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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 平面向量的數(shù)量積教案 理
教材分析
兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法,它區(qū)別于數(shù)的乘法.這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā),引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義,介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示.向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起,這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便,特別是能有效解決線段的垂直等問(wèn)題.這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一,對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí).這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用.
教學(xué)目標(biāo)
1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和
2、數(shù)量積的坐標(biāo)表示,會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題,掌握向量垂直的條件.
2. 通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用,初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣.
任務(wù)分析
兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別,這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難.在學(xué)習(xí)時(shí),要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,而不是向量.兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積,其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定.
兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”.
通過(guò)實(shí)例理解a·b=b·c與a=c的關(guān)系,a·b=0與a=0或b=0的關(guān)
3、系,以及(a·b)c=a(b·c)與(ab)c=a(bc)的不同.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、問(wèn)題情景
如圖40-1所示,一個(gè)力f作用于一個(gè)物體,使該物體發(fā)生了位移s,如何計(jì)算這個(gè)力所做的功.由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ,真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力,這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功.即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算.
W=|s||f|c(diǎn)osθ.
其中|f|c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量,也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量.
問(wèn)題:像功這樣的數(shù)量值,它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定.我們能否從中得到啟發(fā),把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果
4、呢?
二、建立模型
1. 引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念:
已知兩個(gè)非零向量a與b,把數(shù)量|a||b|c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積(內(nèi)積),記作a·b=|a||b|c(diǎn)osθ.其中θ是a與b夾角,|a|c(diǎn)osθ(|b|c(diǎn)osθ)叫a在b方向上(b在a方向上)的投影.
規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為0.
由上述定義可知,兩個(gè)向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù).
說(shuō)明:向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ),b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角,其中0≤θ≤π.當(dāng)θ=時(shí),稱a和b垂直,記作a⊥b.為方便起見(jiàn),a與b的夾角記作〈a,b〉.
2. 引導(dǎo)學(xué)生思考討論
根據(jù)向量數(shù)量積的定義,可以得出
(1)設(shè)e是單位向
5、量,a·e=|a|c(diǎn)os〈a,e〉.
(2)設(shè)a·b是非零向量,則a⊥ba·b=0.
(3)a·a=|a|2,于是|a|=.
(4)cos〈a,b〉=.
(5)|a·b|≤|a||b|(這與實(shí)數(shù)|ab|=|a||b|不同).
三、解釋?xiě)?yīng)用
[例 題]
已知|a|=5,|b|=4,〈a,b〉=120°,求a·b.
解:a·b=|a||b|c(diǎn)os〈a,b〉=5×4×cos120°=-10.
[練 習(xí)]
1. 已知|a|=3,b在a上的投影為-2,求:(1)a·b. ?。?)a在b上的投影.
2. 已知:在△ABC中,a=5,b=8,c=60°,求·.
四、建立向量數(shù)量積的
6、運(yùn)算律
1. 出示問(wèn)題:從數(shù)學(xué)的角度考慮,我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算,也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運(yùn)算律,這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義.回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律,你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎?它們成立嗎?為什么?
2. 運(yùn)算律及其推導(dǎo)
已知:向量a,b,c和λ∈R,則
(1)a·b=b·a(交換律).
證明:左=|a||b|c(diǎn)osθ=右.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律).
證明:設(shè)a,b夾角為θ,當(dāng)λ>0時(shí),λa與b的夾角為θ,
∴(λa)·b=(λa)·|b|c(diǎn)osθ=λ|a||b|c(diǎn)osθ=λ(a·b);
當(dāng)λ<0時(shí),λa與b的夾角為(π-θ)
7、,
∴(λa)·b=|λa||b|c(diǎn)os(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|c(diǎn)osθ=λ(a·b);
當(dāng)λ=0時(shí),(λa)·b=0·b=0=λ(a·b).
總之,(λa)·b=λ(a·b);
同理a·(λb)=λ(a·b).
(3)(a+b)·c=a·c+b·c(乘法對(duì)加法的分配律).
證明:如圖40-2,任取一點(diǎn)O,作=a,=b,=c.
