2022年高考數學大一輪復習 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課時提升練 文 新人教版選修4-5

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1、2022年高考數學大一輪復習 第2節(jié) 證明不等式的基本方法課時提升練 文 新人教版選修4-5 一、選擇題 1．設t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，則s與t的大小關系是(　　) A．s≥t　　　 B．s>t C．s≤t D．s

2、則a＋b≥2(＋1)． 【答案】　A 3．(xx·北京東城模擬)設a，b，c為正數，且a＋2b＋3c＝13，則＋＋的最大值為(　　) A. B. C. D. 【解析】　由柯西不等式得 (a＋2b＋3c) ≥(＋＋)2 ∴(＋＋)2≤. ∴＋＋≤. 當且僅當＝＝時等號成立，即a＝9，b＝，c＝時＋＋取得最大值. 【答案】　C 4．已知a、b、c是正實數，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為(　　) A．5 B.7 C．9　　　　 D．11 【解析】　把a＋b＋c＝1代入＋＋得 ＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 【答案】　C 5．設0

3、b＝1＋x，c＝中最大的一個是(　　) A．a B．b C．c D．無法判斷 【解析】　∵02＝>， ∴只需比較1＋x與的大小， ∵1＋x－＝＝－<0， ∴1＋x<.因此c＝最大． 【答案】　C 6．(xx·湖北高考)設a，b，c，x，y，z是正數，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，則＝(　　) A.　　　　B. C.　　　　D. 【解析】　由題意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，① ①與a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10， 所以不妨令 .則

4、x＋y＋z＝2(a＋b＋c)， 即＝. 【答案】　C 二、填空題 7．(xx·南昌模擬)若實數a，b，c滿足a2＋b2＋c2＝4，則3a＋4b＋5c的最大值為________． 【解析】　由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)·(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值為10. 【答案】　10 8．以下三個命題：①若|a－b|＜1，則|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，則＜，其中正確命題的序號是________． 【解析】　①|a|－|b|≤|a

5、－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1； ②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|， 所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ③|x|＜2，|y|＞3，所以＜， 因此＜. ∴①②③均正確． 【答案】?、佗冖? 9．若x＞0，則函數f(x)＝3x＋的最小值為________． 【解析】　∵x＞0， ∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋ ≥3＝3 ， 等號成立的條件為x＝ ∴x＝， ∴x＝時，f(x)的最小值為3. 【答案】　3 三、解答題 10．(xx·貴州六校聯盟)設a、b、c均為正實數，求證：＋＋≥＋＋≥＋＋. 【證明】　∵a，b，c均為正實數，

6、∴＋≥≥當a＝b時等號成立 ＋≥≥當b＝c時等號成立 ＋≥≥當a＝c時等號成立 三個不等式相加即得 ＋＋≥＋＋≥＋＋當且僅當a＝b＝c時等號成立 即＋＋≥＋＋≥＋＋. 11．(xx·遼寧高考)設函數f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.記f(x)≤1的解集為M，g(x)≤4的解集為N. (1)求M； (2)當x∈M∩N時，證明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤. 【解】　(1)f(x)＝ 當x≥1時，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤； 當x＜1時，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1. 所以f(x)≤1的解集為M＝{x|0≤x≤

7、}． (2)證明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4， 解得－≤x≤. 因此N＝， 故M∩N＝. 當x∈M∩N時，f(x)＝1－x， 于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)] ＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤. 12．(xx·東北三省聯考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1. (1)求證：|a＋b＋c|≤； (2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍． 【解】　(1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)＝3， ∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范圍是， 即|a＋b＋c|≤. (2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3， 若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2對一切實數a，b，c恒成立，則|x－1|＋|x＋1|≥3，解集為∪.