shù)為2. (3)記h(x)的正零點(diǎn)為x0， 即ex0－1＝x0＋. (ⅰ)當(dāng)a＜x0時(shí)，由a1＝a，即a1＜x0. 而a＝a1＋

44、證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＜x0顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，有ak＜x0成立， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由a＝ak＋