2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版

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9.9 積分

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 3.4 定積分與微積分基本定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一 求常見(jiàn)函數(shù)的定積分 【例1】 計(jì)算下列定積分的值. (1)(x-1)5dx; (2) (x+sin x)dx. 【解析】(1)因?yàn)閇(x-1)6]′=(x-1)5, 所以 (x-1)5dx==. (2)因?yàn)?-cos x)′=x+sin x, 所以(x+sin x)dx==+1. 【點(diǎn)撥】(1)一般情況下,只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù),就能求出定積分的值; (2)當(dāng)被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí),應(yīng)對(duì)每個(gè)區(qū)間分段積分,再求和; (3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù),應(yīng)先去掉絕對(duì)值符

2、號(hào)后積分; (4)當(dāng)被積函數(shù)具有奇偶性時(shí),可用以下結(jié)論: ①若f(x)是偶函數(shù)時(shí),則f(x)dx=2f(x)dx; ②若f(x)是奇函數(shù)時(shí),則f(x)dx=0. 【變式訓(xùn)練1】求(3x3+4sin x)dx. 【解析】(3x3+4sin x)dx表示直線x=-5,x=5,y=0和曲線 y=3x3+4sin x所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和,且在x軸上方的面積取正號(hào),在x軸下方的面積取負(fù)號(hào). 又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x) =-(3x3+4sin x)=-f(x). 所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函數(shù), 所以(3x3+4sin x)dx=-

3、(3x3+4sin x)dx, 所以(3x3+4sin x)dx=(3x3+4sin x)dx+(3x3+4sin x)dx=0. 題型二 利用定積分計(jì)算曲邊梯形的面積 【例2】求拋物線y2=2x與直線y=4-x所圍成的平面圖形的面積. 【解析】方法一:如圖, 由 得交點(diǎn)A(2,2),B(8,-4), 則S=[-(-)]dx+[4-x-(-)]dx =+ =+=18. 方法二:S=[(4-y)-]dy ==18. 【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形的特征,選擇不同的積分變量,可使計(jì)算簡(jiǎn)捷,在以y為積分變量時(shí),應(yīng)注意將曲線方程變?yōu)閤=φ(y)的形式,同時(shí),積分上、下限必須對(duì)應(yīng)y的取值.

4、【變式訓(xùn)練2】設(shè)k是一個(gè)正整數(shù),(1+)k的展開式中x3的系數(shù)為,則函數(shù)y=x2與y=kx-3的圖象所圍成的陰影部分(如圖)的面積為    . 【解析】Tr+1=C()r,令r=3,得x3的系數(shù)為C=,解得k=4.由得函數(shù)y=x2與y=4x-3的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1,3. 所以陰影部分的面積為S=(4x-3-x2)dx=(2x2-3x-=. 題型三 定積分在物理中的應(yīng)用 【例3】 (1) 變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度為v (t)=1-t2,初始位置為x0=1,求它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程及2秒末所在的位置; (2)一物體按規(guī)律x=bt3作直線運(yùn)動(dòng),式中x為時(shí)間t內(nèi)通過(guò)的距離,媒質(zhì)的阻

5、力正比于速度的平方,試求物體由x=0運(yùn)動(dòng)到x=a時(shí)阻力所做的功. 【解析】(1)當(dāng)0≤t≤1時(shí),v(t)≥0,當(dāng)1≤t≤2時(shí),v(t)≤0,所以前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為 s=v(t)dt+(-v(t))dt =(1-t2)dt+(t2-1)dt =+=2. 2秒末所在的位置為 x1=x0+v(t)dt=1+(1-t2)dt=. 所以它在前2秒內(nèi)所走過(guò)的路程為2,2秒末所在的位置為x1=. (2) 物體的速度為v=(bt3)′=3bt2. 媒質(zhì)阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4,其中k為比例常數(shù),且k>0. 當(dāng)x=0時(shí),t=0; 當(dāng)x=a時(shí),t=t1=(),

6、又ds=vdt,故阻力所做的功為 W阻=ds =kv2·vdt=kv3dt = k(3bt2)3dt=kb3t = k. 【點(diǎn)撥】定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)注意:v(t)=a(t)dt,s(t)=v(t)dt和W=F(x)dx這三個(gè)公式. 【變式訓(xùn)練3】定義F(x,y)=(1+x)y,x,y∈(0,+∞).令函數(shù)f(x)=F[1,log2(x2-4x+9)]的圖象為曲線C1,曲線C1與y軸交于點(diǎn)A(0,m),過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線,切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),設(shè)曲線C1在點(diǎn)A,B之間的曲線段與線段OA,OB所圍成圖形的面積為S,求S的值. 【解析】因?yàn)镕(x,y)=(1+x)y

7、,所以f(x)=F(1,log2(x2-4x+9))==x2-4x+9,故A(0,9),又過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O向曲線C1作切線,切點(diǎn)為B(n,t)(n>0),f′(x)=2x-4. 所以解得B(3,6), 所以S=(x2-4x+9-2x)dx=(-3x2+9x)=9. 總結(jié)提高 1.定積分的計(jì)算關(guān)鍵是通過(guò)逆向思維求得被積函數(shù)的原函數(shù). 2.定積分在物理學(xué)中的應(yīng)用必須遵循相應(yīng)的物理過(guò)程和物理原理. 3.利用定積分求平面圖形面積的步驟: (1)畫出草圖,在直角坐標(biāo)系中畫出曲線或直線的大致圖象; (2)借助圖形確定出被積函數(shù),求出交點(diǎn)坐標(biāo),確定積分的上、下限; (3)把曲邊梯形的面積表示成若干個(gè)定積分的和; (4)計(jì)算定積分,寫出答案.

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