2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第1章 集合與常用邏輯用語 第1節(jié) 集合教學(xué)案 文 北師大版

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1、 第1章 集合與常用邏輯用語 全國卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 說明：“Ⅰ1”指全國卷Ⅰ第1題，“Ⅱ1”指全國卷Ⅱ第1題，“Ⅲ1”指全國卷Ⅲ第1題. 1.考查形式 本章在高考中一般考查1或2個(gè)小題，主要以選擇題為主，很少以填空題的形式出現(xiàn). 2.考查內(nèi)容 從考查內(nèi)容來看，集合主要考查集合的運(yùn)算，包含集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算；常用邏輯用語主要考查充分必要條件的判斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”以及全稱量詞與存在量詞. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問題的方法和規(guī)律 ①集合的交、并、補(bǔ)集運(yùn)算問題； ②充分條件、必要條件的判斷問題； ③含有“且”“或”“非”的命

2、題的真假性的判斷問題； ④含有一個(gè)量詞的命題的否定問題. (2)重視數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. 第一節(jié)　集合 [最新考綱]　1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．(3)能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第1頁) 1．集合與

3、元素 (1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈或表示． (3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法． (4)常見數(shù)集的記法 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號(hào) N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系　　 文字語言 符號(hào)語言 記法 基本 關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A?x∈B AB或BA 真子集 集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A AB，存在x0∈B，x0A AB或BA 基本

4、關(guān)系 相等 集合A，B的元素完全相同 AB，BA?A＝B A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 任意x，x，A 3.集合的基本運(yùn)算 表示 運(yùn)算　　 文字語言 符號(hào)語言 圖形語言 記法 交集 屬于A且屬于B的元素組成的集合 {x|x∈A且x∈B} A∩B 并集 屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合 {x|x∈A或x∈B} A∪B 補(bǔ)集 全集U中不屬于A的元素組成的集合 {x|x∈U，xA} UA 1．集合子集的個(gè)數(shù) 對(duì)于有限集合A，其元素個(gè)數(shù)為n，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集個(gè)

5、數(shù)為2n－2. 2．集合的運(yùn)算性質(zhì) (1)并集的性質(zhì)：A∪＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A?BA. (2)交集的性質(zhì)：A∩＝；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A?AB. (3)補(bǔ)集的性質(zhì)：A∪(UA)＝U；A∩(UA)＝；U(UA)＝A；U(A∩B)＝(UA)∪(UB)；U(A∪B)＝(UA)∩(UB)． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集． (　　) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． (　　) (3)若{x2,1}＝{0,1}，則x＝0,1. (　　) (4)直線y＝x

6、＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)組成的集合是{1,4}． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．若集合A＝{x∈N|x≤2}，a＝，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．{a}A　　　　 B．a(chǎn)A C．{a}∈A D．a(chǎn)A D　[由題意知A＝{0,1,2}，由a＝，知aA.] 2．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個(gè)數(shù)為________． 64　[∵M(jìn)＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N的子集有26＝64個(gè)．] 3．已知U＝{α|0°＜α＜1

7、80°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則U(A∪B)＝________. [答案]　{x|x是直角} 4．方程組的解集為________． 　[由得 故方程組的解集為.] 5．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________. (－2,1)　(－∞，3)　[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第2頁) ⊙考點(diǎn)1　集合的概念 　與集合中的元素有關(guān)的問題的求解思路 (1)確定集合的元素

8、是什么，即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集． (2)看清元素的限制條件． (3)根據(jù)限制條件求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù)． 　1.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．9 B．8　　　　 C．5　　 D．4 A　[由x2＋y2≤3知，－≤x≤，－≤y≤.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為9，故選A.] 2．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，則m的值為________． －　[由題意得m＋2＝3或2m2＋m＝3， 則m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時(shí)，m＋2＝3且2m2＋m＝

