2021高考數(shù)學一輪復習 第9章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓 第2課時 直線與橢圓的綜合問題教學案 文 北師大版

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1、第2課時　直線與橢圓的綜合問題 (對應學生用書第156頁) ⊙考點1　直線與橢圓的位置關(guān)系 　直線與橢圓位置關(guān)系判斷的步驟 (1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程． (2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程． (3)當Δ＞0時，直線與橢圓相交；當Δ＝0時，直線與橢圓相切；當Δ＜0時，直線與橢圓相離． 　1.若直線y＝kx＋1與橢圓＋＝1總有公共點，則m的取值范圍是(　　) A．m＞1　　　 B．m＞0 C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5 D　[直線y＝kx＋1恒過定點(0,1)，則點(0,1)在橢圓＋＝1內(nèi)部或橢圓上，從而≤1，又m＞0，則m≥1，因為橢圓＋＝1中，m≠

2、5.所以m的取值范圍是m≥1且m≠5，故選D.] 2．過點M(－4,4)作橢圓＋＝1的切線，切點N在第一象限，設(shè)橢圓的左焦點為F，則直線NF的斜率為________． 　[設(shè)N(x，y)，直線MN的斜率為k.M(－4,4)，則直線MN的方程為y－4＝k(x＋4)，代入橢圓方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4， 由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－，－，代入求得切點N，所以直線NF的斜率為kNF＝＝.] 3．已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：＋＝1.試問當m取何值時，直線l與橢圓C： (1)有兩個不重合的公共點；

3、 (2)有且只有一個公共點； (3)沒有公共點． [解]　將直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組將①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)當Δ>0，即－33時，方程③沒有實數(shù)根，

4、可知原方程組沒有實數(shù)解．這時直線l與橢圓C沒有公共點． 　T2中求切點的橫坐標時，可直接使用求根公式x1＝x2＝－(其中a，b分別是一元二次方程的二次項系數(shù)和一次項系數(shù))． ⊙考點2　直線與橢圓相交的弦長問題 　弦長的求解方法 (1)當弦的兩端點坐標易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解． (2)當直線的斜率存在時，設(shè)直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則|AB|＝ ＝(k為直線斜率)． (3)若直線的斜率不存在，可直接求交點坐標，再求弦長． 　(2018·北京高考改編)已知橢圓M：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，焦距為2.斜率為k的直線l與橢圓M有兩

5、個不同的交點A，B. (1)求橢圓M的方程； (2)若k＝1，求|AB|的最大值． [解](1)由題意得 解得a＝，b＝1. 所以橢圓M的方程為＋y2＝1. (2)設(shè)直線l的方程為y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 由題意知Δ＝36m2－16(3m2－3)＞0，即－2＜m＜2，此時x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|AB|＝ ＝＝ ＝. 當m＝0，即直線l過原點時，|AB|最大，最大值為. 　利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有兩個不同解的情況下進行的，不要忽略Δ＞0. [教師備選例題] 　直線經(jīng)過橢圓＋＝

6、1的左焦點，傾斜角為60°，與橢圓交于A，B兩點，則弦長|AB|＝________. 　[由題意知直線方程為y＝(x＋2)，代入橢圓方程消元整理得5x2＋16x＝0，所以x＝0，或x＝－， 所以交點A(0,2)，B， 所以|AB|＝＝.] 　1.已知橢圓＋y2＝1與直線y＝x＋m交于A，B兩點，且|AB|＝，則實數(shù)m的值為(　　) A．±1　　　B．± C.　　　D．± A　[由消去y并整理， 得3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 由題意知Δ＝16m2－12(2m2－2)＞0，即－＜m＜. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝. 由題

7、意，得|AB|＝＝＝，解得m＝±1.] 2．橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e＝，過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8. (1)求橢圓E的方程； (2)若直線AB的斜率為，求△ABF2的面積． [解](1)由題意知，4a＝8，所以a＝2， 又e＝，所以＝，c＝1， 所以b2＝22－1＝3， 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)直線AB的方程為y＝(x＋1)， 由得5x2＋8x＝0， 解得x1＝0，x2＝－， 所以y1＝，y2＝－. 所以S＝c·|y1－y2|＝1×＝. ⊙考點3　弦中點問題 　處理中點弦問題常用的兩種

8、方法 (1)點差法 設(shè)出弦的兩端點坐標后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三個未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點和直線的斜率，借用中點公式即可求得斜率． (2)根與系數(shù)的關(guān)系 聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解． (1)在橢圓＋＝1中，以點M(1,2)為中點的弦所在直線方程為________． (2)(2019·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標是M(－4,1)，則橢圓的離心率e＝________. (1)9x＋32y－73＝0　(2)　[(1)設(shè)弦的兩端點為

