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1、2022年高中數(shù)學 模塊測試卷 北師大版必修5
一、選擇題(每題5分，共60分）
1.在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且cos2＝，則△ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
2.在等比數(shù)列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8等于( )
A.135 B.100 C.95 D.80
3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a
2、，b，c，且(b－c)cos A＝acos C，則cos A的值等于( )
A. B. C. D.
4.〈日照模擬〉已知等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝t－，則實數(shù)t的值為( )
A.4 B.5 C. D.
5.某人向正東方向走x km后，向右轉150°，然后朝新方向走3 km，結果他離出發(fā)點恰好是 km，那么x的值為( )
A. B.2 C.或2 D.3
6.設{an}為各項均
3、是正數(shù)的等比數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，則( )
A.= B. ＞ C. ＜ D. ≤
7.已知數(shù)列{an}的首項為1，并且對任意n∈N+都有an>0.設其前n項和為Sn，若以(an，Sn)(n∈N+)為坐標的點在曲線y＝x(x＋1)上運動，則數(shù)列{an}的通項公式為( )
A.an＝n2＋1 B.an＝n2 C.an＝n＋1 D.an＝n
8.設函數(shù)f(x)＝若f(a)
4、(3，＋∞) D.(0,1)
9.已知a>0，b>0，則＋＋2的最小值是( )
A.2 B.2 C.4 D.5
10.已知目標函數(shù)z=2x+y中變量x,y滿足條件則( )
A.zmax=12,zmin=3 B.zmax=12,無最小值
C.zmin=3,無最大值 D.z無最大值,也無最小值
11.如果函數(shù)f(x)對任意a，b滿足f(a＋b)＝f(a)·f(b)，且f(1
5、)＝2，則＋＋＋…＋＝( )
A.4 018 B.1 006 C.2 010 D.2 014
12.已知a，b，a＋b成等差數(shù)列，a，b，ab成等比數(shù)列，且logc(ab)>1，則c的取值范圍是( )
A.08 D.08
二、填空題（每題4分，共16分）
13.〈泉州質(zhì)檢〉△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列，則角B= .
6、14.已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，則z＝的最小值為 .
15.兩個等差數(shù)列的前n項和之比為，則它們的第7項之比為 .
16.在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，若a1＝1，an＋1＝Sn(n≥1)，則an＝ .
三、解答題（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）(17~20題每題12分，21~22題每題13分，共74分)
17.已知向量m＝與n＝(3，sin A＋cos A)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角.
(1)求角A的大小；
(2)若BC＝2，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時△ABC的形狀.
1
7、8.已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若數(shù)列{bn}滿足= (n∈N*),證明：{bn}是等差數(shù)列;
19.如圖1,A,B是海面上位于東西方向相距5(3＋)海里的兩個觀測
點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船
發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C
點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船
到達D點需要多長時間？ 圖1
8、20.解關于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
21.已知等差數(shù)列{an}的首項a1＝4，且a2＋a7＋a12＝－6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an與前n項和Sn；
(2)將數(shù)列{an}的前四項抽去其中一項后，剩下三項按原來順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項，記{bn}的前n項和為Tn，若存在m∈N＋，使對任意n∈N＋總有Tn
9、900元.
(1)該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？
(2)若提供面粉的公司規(guī)定：當一次性購買面粉不少于210 t時，其價格可享受9折優(yōu)惠(即原價的90%)，該廠是否應考慮接受此優(yōu)惠條件？請說明理由.
參考答案及點撥
一、1.A 點撥：因為cos2＝及2cos2－1＝cos A，所以cos A＝.而cos A =，∴b2+a2=c2，則△ABC是直角三角形.故選A.
2.A 點撥：由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1＋a2，a3＋a4，…，a7＋a8仍然成等比數(shù)列，公比q＝＝＝，∴a7＋a8＝(a1＋a2)＝40×＝135.
3.B 點撥：(b－c)co
10、s A＝acos C，由正弦定理得sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A
sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，又sin B≠0，所以cos A＝.故選B.
4.B 點撥：∵a1＝S1＝t－，a2＝S2－S1＝t，a3＝S3－S2＝4t，∴由{an}是等比數(shù)列.知＝×4t，顯然t≠0，∴t＝5.
5.C 點撥：根據(jù)題意，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.
6.B 點撥：由題意得公比q>0，當q＝1時，有－＝－>0，即>；
當q≠1時，有－＝－＝q3(1－q)＝ >0，所以>.
11、綜上所述，應選B.
7.D 點撥：由題意，得Sn＝an(an＋1)，∴Sn－1＝an－1(an－1＋1)(n≥2).
作差，得an＝，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0.
∵an>0(n∈N+)，∴an－an－1－1＝0，
即an－an－1＝1(n≥2).
∴數(shù)列{an}為首項a1＝1，公差為1的等差數(shù)列.
∴an＝n(n∈N+).
8.A 點撥：不等式f(a)
12、撥：由f(a＋b)＝f(a)·f(b)，可得f(n＋1)＝f(n)·f(1)，＝f(1)＝2，所以＋＋＋…＋＝2×1 007＝2 014.
