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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題8 選修專題 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程 理
1.曲線的極坐標(biāo)方程.
(1)極坐標(biāo)系:一般地,在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O,自點(diǎn)O引一條射線Ox,同時(shí)確定一個(gè)長(zhǎng)度單位和計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.其中,點(diǎn)O稱為極點(diǎn),射線Ox稱為極軸.
(2)極坐標(biāo)(ρ,θ)的含義:設(shè)M是平面上任一點(diǎn),ρ表示OM的長(zhǎng)度,θ表示以射線Ox為始邊,射線OM為終邊所成的角.那么,有序數(shù)對(duì)(ρ,θ)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).顯然,每一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ),決定一個(gè)點(diǎn)的位置.其中ρ稱為點(diǎn)M的極徑,θ稱為點(diǎn)M的極角.
極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的最大
2、區(qū)別在于:在直角坐標(biāo)系中,平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是一一對(duì)應(yīng)的,而在極坐標(biāo)系中,對(duì)于給定的有序數(shù)對(duì)(ρ,θ),可以確定平面上的一點(diǎn),但是平面內(nèi)的一點(diǎn)的極坐標(biāo)卻不是唯一的.
(3)曲線的極坐標(biāo)方程:一般地,在極坐標(biāo)系中,如果平面曲線C上的任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程f(ρ,θ)=0,并且坐標(biāo)適合方程f(ρ,θ)=0的點(diǎn)都在曲線C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程.
2.直線的極坐標(biāo)方程.
(1)過(guò)極點(diǎn)且與極軸成φ0角的直線方程是θ=φ0和θ=π-φ0,如下圖所示.
(2)與極軸垂直且與極軸交于點(diǎn)(a,0)的直線的極坐標(biāo)方程是ρcos θ=a,如下圖所
3、示.
(3)與極軸平行且在x軸的上方,與x軸的距離為a的直線的極坐標(biāo)方程為ρsin θ=a,如下圖所示.
3.圓的極坐標(biāo)方程.
(1)以極點(diǎn)為圓心,半徑為r的圓的方程為ρ=r,如圖1所示.
(2)圓心在極軸上且過(guò)極點(diǎn),半徑為r的圓的方程為ρ=2rcos_θ,如圖2所示.
(3)圓心在過(guò)極點(diǎn)且與極軸成的射線上,過(guò)極點(diǎn)且半徑為r的圓的方程為ρ2rsin_θ,如圖3所示.
4.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.
若極點(diǎn)在原點(diǎn)且極軸為x軸的正半軸,則平面內(nèi)任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)M(ρ,θ)化為平面直角坐標(biāo)M(x,y)的公式如下:
或者ρ=,tan θ=,
其中要結(jié)合點(diǎn)所在的象限確定角θ
4、的值.
1.曲線的參數(shù)方程的定義.
在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù),即并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系x,y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).
2.常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程.
(1)過(guò)定點(diǎn)P(x0,y0),傾斜角為α的直線:
(t為參數(shù)),
其中參數(shù)t是以定點(diǎn)P(x0,y0)為起點(diǎn),點(diǎn)M(x,y)為終點(diǎn)的有向線段PM的數(shù)量,又稱為點(diǎn)P與點(diǎn)M間的有向距離.
根據(jù)t的幾何意義,有以下結(jié)論:
①設(shè)A,B是直線上任意兩點(diǎn),它們對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB,
5、則|AB|=|tB-tA|=;
②線段AB的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于.
(2)中心在P(x0,y0),半徑等于r的圓:
(θ為參數(shù))
(3)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的橢圓:
(θ為參數(shù)).
中心在點(diǎn)P(x0,y0),焦點(diǎn)在平行于x軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程為(α為參數(shù)).
(4)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸(或y軸)上的雙曲線:
(θ為參數(shù)).
(5)頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸的正半軸上的拋物線:
(t為參數(shù),p>0).
注:sec θ=.
3.參數(shù)方程化為普通方程.