9、A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程得 兩式相減得 ＋＝0， 所以＝－， 即－＝， 因為x1＋x2＝2，y1＋y2＝4， 所以＝－， 故該直線方程為y－2＝－(x－1)， 即9x＋32y－73＝0. (2)設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，因為AB的中點M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直線AB的斜率k＝＝1. 由兩式相減得 ＋＝0，所以＝－·，所以＝，于是橢圓的離心率e＝＝＝.] 　用點差法求參數(shù)的值(或范圍)時，要檢驗直線與橢圓是否相交． 　1.已知橢圓＋y2＝1，過點P的直線與橢圓相

10、交于A，B兩點，且弦AB被點P平分，則直線AB的方程為(　　) A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0 C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0 C　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式作差得＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因為x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，＝kAB，代入后求得kAB＝－，所以弦所在的直線方程為y－＝－，即x＋9y－5＝0.] 2．焦點為F(0,5)，并截直線y＝2x－1所得弦的中點的橫坐標是的橢圓的標準方程為________． ＋＝1　[設(shè)所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，直線被橢圓所截弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由

11、題意，可得弦AB的中點坐標為，且＝，＝－. 將A，B兩點坐標代入橢圓方程中，得 兩式相減并化簡，得＝－·＝－2×＝3， 所以a2＝3b2，又c2＝a2－b2＝50， 所以a2＝75，b2＝25， 故所求橢圓的標準方程為＋＝1.] ⊙考點4　橢圓與向量的綜合問題 　解決橢圓與向量有關(guān)問題的方法 (1)將向量條件用坐標表示，再利用函數(shù)、方程知識建立數(shù)量關(guān)系． (2)利用向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成相關(guān)的等量關(guān)系． (3)利用向量運算的幾何意義轉(zhuǎn)化成圖形中位置關(guān)系解題． 　(2019·長春模擬)已知橢圓C的兩個焦點為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點E. (1)求橢圓C的標準方程；

12、 (2)過F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(點A位于x軸上方)，若＝2，求直線l的斜率k的值． [解](1)設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由解得 所以橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的方程為y＝k(x＋1)(k＞0)， 聯(lián)立 整理得y2－y－9＝0， 則Δ＝＋144＞0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝， 又＝2，所以y1＝－2y2， 所以y1y2＝－2(y1＋y2)2， 則3＋4k2＝8，解得k＝±， 又k＞0，所以k＝. 　解答本題應注意： (1)根據(jù)＝2，確定y1與y2的關(guān)系，從而確定直線與橢

13、圓方程聯(lián)立消去x； (2)根據(jù)y1＝－2y2得到y(tǒng)1＋y2＝－y2，(y1＋y2)2＝y(tǒng)，從而y1y2＝－2(y1＋y2)2； (3)也可以根據(jù)求出y1，y2，再利用y1y2＝求解． [教師備選例題] 已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)，e＝，其中F是橢圓的右焦點，焦距為2，直線l與橢圓C交于點A，B，線段AB的中點橫坐標為，且＝λ(其中λ＞1)． (1)求橢圓C的標準方程； (2)求實數(shù)λ的值． [解](1)由橢圓的焦距為2，知c＝1， 又e＝，∴a＝2，故b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓C的標準方程為＋＝1. (2)由＝λ，可知A，B，F(xiàn)三點共線， 設(shè)點A(x1，y1)，

14、點B(x2，y2)． 若直線AB⊥x軸， 則x1＝x2＝1，不符合題意； 當AB所在直線l的斜率k存在時， 設(shè)l的方程為y＝k(x－1)． 由消去y得 (3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.① ①的判別式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12) ＝144(k2＋1)＞0， ∴ ∴x1＋x2＝＝2×＝， ∴k2＝. 將k2＝代入方程①， 得4x2－2x－11＝0， 解得x＝. 又＝(1－x1，－y1)， ＝(x2－1，y2)，＝λ， 即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝， 又λ＞1，∴λ＝. 　(2019·保定模擬)設(shè)點P在以F1(－2,0)，F(xiàn)

15、2(2,0)為焦點的橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上． (1)求橢圓C的方程； (2)經(jīng)過F2作直線m交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M.若＝λ1，＝λ2，且λ1λ2＝1，求λ1與λ2的值． [解](1)因為點P在以F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點的橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)上， 所以2a＝＋＝2，所以a＝. 又因為c＝2，所以b＝，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)設(shè)A，B，M點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)． 因為＝λ1， 所以(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1)， 所以x1＝，y1＝，將A點坐標代入到橢圓方程中，得＋＝1. 去分母整理得18λ＋60λ1＋30－5y＝0.同理，由＝λ2可得18λ＋60λ2＋30－5y＝0，λ1，λ2是方程18λ2＋60λ＋30－5y＝0的兩個根． 則λ1＋λ2＝－，又λ1λ2＝1， 二者聯(lián)立解得λ1＝－3，λ2＝－，或λ1＝－，λ2＝－3. - 9 -