12.B 點撥：因為a，b，a＋b成等差數(shù)列，所以2b＝a＋(a＋b)，即b＝2a.又因為a，b，ab成等比數(shù)列，所以b2＝a×ab，即b＝a2.所以a＝2，b＝4，因此logc(ab)＝logc8>1＝logcc，有1
13、＝2sin Bcos B，所以cos B＝，又0°t1>0，則f(t1)－f(t2)＝－＝.
因為≥t2>t1>0，
所以t2－t1>0，t1·t2<.則t1·t2－2<0.
所以f(t1)－f(t2)>0.即f(t1)>f(t2).∴f(t)＝t＋在上單調(diào)遞減，故當t＝時f(t)＝t＋有最小值，所以當x＝y(tǒng)＝時，z有最小值.
15.3∶1 點撥：設兩個等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和為Sn，Tn，則＝，而＝＝＝＝3.
14、16.
點撥：∵3an＋1＝Sn(n≥1)，∴3an＝Sn－1(n≥2).
兩式相減，得3(an＋1－an)＝Sn－Sn－1＝an(n≥2)＝ (n≥2) n≥2時，數(shù)列{an}是以為公比，以a2為首項的等比數(shù)列，
∴n≥2時，an＝a2.
令n＝1，由3an＋1＝Sn，得3a2＝a1，又a1＝1a2＝，∴an＝ (n≥2).
故
三、17.解：(1)因為m∥n，
所以sinA·(sinA＋cosA)－＝0.
所以＋sin2A－＝0.
即sin2A－cos2A＝1，即sin＝1.
因為A∈(0，π)，所以2A－∈，
故2A－＝，即A＝.
(2)由余弦定理，得4＝b2＋
15、c2－bc，
又S△ABC＝bcsinA＝bc，
而b2＋c2≥2bc，bc＋4≥2bc，bc≤4(當且僅當b＝c時等號成立)，
所以S△ABC＝bcsinA＝bc≤×4＝.
當△ABC的面積最大時，b＝c，又A＝，故此時△ABC為等邊三角形.
18.(1)解：∵an+1=2an+1(n∈N*),∴an+1+1=2(an+1).
∴{an+1}是以a1+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.∴an+1=2n.
即an=2n－1(n∈N*).
(2)證明：∵…=.
∴=.∴2［(b1+b2+…+bn)－n］=nbn,①
2［(b1+b2+…+bn+bn+1)－(n+1)］=(n+
16、1)bn+1.②
②－①，得2(bn+1－1)=(n+1)bn+1－nbn,即(n－1)bn+1－nbn+2=0,③
∴nbn+2－(n+1)bn+1+2=0.④
④－③，得nbn+2－2nbn+1+nbn=0,即bn+2－2bn+1+bn=0,∴bn+2－bn+1=bn+1－bn(n∈N*).∴{bn}是等差數(shù)列.
19.解：由題意知AB＝5(3＋)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得，
＝.
∴DB＝＝＝＝＝10(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝3
17、0°＋(90°－60°)＝60°，
BC＝20海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10×20×＝900，
∴CD＝30海里.則需要的時間t＝＝1(小時).
答：救援船到達D點需要1小時.
20.解:原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0(ax－2)(x＋1)≥0.
(1)當a＝0時，原不等式化為x＋1≤0x≤－1.
(2)當a＞0時，
原不等式化為 (x＋1)≥0x≥或x≤－1；
(3)當a＜0時，原不等式化為 (x＋1)≤0.
①當＞－1，即a＜－2時，原不等式的解集為－1≤x≤；
②當
18、＝－1，即a＝－2時，原不等式的解集為x＝－1；
③當＜－1，即－2＜a＜0時，原不等式的解集為≤x≤－1.
綜上所述：當a＜－2時，原不等式的解集為；
當a＝－2時，原不等式的解集為{－1}；
當－2＜a＜0時，原不等式的解集為；
當a＝0時，原不等式的解集為(－∞，－1］；
當a＞0時，原不等式的解集為(－∞，－1］∪.
21.解:(1)由a2＋a7＋a12＝－6得a7＝－2，
又a1＝4，所以公差d＝－1，所以an＝5－n，
從而Sn＝.
(2)由題意知b1＝4，b2＝2，b3＝1，
設等比數(shù)列的公比為q，則q＝＝，
所以Tn＝＝8.令f(n)=.
因為f(n)
19、＝是關于自然數(shù)n的減函數(shù)，
所以{Tn}是遞增數(shù)列，得4≤Tn<8.
又Sm＝＝－＋，
當m＝4或m＝5時，Sm取得最大值，
即(Sm)max＝S4＝S5＝10，
若存在m∈N＋，使對任意n∈N＋總有Tn
20、
當且僅當9x＝，即x＝10時取等號.
所以該廠每10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.
(2)若該廠接受此優(yōu)惠條件，則至少每35天購買一次面粉.設該廠接受此優(yōu)惠條件后，每x(x≥35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為y2元，則
y2＝［9x(x＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35).
令f(x)＝x＋ (x≥35)，x2>x1≥35，則
f(x1)－f(x2)＝－＝.
因為x2>x1≥35，
所以x1－x2<0，x1·x2>100.所以x1x2－100>0.
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
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