∵a+b(即)在c方向上的投影等于a,b在c方向上的投影的和,即
|a+b|c(diǎn)osθ=|a|c(diǎn)osθ1+|b|c(diǎn)osθ2,
∴|c(diǎn)||a+b|c(diǎn)osθ=|c(diǎn)|(|a|c(diǎn)osθ1+|b|c(diǎn)osθ2)=
|c(diǎn)||a|
8、cosθ1+|c(diǎn)||b|c(diǎn)osθ2=c·a+c·b,
∴(a+b)·c=a·c+b·c.
思考:(1)向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律,即(a·b)c=a(b·c)嗎?
(2)向量的數(shù)量積滿足消去律,即如果a·b=c·b,那么a=c嗎?
五、應(yīng)用與深化
[例 題]
1. 對(duì)實(shí)數(shù)a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.類似地,對(duì)任意向量a,b,也有類似結(jié)論嗎?為什么?
解:類比完全平方和公式與平方差公式,有
(a+b)2=a2+2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2.
其證明是:(a+b)2=(a+b)·(a+b)=
a·a+a·b+b
9、·a+b·b=
a2+2a·b+b2,
(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=
a2-b2.
∴有類似結(jié)論.
2. 已知|a|=6,|b|=4,〈a,b〉=60°,求(a+2b)·(a-3b).
解:(a+2b)·(a-3b)=
a2-3a·b+2b·a-6b2=
|a|2-|a||b|c(diǎn)os60°-6|b|2=-72.
3. 已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線.當(dāng)k為何值時(shí),(a+kb)⊥(a-kb)?
解:(a+kb)⊥(a-kb),即(a+kb)·(a-kb)=0,即a2-k2b2=0,即9-k2×16=0,k=±.
因此,當(dāng)k=±時(shí),有(
10、a+kb)⊥(a-kb).
4. 已知:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,并且=a,=b,=c,求|a+b+c|.
解法1:∵a+b+c=++=2,
∴|a+b+c|=2=2.
解法2:|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+2+2×1×1×cos90°+2×1× ×+2×1××=8,∴|a+b+c|=2.
[練 習(xí)]
1. |a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,求a與b的夾角θ.
2. 在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中,求·+·+·.
六、拓展延伸
1. 當(dāng)向量a,b的夾角為銳角時(shí),你能說(shuō)明a·b的幾何意義嗎?
11、
如圖40-3,a·b,即以b在a上射影的長(zhǎng)和a的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積(OA=OA1).
2. 平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型,如圖40-4,=+,=-.試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系.
3. 三個(gè)單位向量a,b,c有相同終點(diǎn)且a+b+c=0,問(wèn):它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形?
解法1:如圖40-5,∵|a|=|b|=|c(diǎn)|=1,a+b+c=0,∴a+b=-c,∴(a+b)2=(-c)2,
∴a2+b2+2a·b=c2,∴2|a|·|b|c(diǎn)os∠AOC=-1,cos∠AOC=,∠AOC=120°.
同理∠BOC=∠AOC=120°,故△AOB
12、,△BOC,△BOC全等,∴AB=AC=BC,即該△ABC為等邊三角形.
解法2:如圖40-6,=c,=-a,=-b,由a+b+c=0,即=+.
∵|a|=|b|=1,∴OADB為菱形.
又||=1,∴∠AOB=120°.
同理∠AOC=∠BOC=120°,…
4. 在△ABC中,·=·=·,問(wèn):O點(diǎn)在△ABC的什么位置?
解:由·=·,即·(-)=0,即·=0,∴⊥,同理⊥,⊥.故O是△ABC的垂心.
點(diǎn) 評(píng)
這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類比方法,即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí),經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類比.以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例,引入數(shù)量積的過(guò)程比較自然,學(xué)生容易接受.在“拓展延伸”中,較多地展示了向量的綜合應(yīng)用.這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體.運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題,越來(lái)越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面.認(rèn)識(shí)向量并會(huì)使用向量是這一部分的基礎(chǔ),也是重點(diǎn).總之,這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo),同時(shí),關(guān)注類比方法的運(yùn)用,以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高.美中不足的是,對(duì)學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺.