2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（Ⅰ卷）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（Ⅰ卷） 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1．設(shè)集合，則（　?。? A． B． 　　C． D． 2．若（、是實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于（ ） A． B． C． D．1+ i 3．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A．2π+ B． C． D． 4 4．執(zhí)行右圖的程序框圖，若輸出的， 則輸入整數(shù)的最大值是( ) A．15 B．14 C．7 D

2、．6 5．以雙曲線的離心率為首項(xiàng)， 以函數(shù)的零點(diǎn)為公比的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和（ ） A． B． C． D． 6．已知a=（sinx+cosx）dx，在（1+ax）6（1+y）4的展開式中，xy2項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A．45 B． 72 C． 60 D． 120 7．已知P（x，y）為區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū)域的面積為4時，z=2x﹣y的最大值是（ ） A．6 B．0 C．2 D． 2 8. 已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)圖象（ ） A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱

3、 C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 D．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 9．設(shè)隨機(jī)變量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），則實(shí)數(shù)a的值為（ ） A．1 B． C．5 D．9 10. 函數(shù)的定義域?yàn)?，若對于任意，?dāng)時，都有，則稱函數(shù)在上為非減函數(shù)。設(shè)函數(shù)在上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件： （1） ， （2） ， （3） 。 則等于（ ） A. B. C. 1 D. 11．已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且滿足 f（a）=f（b）=f（c

4、），則a+b+c的取值范圍是（ ） A．（1，10） B．（5，6） C．（2，8） D．（0，10） 12．已知拋物線y2=4x，圓F：（x﹣1）2+y2=1，過點(diǎn)F作直線a，自上而下順次與上述兩曲線交于點(diǎn)A，B，C，D，則|AB|?|CD|的值正確的是（ ） A．等于1 B．最小值是1 C．等于4 D．最大值是4 二、填空題:(本大題共4小題，每小題5分，共20分. 把答案填在答題卡上的相應(yīng)橫線上) 13．已知兩個向量,若，則的值是________； 14．表示函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取值，G()的概率為 ； 15．下列命題:

5、 ①當(dāng)時，的最小值為2； ②對于任意的內(nèi)角、、滿足：； ③對于命題p：?x∈R，使得x2+x+1＜0．則￢p：?x∈R，均有x2+x+1≥0 ④如果函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則f(x)的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)的充要條件. 其中正確命題的序號為 .（填上所有正確命題的序號） 16．.給定集合A＝{a1，a2，a3，…，an}(n∈N，n≥3)，定義ai＋aj(1≤i

6、，am}(其中m∈N*，m>1)，則L(A)關(guān)于m的表達(dá)式為　 　. 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=sinxsin()，x． 　(1)求y=f(x)的正零點(diǎn)； (2)設(shè)f(x)的所有正零點(diǎn)依次組成數(shù)列，數(shù)列滿足=0，=，ｎＮ＋　，求的通項(xiàng)公式。 18.(本小題滿分12分)一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個函數(shù)：f1（x）=x3，f2（x）=5|x|，f3（x）=2，f4（x）=，f5（x）=sin（+x），f6（x）=xcosx． （1）從中任意取2張卡片，求至少有一張卡片寫著

7、的函數(shù)為奇函數(shù)的概率； （2）在（1）的條件下，求兩張卡片上寫著的函數(shù)相加得到新函數(shù)為奇函數(shù)的概率； （3）現(xiàn)從盒子逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張寫有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 19. （本小題滿分12分）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1），將△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）。 （1）求證：A1E⊥平面BEP （2）求直線A1E與平面A1BP所成角的大小； （3）

8、求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值． 20．（本小題滿分13分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，短軸兩個端點(diǎn)為A、B，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形． （1）求橢圓的方程； （2）若C、D分別是橢圓長的左、右端點(diǎn)， 動點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓 于點(diǎn)P．證明：為定值． （3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的 圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 21．(本小題滿分13分) 若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足 f（x）=?e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，g（x）=f（）﹣x2

9、+（1﹣a）x+a，a∈R． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式； （Ⅱ）求函數(shù)g（x）單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）若x、y、m滿足|x﹣m|≤|y﹣m|，則稱x比y更接近m．當(dāng)a≥2且x≥1時，試比較 和ex﹣1+a哪個更接近lnx，并說明理由． 請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分 22（8分選修4—1：幾何證明選講）如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC＝2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E， 證明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2.

10、 23．（8分選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為，圓C的圓心是，半徑為． （1）求圓C的極坐標(biāo)方程； （2）求直線l被圓C所截得的弦長． 24．（8分選修4-5：不等式選講 ）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|． （1）解不等式f（x）＞0； （2）已知關(guān)于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 理科數(shù)學(xué)（Ⅰ）參考答案 一、 ACCAB BADBA CA 二、 11. 12 . 5 　2m

11、－3　. 解析：①∵2＋4＝6,2＋6＝8,2＋8＝10,4＋6＝10,4＋8＝12,6＋8＝14，∴L(A)＝5. ②用不完全歸納法。證明如下：不妨設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列可知a1m時，ai＋aj＝ai＋j－m＋am，因此每個和ai＋aj(1≤i