9、3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意； 當(dāng)m＝－時(shí)，m＋2＝，2m2＋m＝3，符合題意，故m＝－.] 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝________. 0或　[當(dāng)a＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝.] 4．已知a，b∈R，若＝{a2，a＋b,0}，則a2 020＋b2 020＝________. 1　[由已知得a≠0，則＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2 020＋b2 020＝(－1)2 020＋02 020＝1.] (1)求

10、解此類問題時(shí)，要特別注意集合中元素的互異性，如T2，T4.(2)常用分類討論的思想方法求解集合問題，如T3. ⊙考點(diǎn)2　集合的基本關(guān)系 　判斷兩集合關(guān)系的方法 (1)列舉法：用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系． (2)化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡表達(dá)式，再尋求兩個(gè)集合的關(guān)系． (1)(2019·唐山模擬)設(shè)集合M＝{x|x2－x＞0}，N＝，則(　　) A．MN　　　 B．NM C．M＝N D．M∪N＝R (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，則滿足條件ACB的集合C的個(gè)數(shù)為(　　)

11、A．1 B．2 C．3　　　　 D．4 (3)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． (1)C　(2)D　(3)(－∞，3]　[(1)集合M＝{x|x2－x＞0}＝{x|x＞1或x＜0}，N＝＝{x|x＞1或x＜0}，所以M＝N.故答案為C. (2)因?yàn)锳＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，ACB，則集合C可以為：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4個(gè)． (3)因?yàn)锽A， 所以①若B＝，則2m－1＜m＋1，此時(shí)m＜2. ②若B≠，則解得2≤m≤3. 由①②可

12、得，符合題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，3]．] [母題探究] 1．(變問法)本例(3)中，若BA，求m的取值范圍． [解]　因?yàn)锽A， ①若B＝，成立，此時(shí)m＜2. ②若B≠，則且邊界點(diǎn)不能同時(shí)取得，解得2≤m≤3. 綜合①②，m的取值范圍為(－∞，3]． 2．(變問法)本例(3)中，若AB，求m的取值范圍． [解]　若AB，則即所以m的取值范圍為. 3．(變條件)若將本例(3)中的集合A改為A＝{x|x＜－2或x＞5}，試求m的取值范圍． [解]　因?yàn)锽A， 所以①當(dāng)B＝時(shí)，2m－1＜m＋1，即m＜2，符合題意． ②當(dāng)B≠時(shí)，或 解得或即m＞4. 綜上可知，實(shí)數(shù)

13、m的取值范圍為(－∞，2)∪(4，＋∞)． (1)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題． (2)空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有BA時(shí)，應(yīng)分B＝和B≠兩種情況討論． 　1.設(shè)M為非空的數(shù)集，M{1,2,3}，且M中至少含有一個(gè)奇數(shù)元素，則這樣的集合M共有(　　) A．6個(gè)　　　B．5個(gè)　　　C．4個(gè)　　　D．3個(gè) A　[由題意知，M＝{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6個(gè)．] 2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}

14、，且BA，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． [－2,2)　[①若B＝，則Δ＝m2－4＜0， 解得－2＜m＜2，符合題意； ②若1∈B，則12＋m＋1＝0， 解得m＝－2，此時(shí)B＝{1}，符合題意； ③若2∈B，則22＋2m＋1＝0， 解得m＝－，此時(shí)B＝，不合題意． 綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－2,2)．] ⊙考點(diǎn)3　集合的基本運(yùn)算 　集合運(yùn)算三步驟 　集合的運(yùn)算 (1)(2019·全國卷Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，則B∩UA＝(　　) A．{1,6}　 B．{1,7} C．{6,7}

15、D．{1,6,7} (2)(2019·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，則A∩B＝(　　) A．(－1，＋∞) B．(－∞，2) C．(－1,2) D． (3)(2019·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，則A∩B＝(　　) A．{－1,0,1} B．{0,1} C．{－1,1} D．{0,1,2} (1)C　(2)C　(3)A　[(1)由題意知UA＝{1,6,7}，又B＝{2,3,6,7}，∴B∩UA＝{6,7}，故選C. (2)∵A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＜2}，∴A∩B＝{x|－1＜x＜2}，即A∩B＝

16、(－1,2)． 故選C. (3)由題意可知B＝{x|－1≤x≤1}， 又∵A＝{－1,0,1,2}， ∴A∩B＝{－1,0,1}， 故選A.] [逆向問題]　 已知A，B均為集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(UB)∩A＝{9}，則A＝(　　) A．{1,3}　 B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9} D　[法一：(直接法)因?yàn)锳∩B＝{3}，所以3∈A，又(UB)∩A＝{9}，所以9∈A.若5∈A，則5B(否則5∈A∩B)，從而5∈UB，則(UB)∩A＝{5,9}，與題中條件矛盾，故5A.同理，1A,7A，故A＝{3,9}． 法二：

17、(Venn圖)如圖所示． ] 　集合運(yùn)算的常用方法 (1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解． (2)若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況． 　利用集合的運(yùn)算求參數(shù) (1)已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m等于(　　) A．0或　 B．0或3 C．1或 D．1或3 (2)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,2) B．(－∞，2] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)B　(2)D　[(1)由A∪B＝A，得BA，所以m∈A.因?yàn)锳＝{1

18、,3，}，所以m＝或m＝3，即m＝3或m＝1或m＝0. 由集合中元素的互異性知m≠1，故選B. (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠，結(jié)合數(shù)軸可得a＞－1. ] 　利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的值或取值范圍的方法 (1)若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解． (2)與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值能否取到． 提醒：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證(滿足集合中元素的互異性)． [教師備選例題] 1．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2

19、，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為(　　) A．77　　　B．49　　　C．45　　　D．30 C　[如圖，集合A表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”，集合B表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”＋所有圓點(diǎn)“”，集合AB顯然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四個(gè)點(diǎn){(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整點(diǎn)(即橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn))，則集合AB表示如圖所示的所有圓點(diǎn)“”＋所有圓點(diǎn)“”＋所有圓點(diǎn)“”，共45個(gè)．故AB中元素的個(gè)數(shù)為45.故選C.] 2．設(shè)集合A

20、＝{x|x2＋2x－3＞0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a＞0}，若A∩B中恰含有一個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) B　[A＝{x|x2＋2x－3＞0}＝{x|x＞1或x＜－3}，設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2ax－1，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－2ax－1圖像的對(duì)稱軸為直線x＝a(a＞0)，f(0)＝－1＜0，根據(jù)對(duì)稱性可知若A∩B中恰有一個(gè)整數(shù)，則這個(gè)整數(shù)為2，所以有 即所以 即≤a＜.故選B.] 　1.(2019·許昌、洛陽三模)已知集合A＝{x|y＝}，B＝(0,1)，則A∩B＝(　　) A．(0,1) B．(0,1] C．

21、(－1,1) D．[－1,1] A　[由題意得A＝[－1,1]，又B＝(0,1)，∴A∩B＝(0,1)．故選A.] 2．(2019·合肥巢湖一模)已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．(－∞，3] C　[因?yàn)锳∩B≠，所以結(jié)合數(shù)軸(圖略)可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＜3，故選C.] 3．如圖，設(shè)全集U＝N，集合A＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，則圖中陰影部分表示的集合為(　　) A．{2,4} B．{7,8} C．{1,3,5} D．{1,2,3,4,5} A　[由題圖可知陰影部分表示的集合為(UA)∩B，因?yàn)榧螦＝{1,3,5,7,8}，B＝{1,2,3,4,5}，U＝N，所以(UA)∩B＝{2,4}．故選A.] 4．已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，則a＝________. 3　[因?yàn)锳∩B＝{4}，所以a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，則a＝3，此時(shí)B＝{4,6}，符合題意；若2a＝4，則a＝2，此時(shí)B＝{3,4}，不符合題意．綜上，a＝3.] - 10 -