由參數(shù)方程化為普通方程就是要消去參數(shù),消參數(shù)時(shí)常常采用代入消元法、加減消元法、乘除消元法、三角代換法,
6、消參數(shù)時(shí)要注意參數(shù)的取值范圍對(duì)x,y的限制.
1.已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為,則點(diǎn)A的直角坐標(biāo)是(2,-2).
2.把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(,-)化為極坐標(biāo),結(jié)果為.
3.曲線的極坐標(biāo)方程ρ=4sin θ化為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2)2=4.
4.以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是ρ=2cos.
5.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線l:(t為參數(shù))過(guò)橢圓C:(θ為參數(shù))的右頂點(diǎn),則常數(shù)a的值為3.
解析:由直線l:得y=x-a.由橢圓C:得==1.所以橢圓C的右頂點(diǎn)為(3,0).因?yàn)橹本€l過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),所以0=3-a,即a=3.
7、
一、選擇題
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,-).若以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則點(diǎn)P的極坐標(biāo)可以是(C)
A. B.
C. D.
2.若圓的方程為(θ為參數(shù)),直線的方程為(t為參數(shù)),則直線與圓的位置關(guān)系是(B)
A.相離 B.相交
C.相切 D.不能確定
3.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cos θ,則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為(D)
A. B.2
C. D
8、.2
解析:由題意可得直線和圓的方程分別為x-y-4=0,x2+y2=4x,所以圓心C(2,0),半徑r=2,圓心(2,0)到直線l的距離d=,由半徑,圓心距,半弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形,解得弦長(zhǎng)為2.
4.已知?jiǎng)又本€l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,則直線l與圓O:(θ為參數(shù))的位置關(guān)系是(A)
A.相交 B.相切
C.相離 D.過(guò)圓心
解析:動(dòng)直線l平分圓C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圓心(2,1)在直線l上,又圓O:的普通方程為x2+y2=9且22+12<9,故點(diǎn)(2,1)在圓O內(nèi),則直線l與圓O的位置關(guān)系是相交.
二、填空題
5.在平面
9、直角坐標(biāo)系xOy中,已知曲線C的參數(shù)方程是(θ是參數(shù)),若以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為ρ2+4ρsin_θ+3=0.
解析:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,(θ是參數(shù)),∴根據(jù)sin2θ+cos2θ=1,可得x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0.∴曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2+4ρsin θ+3=0.
6.在平面直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心的極坐標(biāo)為.
三、解答題
7.求極點(diǎn)到直線ρ=(ρ∈R)的距離.
解析:由ρ=?ρsin θ+ρcos θ=1?x+y=1,
故d==.
10、
8.極坐標(biāo)系中,A為曲線ρ2+2ρcos θ-3=0上的動(dòng)點(diǎn),B為直線ρcos θ+ρsin θ-7=0上的動(dòng)點(diǎn),求|AB|的最小值.
9.(xx·大連模擬)曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),將曲線C1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍,得到曲線C2.以平面直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(cos θ-2sin θ)=6.
(1)求曲線C2和直線l的普通方程;
(2)P為曲線C2上任意一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的最值.
解析:(1)由題意可得C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),即C2:+=1,
直線
11、l:ρ(cos θ-2sin θ)=6化為直角坐標(biāo)方程為x-2y-6=0.
(2)設(shè)點(diǎn)P(2cos θ,sin θ),由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)P到直線l的距離為
d=
=
=
=.
所以≤d≤2,故點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為2,最小值為.
10.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為.
(1)寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),求|PA|·|PB|的值.
解析:(1)由曲線C的參數(shù)方程(θ為參數(shù)),得普通方程為(x-1)2+(y-2)2=16,即x2+y2-2x-4y=11=0.
直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(3,5),傾斜角為,直線的參數(shù)方程為(t是參數(shù)).
(2)將直線的參數(shù)方程代入x2+y2-2x-4y-11=0,整理,得t2+(2+3)t-3=0,設(shè)方程的兩根分別為t1,t2,則t1t2=-3,
因?yàn)橹本€l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),所以|PA|·|PB|=|t1t2|=3.