2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次統(tǒng)一考試試題 文（含解析）新人教A版 　 一、選擇題（共12題，每題5分，共60分） 1．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y＞1}，則A∩B=（　?。? 　 A． {x|﹣2≤x≤1} B． {x|1＜x＜2} C． {x|x＞2} D． {x|﹣2＜x＜1或x＞2} 分析： 由集合A和集合B的公共元素構(gòu)成集合A∩B，由此利用集合A={x|y=lg（4﹣x2）}={x|﹣2＜x＜2}，B={y|y＞1}，能求出A∩B． 解答： 解：∵集合A={x|y=lg（4﹣x2）}={x|4﹣x2＞0}={x|﹣2＜x＜2}， B={y|y＞1

2、}， ∴A∩B={x|1＜x＜2}． 故選B． 點(diǎn)評： 本題考查對數(shù)的定義域的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答． 　 2．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的值為（　?。? 　 A． i B． 1 C． ﹣i D． ﹣1 分析： 分子分母同乘以i，由i的性質(zhì)可得． 解答： 解：化簡可得==i 故選：A 點(diǎn)評： 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題． 3．下列有關(guān)命題的說法正確的是（　?。? 　 A． 命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2=1，則x≠1” 　 B． “x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分條件 　 C． 命題“對任意x∈R，均有x2﹣x

3、+1＞0”的否定是：“存在x∈R使得x2﹣x+1＜0” 　 D． 命題“若x=y，則cosx=cosy”的逆否命題為真命題 考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用． 專題： 綜合題． 分析： 根據(jù)否命題的定義，寫出原命題的否命題，比照后可判斷①； 根據(jù)充要條件的定義，判斷“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的充要關(guān)系，可判斷②； 根據(jù)全稱命題的否定方法，求出原命題的否定命題，可判斷③； 根據(jù)三角函數(shù)的定義，可判斷原命題的真假，進(jìn)而根據(jù)互為逆否命題的真假性相同，可判斷④； 解答： 解：命題“若x2=1，則x=1”的否命題為：“若x2≠1，則x≠1”，故A錯(cuò)誤； “x=6”時(shí)，“x2﹣5x﹣

4、6=0”成立，但“x2﹣5x﹣6=0”時(shí)“x=6或x=﹣1”，“x=6”不一定成立，故“x=6”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤； 命題“對任意x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“存在x∈R使得x2﹣x+1≤0”，故C錯(cuò)誤； 命題“若x=y，則cosx=cosy”為真命題，故命題“若x=y，則cosx=cosy”的逆否命題也為真命題，故D正確； 故選D 點(diǎn)評： 本題以命題的真假判斷為載體考查了四種命題，全稱命題的否定，是命題與邏輯的綜合應(yīng)用，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．　 4．已知函數(shù)y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤），且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點(diǎn)P（ω，φ

5、）的坐標(biāo)是（　?。? 　 A．（2，） B． （2，） C． （4，） D． （4，） 考點(diǎn)： 由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式． 專題： 計(jì)算題． 分析： 先利用函數(shù)圖象計(jì)算函數(shù)的周期，再利用周期計(jì)算公式解得ω的值，再將點(diǎn)（，0）代入函數(shù)解析式，利用五點(diǎn)作圖法則及φ的范圍求得φ值，最后即可得點(diǎn)P（ω，φ）的坐標(biāo) 解答： 解：由圖象可得函數(shù)的周期T=2×（﹣）=π∴=π，得ω=2， 將（，0）代入y=sin（2x+φ）可得sin（+φ）=0，∴+φ=π+2kπ （注意此點(diǎn)位于函數(shù)減區(qū)間上） ∴φ=+2kπ，k∈Z 由0＜φ≤可得φ=， ∴點(diǎn)（ω，φ）的坐

6、標(biāo)是（2，）， 故選B． 點(diǎn)評： 本題主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的部分圖象求函數(shù)解析式的方法，五點(diǎn)作圖法畫函數(shù)圖象的應(yīng)用 　 5．已知x，y滿足線性約束條件，若=（x，﹣2），=（1，y），則z=?的最大值是（　?。? 　 A．﹣1 B． C． 7 D． 5 考點(diǎn)： 簡單線性規(guī)劃；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 專題： 計(jì)算題． 分析： 作出不等式組表示的可行域，再利用幾何意義求最值，只需求出直線z=x﹣2y過點(diǎn)C時(shí)，z最大值即可． 解答： 解：由題意可得，=x﹣2y 由z=x﹣2y，可得y=，則﹣表示直線在y軸上的截，則截距越大，z越小 作出