12、m－3. 三、 17.（1）f(x)= sin() 正零點(diǎn)x=k+ ，kN……………..(6分) (2) = ，bn=(3n2-8n-5)/6………………………..(12分) 18．解：（Ⅰ）f1（x）為奇函數(shù)；f2（x）為偶函數(shù)；f3（x）為偶函數(shù)； f4（x）為奇函數(shù)；f5（x）=為偶函數(shù)； f6（x）=為奇函數(shù)， 故所求概率為P==，--------4分 （Ⅱ）∵==， = , p=1/4 ------8分 （Ⅲ） P（ξ=1）==，P（ξ=2）=×=，P（ξ=3）═××=，P（ξ=4）=×××=； 故ξ的分布列為 ξ 1 2 3 4 P

13、 E（ξ）=1×+4×= -------------12分 19．（1）證明：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為3．在圖1中，取BE的中點(diǎn)D，連結(jié)DF． ∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在圖2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB為二面角A1﹣EF﹣B的平面角． 由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．----------------4分 （2）建立分別以EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直

14、角坐標(biāo)系， 則E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F(xiàn)（0，，0），P （1，，0），則，．設(shè)平面ABP的法向量為，由平面ABP知，，即令，得， ，， ∴直線A1E與平面A1BP所成的角為60度．--------8分 （3），設(shè)平面A1FP的法向量為．由平面A1FP知， 令y2=1，得， 所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．---------12分 20. 解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2； ∴橢圓方程為-----（4分） （2）C（﹣2，0），D（2，0），設(shè)M（2，y0），P（x1，y1）， 直線CM：，代入橢圓方程x2+

15、2y2=4， 得 ∵，∴， ∴ ∴（定值）（8分） （3）設(shè)存在Q（m，0）滿足條件，則MQ⊥DP 則由，從而得m=0 ∴存在Q（0，0）滿足條件 ----------（13分） 21．解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0）， 所以f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1．又f（0）=f′（1）e﹣2， 所以f（x）=e2x+x2﹣2x．---------4-分 （Ⅱ）∵f（x）=e2x﹣2x+x2， ∴g（x）=f（）﹣x2+（1﹣a）x+a=ex﹣a（x﹣1） ∴g′（x）=ex﹣a， ①a≤0時，g′（x）＞0

16、，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a＞0時，由g′（x）=ex﹣a=0得x=lna， ∴x∈（﹣∞，lna）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減； x∈（lna，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增． 綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）；當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，lna）--------8分 （Ⅲ）解：設(shè)p（x）=﹣lnx，q（x）=ex-1+a﹣lnx，∴p′（x）=﹣﹣＜0， ∴p（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，又p（e）=0， ∴當(dāng)1≤x≤e時，p（x）≥0；當(dāng)x＞e時，p（x）＜0．

17、∵q′（x）=ex﹣1﹣，q″（x）=ex﹣1+＞0， ∴q′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，又q′（1）=0， ∴x∈[1，+∞）時，q′（x）≥0， ∴q（x）在∈[1，+∞）上為增函數(shù)， ∴q（x）≥q（1）=a+1＞0． ①當(dāng)1≤x≤e時，|p（x）|-|q（x）|=p（x）﹣q（x）=﹣ex﹣1﹣a， 設(shè)m（x）=﹣ex﹣1﹣a， 則m′（x）=﹣﹣ex﹣1＜0， ∴m（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)， ∴m（x）≤m（1）=e﹣1﹣a， ∵當(dāng)a≥2， ∴m（x）＜0， ∴|p（x）|＜|q（x）|， ∴比ex﹣1+a更接近lnx． ②當(dāng)x＞e時，|p（x）|﹣|q（

18、x）|=﹣p（x）﹣q（x）=﹣+2lnx﹣ex﹣1﹣a＜2lnx﹣ex﹣1﹣a， 設(shè)n（x）=2lnx﹣ex﹣1﹣a，則n′（x）=﹣ex﹣1，n″（x）=﹣﹣ex﹣1＜0， ∴n′（x）在x＞e時為減函數(shù)， ∴n′（x）＜n′（e）=﹣ee﹣1＜0， ∴n（x）在x＞e時為減函數(shù)， ∴n（x）＜n（e）=2﹣a﹣ee﹣1＜0， ∴|p（x）|＜|q（x）|， ∴比ex﹣1+a更接近lnx． 綜上：在a≥2且x≥1時時，比ex﹣1+a更接近lnx．--------------------13分 22解：（I）連結(jié)AB,AC.由題設(shè)知PA=PD,故∠PAD=∠PDA. 因?yàn)椤螾D

19、A=∠DAC+∠DCA ∠PAD=∠BAD+∠PAB ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD，從而。 因此BE=EC.-------4分 （Ⅱ）由切割線定理得。 因?yàn)镻A=PD=DC，所以DC=2PB,BD=PB。 由相交弦定理得，所以.-------8分 23解：（1）將圓心，化成直角坐標(biāo)為（ 1，1），半徑r=，（2分） 故圓C的方程為（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．即x2+y2=2x+2y 再將C化成極坐標(biāo)方程，得ρ2=2ρsin（θ+）．此即為所求的圓C的極坐標(biāo)方程．-------------4分 （2）∵直線l的極坐標(biāo)方程為，可化為x+y=2+， ∴圓C的圓心C（1，1）到直線l的距離為d==1， 又∵圓C的半徑為r=， ∴直線l被曲線C截得的弦長l=2 =2 --------8分 24解：（1）等式f（x）＞0即|2x+1|﹣|x﹣2|＞0， 故不等式的解集為（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）．--------4分 （2）由題意可得，a+1＜fmin（x），而由（1）可得fmin（x）=f（﹣）=﹣， ∴a+1＜﹣，解得a＜﹣．-------8分