2021高考數(shù)學一輪復習 第6章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學案 文 北師大版

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1、第四節(jié)　數(shù)列求和 [最新考綱]　1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法． (對應學生用書第102頁) 1．公式法 (1)等差數(shù)列的前n項和公式： Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列的前n項和公式： Sn＝ 2．分組轉化法 把數(shù)列的每一項分成兩項或幾項，使其轉化為幾個等差、等比數(shù)列，再求解． 3．裂項相消法 把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和． 4．錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解． 5．

2、倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法求解． 6．并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 1．一些常見的數(shù)列前n項和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n. 2．常用的裂項公式 (

3、1)＝； (2)＝＝； (3)＝－； (4)loga＝loga(n＋1)－logan. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝. (　　) (2)當n≥2時，＝. (　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得． (　　) (4)推導等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5. (　　) [答案](1)√　(2)√　(3)×　(4)√

4、 二、教材改編 1．數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若an＝，則S5等于(　　) A．1　　　　B.　　　　C.　　　　D. B　[∵an＝＝－， ∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝＋＋…＋＝1－＝.故選B.] 2．若Sn＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n－1·n，則S50＝________. －25　[S50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 3．數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項和Sn等于________． n2＋1－　[Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋ ＝n2＋＝n2＋1－.] 4．若x≠0，且x≠1，則1＋2x＋3x2

5、＋…＋nxn－1＝________. －　[設Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1， ① 則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn， ② ①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－.] (對應學生用書第102頁) ⊙考點1　分組轉化求和 　分組轉化求和的兩個常見類型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}的前n項和； (2)通項公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉化法求和． 　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝，n∈N*. (1)求

6、數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝2an＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前2n項和． [解](1)當n＝1時，a1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 記數(shù)列{bn}的前2n項和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故數(shù)列{bn}的前2n項和T

7、2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. [母題探究] 在本例(2)中，若條件不變，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [解]　由本例(1)知bn＝2n＋(－1)n·n. 當n為偶數(shù)時， Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝＋＝2n＋1＋－2； 當n為奇數(shù)時，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n] ＝2n＋1－2＋－n＝2n＋1－－. 所以Tn＝ 　通項公式中出現(xiàn)(－1)n，在求數(shù)列的前n項和Sn時，要分n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況討論． 　1.若數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{a

8、n}的前n項和為(　　) A．2n＋n2－1　　　 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2 C　[Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2. 故選C.] 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝則數(shù)列{an}的前20項和為(　　) A．1 121 B．1 122 C．1 123 D．1 124 C　[由題意可知，數(shù)列{a2n}是首項為1，公比為2的

9、等比數(shù)列，數(shù)列{a2n－1}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，故數(shù)列{an}的前20項和為＋10×1＋×2＝1 123.選C.] ⊙考點2　錯位相減法求和 　錯位相減法求和的四個步驟 　(2019·天津高考)設{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通項公式； (2)設數(shù)列{cn}滿足cn＝求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N*)． [解](1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q. 依題意，得解得故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n.

10、 所以，{an}的通項公式為an＝3n，{bn}的通項公式為bn＝3n. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 記Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n， ① 則3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1， ② ②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1 ＝－＋n×3n＋1＝. 所以，a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n2＋6Tn＝3n2＋3×

11、＝(n∈N*)． 　錯位相減法求和時應注意兩點 (1)兩式相減時最后一項因為沒有對應項而忘記變號． (2)對相減后的和式的結構認識模糊，錯把中間的n－1項和當作n項和． 　設等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式； (2)當d＞1時，記cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解](1)由題意得 即 解得或 故或 (2)由d＞1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝， 于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋， ① Tn＝＋＋＋＋＋…＋. ② ①－②

12、可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－， 故Tn＝6－. [教師備選例題] (2017·山東高考)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn. [解](1)設{an}的公比為q， 由題意知：a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2， 又an>0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2

13、n＋1. 令cn＝，則cn＝. 因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－， 所以Tn＝5－. ⊙考點3　裂項相消法求和 　裂項相消法求和的兩個關注點 (1)通項公式能裂為兩項差的形式，求和時能產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項． (2)消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩到第幾項，后邊就剩到倒數(shù)第幾項． 　形如an＝型 　已知數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，且滿足4Sn＝a＋2an－3對任意的正整數(shù)n都成立． (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求其通項公式； (2)設bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.

14、 [解](1)當n＝1時，4S1＝a＋2a1－3， 即a－2a1－3＝0， 解得a1＝3或a1＝－1(舍去)， 由4Sn＝a＋2an－3，得當n≥2時，4Sn－1＝a＋2an－1－3，兩式相減， 得4an＝a－a＋2an－2an－1，即(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， 又an＞0，∴an－an－1－2＝0， 即an－an－1＝2(n≥2)， ∴數(shù)列{an}是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列， ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1，得Sn＝·n＝n(n＋2)， ∴bn＝＝＝， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn ＝ ＝＝－

15、. 　本例在求前n項和Tn時，應注意兩點： (1)bn裂成兩項差時，不要漏掉系數(shù). (2)求和消項后，前邊剩兩項，后邊也剩兩項，注意符號不同． [教師備選例題] 在等差數(shù)列{an}中，a2＝4，a1＋a4＋a7＝30，其前n項和為Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和Tn. [解](1)設等差數(shù)列{an}的公差為d. 法一：由已知可得 即解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×3＝3n－2. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a4＋a7＝3a4＝30，解得a4＝10， 所以d＝＝＝3， 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)

