2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 平面解析幾何 第1節(jié) 直線的傾斜角與斜率、直線方程教學(xué)案 文 北師大版

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1、第9章 平面解析幾何 全國(guó)卷五年考情圖解 高考命題規(guī)律把握 1.考查形式 高考在本章一般為2道小題和1道解答題，分值約占22分. 2.考查內(nèi)容 高考小題重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線的幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及兩種圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解答題一般會(huì)綜合考查直線、圓、圓錐曲線等問(wèn)題，難度較大. 3.備考策略 (1)熟練掌握解決以下問(wèn)題的方法和規(guī)律 ①求圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程問(wèn)題； ②圓錐曲線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用問(wèn)題； ③直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題； ④圓錐曲線的定點(diǎn)、定值、最值、范圍問(wèn)題. (2)重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論思想的應(yīng)用.

2、 第一節(jié)　直線的傾斜角與斜率、直線方程 [最新考綱]　1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第143頁(yè)) 1．直線的傾斜角 (1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，它的傾斜角為0°. (2)傾斜角的范圍為0°≤α＜180°. 2．斜率公式

3、 (1)直線l的傾斜角為α≠90°，則斜率k＝tan_α，當(dāng)α＝90°時(shí)，直線斜率不存在． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝. 3．直線方程的五種形式 名稱 方程 適用范圍 點(diǎn)斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直線x＝x0 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線 兩點(diǎn)式 ＝ 不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1≠y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面內(nèi)所有直線都適用 1．牢記傾斜角α與斜率k的關(guān)系 (1)當(dāng)α

4、∈且由0增大到時(shí)，k的值由0增大到＋∞. (2)當(dāng)α∈時(shí)，k也是關(guān)于α的單調(diào)函數(shù)，當(dāng)α在此區(qū)間內(nèi)由增大到π(α≠π)時(shí)，k的值由－∞趨近于0(k≠0)． 2．特殊直線的方程 (1)直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，垂直于x軸的方程為x＝x1； (2)直線過(guò)點(diǎn)P1(x1，y1)，垂直于y軸的方程為y＝y(tǒng)1； (3)y軸的方程為x＝0； (4)x軸的方程為y＝0. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率． (　　) (2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大． (　　) (3)過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)的直線都可用方程y－y0＝k(

5、x－x0)表示． (　　) (4)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 二、教材改編 1．若過(guò)點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為(　　) A．1 B．4　　　　 C．1或3　　　　 D．1或4 A　[由題意得＝1，解得m＝1.] 2．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2,5)，且斜率為－，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0 C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3

6、y＋14＝0 A　[由y－5＝－(x＋2)得3x＋4y－14＝0，故選A.] 3．已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(a，b)，B(a，c)的直線的傾斜角為________，直線AB的方程為________． 　x＝a　[由題意知，直線AB垂直于x軸，因此直線AB的傾斜角為，直線AB的方程為x＝a.] 4．在x軸，y軸上的截距分別是4，－3的直線方程為________． 3x－4y－12＝0　[由題意知，直線方程為＋＝1，即3x－4y－12＝0.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第144頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　直線的傾斜角和斜率 　斜率取值范圍的兩種求法 數(shù)形結(jié)合法 作出直線在平面直角

7、坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定 函數(shù)圖像法 根據(jù)正切函數(shù)圖像，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可 　1.(2019·安慶模擬)直線x－(a2＋2)y＋1＝0的傾斜角不可能為(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. D　[設(shè)直線x－(a2＋2)y＋1＝0的傾斜角為θ，θ∈[0，π)， 則tan θ＝∈. 又tan＝，故θ不可能為.] 2．若直線l的斜率k∈[－1,1]，則直線l的傾斜角θ的范圍是________． ∪　[當(dāng)－1≤k＜0時(shí)，≤θ＜π， 當(dāng)0≤k≤1時(shí)，0≤θ≤. 因此θ的取值范圍是∪.] 3．直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1

8、)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為__________． (－∞，－]∪[1，＋∞)　[如圖， ∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．] 　直線的傾斜角和斜率的范圍互求時(shí)，要充分利用y＝tan x的單調(diào)性． ⊙考點(diǎn)2　直線方程 　 1．求解直線方程的兩種方法 直接法 根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程 待定系數(shù)法 ①設(shè)所求直線方程的某種形式； ②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)； ③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)； ④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程 2.謹(jǐn)防三種失誤 (1)應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)

9、，要注意討論斜率是否存在． (2)應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過(guò)原點(diǎn)，截距是否為0. (3)應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)注意討論B是否為0. (1)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－5,2)，且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍，則該直線的方程為________． (2)若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－，3)，且傾斜角為直線x＋y＋1＝0的傾斜角的一半，則該直線的方程為________． (3)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中點(diǎn)M在y軸上，BC的中點(diǎn)N在x軸上，則直線MN的方程為________． (1)x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0　(2)x－y＋6＝