7、不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示 直線z=x﹣2y過點(diǎn)C時(shí)，z取得最大值 由可得C（3，﹣1） 此時(shí)z=5 故選D 點(diǎn)評： 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題． 　 6．設(shè)a為非零實(shí)數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）=x2+a|x|+1，x∈R的以下性質(zhì)中，錯(cuò)誤的是（　　） 　 A． 函數(shù)f（x）一定是個(gè)偶函數(shù) B． 函數(shù)f（x）一定沒有最大值 　 C． 區(qū)間[0，+∞）一定是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間 D． 函數(shù)f（x）不可能有三個(gè)零點(diǎn) 分析： 根據(jù)偶函數(shù)的定義，判斷f（﹣x）=f（x）則函數(shù)為偶函數(shù)；根據(jù)函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)沒有最大值；取特殊值法，然

8、后結(jié)合函數(shù)圖象，判定單調(diào)遞增區(qū)間；把函數(shù)轉(zhuǎn)化成方程解的問題解答即可． 解答： 解：（1）∵﹣x∈R ∴f（﹣x）=（﹣x）2+a|﹣x|+1=x2+a|x|+1=f（x） ∴函數(shù)f（x）一定是個(gè)偶函數(shù)． （2）∵二次函數(shù)f（x）=x2+a|x|+1，開口向上，所以函數(shù)f（x）一定沒有最大值． （3）令a=﹣2，則f（x）=x2﹣2|x|+1畫出如上圖所示的函數(shù)圖象，可知在區(qū)間[0，∞]不是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤． （4）方程x2+ax+1=0，△=a2﹣4≥﹣4，此方稱可能無解、一個(gè)解或者兩個(gè)解，所以函數(shù)f（x）=x2+a|x|+1可能無零點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)、或者四個(gè)零

9、點(diǎn)． 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了二次函數(shù)的奇偶性，通過圖象觀察最值以及單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合有助于我們的解題，形象直觀． 　 7．（已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? 　 A． B． 1 C． D． 3 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3，底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1，把數(shù)據(jù)代入棱錐的體積公式計(jì)算可得答案． 解答： 解：由三視圖知幾何體為三棱錐，且三棱錐的高為3， 底面三角形的一條邊長為3，該邊上的高為1， ∴幾何體的體積V=××3×1×3=．

10、故選C． 點(diǎn)評： 本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是由三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量． 　 8．已知圖甲中的圖象對應(yīng)的函數(shù)y=f（x），則圖乙中的圖象對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四式中只可能是（　?。? 　 A． y=f（|x|） B． y=|f（x）| C． y=f（﹣|x|） D． y=﹣f（|x|） 考點(diǎn)： 函數(shù)圖象的作法；函數(shù)解析式的求解及常用方法． 專題： 作圖題． 分析： 由題意可知，圖2函數(shù)是偶函數(shù)，與圖1對照，y軸左側(cè)圖象相同，右側(cè)與左側(cè)關(guān)于y軸對稱，對選項(xiàng)一一利用排除法分析可得答案． 解答： 解：由圖二知，圖象關(guān)于y軸對稱，對應(yīng)的函數(shù)是偶函

11、數(shù)， 對于A，當(dāng)x＞0時(shí)，y=f（|x|）=y=f（x），其圖象在y軸右側(cè)與圖一的相同，不合，故錯(cuò)； 對于B：當(dāng)x＞0時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)是y=f（x），顯然B也不正確． 對于D：當(dāng)x＜0時(shí)，y=﹣|f（﹣|x|）|=﹣|f（x）|，其圖象在y軸左側(cè)與圖一的不相同，不合，故錯(cuò)； 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查函數(shù)的圖象、函數(shù)的圖象與圖象變化，考查學(xué)生讀圖能力，分析問題解決問題的能力，是基礎(chǔ)題． 　 9．已知某算法的程序框圖如圖，若將輸出的（x，y）值一次記為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…，（xn，yn）…若程序進(jìn)行中輸出的一個(gè)數(shù)對是（x，﹣8），則相應(yīng)的x值為（　?。?