16、×3＝3n－2. (2)由(1)知Sn＝， 所以Sn＋2n＝＋2n＝＝， 所以＝＝. 所以Tn＝×＋×＋…＋＝＝. 　形如an＝型 　已知函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點(4,2)，令an＝，n∈N*，記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S2 020＝(　　) A.－1 B.－1 C.－1 D.＋1 C　[由f(4)＝2，得4α＝2，解得α＝，則f(x)＝x. ∴an＝＝＝－， ∴S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1，故選C.] 　本例中通項公式的裂項使用了分母有理化． 　1.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝l

17、g，若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3，則項數(shù)n＝(　　) A．99　　　B．101　　　C．999　　　D．1001 C　[an＝lg＝lg＝lg(n＋1)－lg n， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(lg 2－lg 1)＋(lg 3－lg 2)＋(lg 4－lg 3)＋…＋[lg(n＋1)－lg n]＝lg(n＋1)， 令Sn＝lg(n＋1)＝3得n＋1＝103，解得n＝999，故選C.] 2．已知等差數(shù)列{an}滿足a3＝7，a5＋a7＝26. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式； (2)設cn＝，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解](1)設等差數(shù)列的公差

18、為d， 則由題意可得 解得 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. (2)因為cn＝＝， 所以cn＝， 所以Tn＝＝＝. 課外素養(yǎng)提升⑥　數(shù)學建模——數(shù)學文化與數(shù)列 (對應學生用書第105頁) 縱觀近幾年高考，數(shù)列以數(shù)學文化為背景的問題，層出不窮，讓人耳目一新，同時它也使考生們受困于背景陌生，閱讀受阻，使思路無法打開．下面通過對典型例題的剖析、數(shù)學文化的介紹、及精選模擬題的求解，讓學生提升審題能力，增加對數(shù)學文化的認識，進而加深對數(shù)學文化的理解，提升數(shù)學建模的核心素養(yǎng)． 等比數(shù)列與數(shù)學文化 【例1】　(2018·北京高考)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早

19、用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為(　　) A.f　　　　　　　 B.f C.f D.f D　[從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于，第一個單音的頻率為f，由等比數(shù)列的概念可知，這十三個單音的頻率構成一個首項為f，公比為的等比數(shù)列，記為{an}，則第八個單音頻率為a8＝f·()8－1＝f，故選D.] [評析]　根據(jù)等比數(shù)列的定義可知，十三個單音的頻率構成等比數(shù)列． 【

20、例2】　(2019·邵陽模擬)《九章算術》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為(　　) (結果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．2.2天 B．2.4天 C．2.6天 D．2.8天 C　[設蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An. 莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn. 則An＝，Bn＝，由題

21、意可得：＝，化為：2n＋＝7，解得2n＝6,2n＝1(舍去)． ∴n＝＝1＋≈2.6. ∴估計2.6天蒲、莞長度相等，故選C.] [評析]　問題轉化成兩個等比數(shù)列前n項和相等問題． 【素養(yǎng)提升練習】 1．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了(　　) A．192里　　　B．96里　　　C．48里　　　D．24里 B　[依題意，每天走的路程構成等比數(shù)列{a

22、n}，且n＝6，公比q＝，S6＝378，設等比數(shù)列{an}的首項為a1，依題意有＝378，解得a1＝192.所以a2＝192×＝96.即第二天走了96里．] 等差數(shù)列與數(shù)學文化 【例3】　(2019·九江模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四尺．斬末一尺，重二斤．問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根5尺長的金杖，一頭粗，一頭細．在粗的一端截下1尺，重4斤；在細的一端截下1尺，重2斤．問依次每一尺各重多少斤？”根據(jù)上面的已知條件，若金杖由粗到細是均勻變化的，問中間3尺的重量為(　　) A．6斤 B．9斤 C．9.5斤 D．12斤 B

23、　[依題意，金杖由粗到細各尺的重量構成一個等差數(shù)列，記為{an}，則a1＝4，a5＝2，由等差數(shù)列的性質(zhì)得a2＋a4＝a1＋a5＝2a3＝6，所以a3＝3，所以中間3尺的重量為a2＋a3＋a4＝3a3＝9(斤)．故選B.] [評析]　金杖由粗到細，每一尺的重量成等差數(shù)列，可用等差數(shù)列的性質(zhì)求解． 【素養(yǎng)提升練習】 2．(2019·石家莊模擬)我國古代數(shù)學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它在世界數(shù)學史上具有光輝的一頁，堪稱數(shù)學史上名垂百世的成就，而且一直啟發(fā)和指引著歷代數(shù)學家們．定理涉及的是數(shù)的整除問題，其數(shù)學思想在近代數(shù)學、當代密碼學研究及日常生活中都有著廣泛應用，為世界數(shù)學的發(fā)展做出了巨大貢獻，現(xiàn)有這樣一個整除問題：將1到2 019這2 019個整數(shù)中能被5除余2且被7除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列{an}，那么此數(shù)列的項數(shù)為(　　) A．58 B．59 C．60 D．61 A　[由數(shù)能被5除余2且被7除余2的數(shù)就是能被35整除余2的數(shù)， 故an＝2＋(n－1)35＝35n－33， 由an＝35n－33≤2 019， 得n≤58＋，n∈N*，故此數(shù)列的項數(shù)為58.] - 11 -