10、0　(3)5x－2y－5＝0　[(1)①當(dāng)橫截距、縱截距均為零時(shí)，設(shè)所求的直線方程為y＝kx，將(－5,2)代入y＝kx中，得k＝－，此時(shí)，直線方程為y＝－x，即2x＋5y＝0. ②當(dāng)橫截距、縱截距都不為零時(shí)， 設(shè)所求直線方程為＋＝1， 將(－5,2)代入所設(shè)方程，解得a＝－，此時(shí)，直線方程為x＋2y＋1＝0. 綜上所述，所求直線方程為x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0. (2)由x＋y＋1＝0得此直線的斜率為－，所以傾斜角為120°，從而所求直線的傾斜角為60°，故所求直線的斜率為. 又直線過(guò)點(diǎn)A(－，3)，所以所求直線方程為y－3＝(x＋)，即x－y＋6＝0. (3)設(shè)C(x0

11、，y0)，則 M，N. 因?yàn)辄c(diǎn)M在y軸上，所以＝0， 所以x0＝－5. 因?yàn)辄c(diǎn)N在x軸上，所以＝0， 所以y0＝－3，即C(－5，－3)， 所以M，N(1,0)， 所以直線MN的方程為＋＝1， 即5x－2y－5＝0.] 　當(dāng)直線在x軸、y軸上的截距相等或具有倍數(shù)關(guān)系時(shí)，一般要分截距為零和不為零兩種情況求解，當(dāng)出現(xiàn)截距之和或橫截距大于縱截距時(shí)，此時(shí)橫、縱截距均不為零，可直接用待定系數(shù)法求解． 　1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為________． 2x－3y＝0或x＋y－5＝0　[設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過(guò)點(diǎn)(0,0)和(3

12、,2)， ∴l(xiāng)的方程為y＝x，即2x－3y＝0. 若a≠0，則設(shè)l的方程為＋＝1， ∵l過(guò)點(diǎn)(3,2)，∴＋＝1， ∴a＝5，∴l(xiāng)的方程為x＋y－5＝0， 綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.] 2．過(guò)點(diǎn)(1,2)，傾斜角的正弦值是的直線方程是________． x－y＋1＝0或x＋y－3＝0　[由題意知，傾斜角為或，所以斜率為1或－1，直線方程為y－2＝x－1或y－2＝－(x－1)，即x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.] 3．過(guò)點(diǎn)P(3,0)有一條直線l，它夾在兩條直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段恰被點(diǎn)P平分，則直線l的方程為___

13、_____． 8x－y－24＝0　[設(shè)直線l與l1，l2的交點(diǎn)分別為A，B， 設(shè)A(x1，y1)，則B(6－x1，－y1)． 由題意得解得 即A. 直線l的方程為＝，即8x－y－24＝0.] ⊙考點(diǎn)3　直線方程的綜合應(yīng)用 　與直線方程有關(guān)問(wèn)題的常見類型及解題策略 (1)求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題：先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值． (2)求參數(shù)值或范圍：注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解． 　過(guò)點(diǎn)P(4,1)作直線l分別交x軸，y軸正半軸于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程

14、； (2)當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程． [解]　設(shè)直線l：＋＝1(a＞0，b＞0)， 因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)，所以＋＝1. (1)＋＝1≥2＝， 所以ab≥16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)a＝8，b＝2時(shí)，△AOB的面積最小， 此時(shí)直線l的方程為＋＝1，即x＋4y－8＝0. (2)因?yàn)椋?，a＞0，b＞0， 所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝6，b＝3時(shí)等號(hào)成立， 所以當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，直線l的方程為＋＝1， 即x＋2y－6＝0. 　涉及與直線在x軸，y軸上的截距有關(guān)的

15、問(wèn)題，可設(shè)直線方程為截距式． [教師備選例題] 如圖，在兩條互相垂直的道路l1，l2的一角，有一個(gè)電線桿，電線桿底部到道路l1的垂直距離為4米，到道路l2的垂直距離為3米，現(xiàn)在要過(guò)電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道，使得人行道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長(zhǎng)度為________米． 10　[如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)人行道所在直線方程為y－4＝k(x－3)(k＜0)，所以A，B(0,4－3k)， 所以△ABO的面積S＝(4－3k) ＝，因?yàn)閗＜0， 所以－9k－≥2＝24，當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝－，即k＝－時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，A(6,0)，B(0,8)，所

16、以人行道的長(zhǎng)度為10米．] 　1.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為________． x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0　[設(shè)所求直線的方程為＋＝1. ∵A(－2,2)在直線上，∴－＋＝1. ① 又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1， ∴|a|·|b|＝1. ② 由①②可得(1)或(2) 由(1)解得或方程組(2)無(wú)解． 故所求的直線方程為＋＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0為所求直線的方程．] 2．已知直線l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a＝________. 　[由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2,2)，直線l1在y軸上的截距為2－a，直線l2在x軸上的截距為a2＋2， 所以四邊形的面積S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2) ＝a2－a＋4＝＋， 當(dāng)a＝時(shí)，四邊形的面積最小， 故實(shí)數(shù)a的值為.] - 8 -