12、 　 A． 80 B． 81 C． 79 D． 78 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是依次輸出的（x，y）值，其中每一組有序?qū)崝?shù)對中，x是每次變?yōu)樵瓉淼?倍，y每次減小2． 解答： 解：程序在運(yùn)行過程中各變量值如下表： 輸出結(jié)果 n x y 循環(huán)前：1 1 0 第1次：（1，0）3 3﹣2 第2次：（3，﹣2）5 9﹣4 第3次：（9，﹣4）7 27﹣6 第4次：（27，﹣6）9 8

13、1﹣8 … 則x=81． 故選：B． 點(diǎn)評： 根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中既要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模，本題屬于基礎(chǔ)題． 　 10．已知{an}為等比數(shù)列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，則a1+a10=（　　） 　 A． 7 B． 5 C． ﹣5 D． ﹣7 考點(diǎn)： 等比數(shù)列的性質(zhì)；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 專題： 計(jì)算題． 分析：

14、由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，進(jìn)而可求公比q，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)可求a1，a10，即可 解答： 解：∵a4+a7=2，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4 當(dāng)a4=4，a7=﹣2時(shí)，， ∴a1=﹣8，a10=1， ∴a1+a10=﹣7 當(dāng)a4=﹣2，a7=4時(shí)，q3=﹣2，則a10=﹣8，a1=1 ∴a1+a10=﹣7 綜上可得，a1+a10=﹣7 故選D 點(diǎn)評： 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查了基本運(yùn)算的能力． 　 11．已知雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞

15、0）的離心率為2，則橢圓mx2+ny2=1的離心率為（　?。? 　 A． B． C． D． 考點(diǎn)： 橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 雙曲線、橢圓方程分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2，可得m=3n，從而可求橢圓mx2+ny2=1的離心率． 解答： 解：雙曲線mx2﹣ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： ∵雙曲線mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0）的離心率為2， ∴ ∴m=3n 橢圓mx2+ny2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： ∴橢圓mx2+ny2=1的離心率的平方為= ∴橢圓mx2+n

16、y2=1的離心率為 故選C． 點(diǎn)評： 本題考查橢圓、雙曲線的離心率，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 12．已知函數(shù)f（x）=x3﹣log2（﹣x），則對于任意實(shí)數(shù)a、b（a+b≠0），的值（　?。? 　 A．恒大于0 B． 恒小于1 C． 恒大于﹣1 D． 不確定 考點(diǎn)： 對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)函數(shù)式子可判斷f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)．=判斷符號即可． 解答： 解：∵f（x）=x3﹣log2（﹣x）=x3+log2（+x）， ∴根據(jù)解析式可判斷f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)． ∴f（x1）＜f（x2），

17、 ∴＞0， ∵f（﹣x）=（﹣x）3+log2（）=﹣（x3+log2（）=﹣f（x） ∴f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)． ∵＞0，a2﹣ab+b2＞0，任意實(shí)數(shù)a、b（a+b≠0）， ∴=＞0 故選：A 點(diǎn)評： 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，運(yùn)用解決問題，屬于中等題． 　 二、填空題：共4題，每題5分，共20分 13．已知函數(shù)f（x）=，則f（f（））的值是　?。? 考點(diǎn)： 函數(shù)的值． 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則可求出f（4）的值，從而可將f（f（4））從內(nèi)向外去除括號，求出所求． 解答： 解：由題意可得：函數(shù)f（x）=， ∴f（）

18、=log2=﹣2 ∴f（f（））=f（﹣2）=3﹣2+1=． 故答案為：． 點(diǎn)評： 本題主要考查了函數(shù)求值，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握對數(shù)的有關(guān)公式，并且加以正確的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題． 　 14．已知拋物線y2=﹣8x的準(zhǔn)線過雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為　2?。? 考點(diǎn)： 雙曲線的簡單性質(zhì)；拋物線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 拋物線y2=﹣8x的準(zhǔn)線為 x=2，故有c2=m+3=4，求得c值，即得雙曲線的離心率的值． 解答： 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，0）），準(zhǔn)線方程為x=2． 則c=2．所以c2=m+3=4，解得m=1， 所以雙曲線

19、的離心率為e==2， 故答案為：2． 點(diǎn)評： 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，得到c2=m+3=4，求出c值，是解題的關(guān)鍵． 　 15．曲線y=xex+2x+1在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為　y=3x+1　． 考點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)的幾何意義． 專題： 計(jì)算題． 分析： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)y在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，化成斜截式即可； 解答： 解：y′=ex+x?ex+2，y′|x=0=3， ∴切線方程為y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1． 故答案為：y=3x+1 點(diǎn)評： 本題考查了導(dǎo)數(shù)

20、的幾何意義，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題． 　 16．設(shè)A、B、C、D是半徑為2的球面上的四點(diǎn)，且滿足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，則S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值是　8?。? 考點(diǎn)： 球內(nèi)接多面體． 分析： 根據(jù)題意，以AB、AC、AD為長、寬、高作長方體，可得長方體與三棱錐D﹣ABC有相同的外接球．從而算出長方體的對角線長為4，得AB2+AC2+AD2=16．再利用基本不等式求最值即可算出S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值． 解答： 解：∵AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD， ∴以AB、AC、AD為長、寬、高，作長方體如圖所示 可得長方

21、體的外接球就是三棱錐D﹣ABC的外接球 ∵球的半徑為2，可得直徑為4 ∴長方體的對角線長為4，得AB2+AC2+AD2=16 ∵S△ABC=AB?AC，S△ABD=AB?AD，S△ACD=AC?AD ∴S△ABC+S△ABD+S△ACD=（AB?AC+AB?AD+AC?AD） ∵AB?AC+AB?AD+AC?AD≤AB2+AC2+AD2=16 當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=AD時(shí)，等號成立 ∴當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC=AD時(shí)，S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值為8 故答案為：8 點(diǎn)評： 本題求內(nèi)接于球的三棱錐的側(cè)面積的最大值，著重考查了球內(nèi)接多面體、長方體的性質(zhì)和基本不等式求最值

22、等知識(shí)，屬于中檔題． 　 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17．（12分）已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x， （1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值，并寫出x的相應(yīng)的取值． 考點(diǎn)： 三角函數(shù)的周期性及其求法；三角函數(shù)的最值． 專題： 計(jì)算題． 分析： （1）利用兩角和差的三角函數(shù)化簡函數(shù)，得到f（x）=1+，由 T= 求得周期． （2）當(dāng)時(shí)，求出2x+ 的范圍，進(jìn)而得到sin（2x+ ）的范圍，從而得到函數(shù)f（x）的 范圍， 從而求得函數(shù)f（x）的最大值． 解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=（s

23、inx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+， 故最小正周期為 T===π． （2）當(dāng)時(shí)，∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+ ）≤1， ∴0≤1+≤1+，故函數(shù)f（x）的最大值為 1+． 此時(shí)，2x+=，x=． 點(diǎn)評： 本題考查兩角和差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的周期的求法，求三角函數(shù)的值域，求三角函數(shù)的值域是解題的難點(diǎn)． 　 18．（3分）如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為邊BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于點(diǎn)F．將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG，形成如圖

24、乙所示的幾何體． （Ⅰ）求證：BC⊥平面AFG （Ⅱ）求四棱錐A﹣BCDE的體積． 考點(diǎn)： 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定． 專題： 計(jì)算題；證明題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： （Ⅰ）由圖形折疊前后的特點(diǎn)可知DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC，由線面垂直的判定和性質(zhì)定理，即可得證； （Ⅱ）由面面垂直的性質(zhì)定理，得到AF⊥平面BCDE，再由棱錐的體積公式即可得到答案． 解答： （Ⅰ）證明：在圖甲中，由△ABC是邊長為6的等邊三角形， E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)， 點(diǎn)G為邊BC邊的中點(diǎn)，得 DE⊥AF，DE⊥GF，ED∥BC， 在圖乙中

25、仍有，DE⊥AF，DE⊥GF，且AF∩GF=F， ∴DE⊥平面AFG， ∵ED∥BC，∴BC⊥平面AFG； （Ⅱ）解：∵平面AED⊥平面BCDE，AF⊥ED， ∴AF⊥平面BCDE， ∴VA﹣BCDE=AF?SBCDE=××4×（36﹣×16）=10． 點(diǎn)評： 本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及面面垂直的性質(zhì)定理，同時(shí)考查棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題． 　 19．（3分）某公司生產(chǎn)A、B兩類產(chǎn)品，每類產(chǎn)品均有一般品和優(yōu)等品兩種，某月的產(chǎn)量如下表： A B 優(yōu)等品 100 x 一般品 300 400 按分層抽樣的方法在該月

26、生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取50個(gè)，其中A類20個(gè)． （Ⅰ）求x的值； （Ⅱ）用分層抽樣的方法在B類中抽取一個(gè)容量為6個(gè)的樣本，從樣本中任意取2個(gè)，求至少有一個(gè)優(yōu)等品的概率． 考點(diǎn)： 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；分層抽樣方法． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （Ⅰ）由每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，可得 =，由此求得x的值． （Ⅱ）先求出抽出的產(chǎn)品中，優(yōu)等品為 2個(gè)，一般品為4個(gè)，求出沒有優(yōu)等品的概率，再用1減去此概率，即得所求． 解答： 解：（Ⅰ）由每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，可得 =， 解得x=200． …（4分） （Ⅱ）抽取容量為6的樣本，由于優(yōu)等品所占的比例為=，一般品所

27、占的比例為=， 則抽出的產(chǎn)品中，優(yōu)等品為 6×=2個(gè)，一般品為6×=4個(gè)． 從樣本中任意取2個(gè)，所有的取法種數(shù)為 =15，其中沒有優(yōu)等品的取法種數(shù)為 =6， 故沒有優(yōu)等品的概率為 =， 所以至少有一個(gè)優(yōu)等品的概率是 1﹣=． …（12分） 點(diǎn)評： 本題主要考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù)， 一個(gè)事件的概率與它的對立事件的概率間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題． 　 20．（3分）已知橢圓C：的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為． （1）求橢圓C的方程． （2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離

28、為，且△AOB的面積為，求：實(shí)數(shù)k的值． 考點(diǎn)： 橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 綜合題． 分析： （1）因?yàn)闄E圓離心率為e==，又因?yàn)槎梯S一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為a=，故c=，從而b2=a2﹣c2=1，橢圓C的方程為． （2）先由原點(diǎn)O到直線l的距離為，得等式，再將直線l與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和△AOB的面積為，得等式?=，最后將兩等式聯(lián)立解方程即可得k值 解答： 解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意， ∴b=1，∴所求橢圓方程為． （2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由已知，得． 又由，消去y得： （3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴，

29、． ∴|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2= == 又， 化簡得：9k4﹣6k2+1=0 解得： 點(diǎn)評： 本題考察了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓相交的性質(zhì)，解題時(shí)要特別注意韋達(dá)定理在解題中的重要應(yīng)用，巧妙地運(yùn)用設(shè)而不求的解題思想提高解題效率． 　 21．（3分）已知函數(shù)f（x）=x2ln|x|． （1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （2）若關(guān)于x的方程f（x）=kx﹣1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）先看當(dāng)x＞0時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）大于0或小于0時(shí)的f（x）的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)的奇

30、偶性判斷求得其它的單調(diào)區(qū)間． （2）要使方程f（x）=kx﹣1有實(shí)數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx﹣1有交點(diǎn)，先看當(dāng)k＞0時(shí)，用導(dǎo)函數(shù)求出當(dāng)直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，再根據(jù)對稱性求出k＜0時(shí)直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值，進(jìn)而求出f（x）=kx﹣1有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠0} 當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=x（2lnx+1）若0＜x＜，則f'（x）＜0，f（x）遞減； 若x＞，則f'（x）＞0，f（x）遞增． 遞增區(qū)間是（﹣，0）和（，+∞）； 遞減區(qū)間是（﹣∞，﹣）和（0

31、，）． （2）要使方程f（x）=kx﹣1有實(shí)數(shù)解，即要使函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=kx﹣1有交點(diǎn)． 函數(shù)f（x）的圖象如圖． 先求當(dāng)直線y=kx﹣1與f（x）的圖象相切時(shí)k的值． 當(dāng)k＞0時(shí)，f'（x）=x?（2lnx+1） 設(shè)切點(diǎn)為P（a，f（a）），則切線方程為y﹣f（a）=f'（a）（x﹣a）， 將x=0，y=﹣1代入，得﹣1﹣f（a）=f'（a）（﹣a） 即a2lna+a2﹣1=0（*） 顯然，a=1滿足（*） 而當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a2lna+a2﹣1＜0， 當(dāng)a＞1時(shí)，a2lna+a2﹣1＞0 ∴（*）有唯一解a=1 此時(shí)k=f'（1）=1 再由對稱性，

32、k=﹣1時(shí)，y=kx﹣1也與f（x）的圖象相切， ∴若方程f（x）=kx﹣1有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）． 點(diǎn)評： 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．在解決函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí)，常利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)． 　 四、選做題：滿分9分，在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分． 22．（3分）（xx?鄭州二模）如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點(diǎn)，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)G為BD中點(diǎn)，連接AG分別交⊙O、BD于點(diǎn)E、F連接CE． （1）求證：AG?EF=CE?GD； （2）求證：． 考點(diǎn)： 圓

33、的切線的性質(zhì)定理的證明；與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 證明題；壓軸題． 分析： （1）要證明AG?EF=CE?GD我們可以分析積等式中四條線段的位置，然后判斷它們所在的三角形是否相似，然后將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)證明三角形相似的問題． （2）由（1）的推理過程，我們易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG?GF，結(jié)合（1）的結(jié)論，不難得到要證明的結(jié)論． 解答： 證明：（1）連接AB，AC， ∵AD為⊙M的直徑，∴∠ABD=90°， ∴AC為⊙O的直徑，∴∠CEF=∠AGD， ∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF， ∵G為弧BD中點(diǎn)，∴∠DAG=

34、∠GDF， ∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF， ∴△CEF∽△AGD， ∴， ∴AG?EF=CE?GD （2）由（1）知∠DAG=∠GDF， ∠G=∠G， ∴△DFG∽△AGD， ∴DG2=AG?GF， 由（1）知， ∴． 點(diǎn)評： 證明三角形相似有三個(gè)判定定理：（1）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似（簡敘為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似（2）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡敘為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似（3）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對

35、應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似．我們要根據(jù)已知條件進(jìn)行合理的選擇，以簡化證明過程． 　 23．（3分）已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． （1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程與直線l的普通方程； （2）設(shè)曲線C與直線l相交于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形，求該矩形的面積． 考點(diǎn)： 參數(shù)方程化成普通方程；點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化． 專題： 直線與圓． 分析： （1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程；消去參數(shù)t即可得到直線

36、l的方程； （2）利用弦長|PQ|=2和圓的內(nèi)接矩形，得對角線是圓的直徑即可求出圓的內(nèi)接矩形的面積． 解答： 解：（1）對于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，進(jìn)而x2+y2=4x； 對于l：由（t為參數(shù)）， 得，即． （2）由（1）可知C為圓，且圓心為（2，0），半徑為2， 則弦心距， 弦長， 因此以PQ為邊的圓C的內(nèi)接矩形面積．（10分） 點(diǎn)評： 本小題主要考查坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程向直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化，參數(shù)方程向普通方程轉(zhuǎn)化，以及圓內(nèi)幾何圖形的性質(zhì)等． 　 24．（3分）已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m． （

37、1）解關(guān)于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）； （2）若函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，求m的取值范圍． 考點(diǎn)： 絕對值不等式的解法；函數(shù)恒成立問題． 專題： 計(jì)算題；壓軸題． 分析： （1）不等式轉(zhuǎn)化為|x﹣2|+|a﹣1＞0，對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分類解不等式； （2）函數(shù)f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，可轉(zhuǎn)化為不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性質(zhì)求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的范圍． 解答： 解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即為|x﹣2|+a﹣1＞0， 當(dāng)a=1時(shí)，解集為x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）； 當(dāng)a＞1時(shí)，解集為全體實(shí)數(shù)R； 當(dāng)a＜1時(shí)，解集為（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）． （Ⅱ）f（x）的圖象恒在函數(shù)g（x）圖象的上方，即為|x﹣2|＞﹣|x+3|+m對任意實(shí)數(shù)x恒成立， 即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，（7分） 又由不等式的性質(zhì)，對任意實(shí)數(shù)x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m＜5， 故m的取值范圍是（﹣∞，5）． 點(diǎn)評： 本題考查絕對值不等式的解法，分類討論的方法，以及不等式的性質(zhì)，涉及面較廣，知識(shí)性較強(qiáng)．