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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題五 5.2 空間中的平行與垂直能力訓(xùn)練 新人教A版
一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分)
1.(xx浙江五校第二次聯(lián)考,文2)給定下列四個(gè)命題:
①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,那么這兩個(gè)平面相互平行;
②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直;
③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;
④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.
其中,為真命題的是( )
A.①和② B.②和③
C.③和④ D.②和④
2.已知矩形ABCD,
2、AB=1,BC=.將△ABD沿矩形的對(duì)角線BD所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中,( )
A.存在某個(gè)位置,使得直線AC與直線BD垂直
B.存在某個(gè)位置,使得直線AB與直線CD垂直
C.存在某個(gè)位置,使得直線AD與直線BC垂直
D.對(duì)任意位置,三對(duì)直線“AC與BD”,“AB與CD”,“AD與BC”均不垂直
3.(xx浙江東陽(yáng)模擬考試,文2)已知l,m為兩條不同的直線,α為一個(gè)平面.若l∥m,則l∥α是m∥α的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.用a,b,c表示空間中三條不同的直線,γ表示平面,給出下列命題:
①若a⊥b
3、,b⊥c,則a∥c;
②若a∥b,a∥c,則b∥c;
③若a∥γ,b∥γ,則a∥b;
④若a⊥γ,b⊥γ,則a∥b.
其中真命題的序號(hào)是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.②④
5.(xx浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬,文3)已知α,β是兩個(gè)不同的平面,m,n是兩條不同的直線,則下列命題正確的是( )
A.若m∥α,α∩β=n,則m∥n
B.若m⊥α,n?β,m⊥n,則α⊥β
C.若α∥β,m⊥α,n∥β,則m⊥n
D.若α⊥β,α∩β=m,m∥n,則n∥β
6.已知α,β是兩個(gè)不同的平面,下列四個(gè)條件中能推出α∥β的是( )
①存在一條直線a,a⊥α,a⊥β;
②存在
4、一個(gè)平面γ,γ⊥α,γ⊥β;
③存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;
④存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.
A.①③ B.②④
C.①④ D.②③
7.
如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),沿AE,AF,EF把正方形折成一個(gè)四面體,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為P,點(diǎn)P在△AEF內(nèi)的射影為O,則下列說法正確的是( )
A.O是△AEF的垂心
B.O是△AEF的內(nèi)心
C.O是△AEF的外心
D.O是△AEF的重心
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
8.
如圖,P是正方形ABCD
5、外一點(diǎn),且PA⊥平面ABCD,給出以下平面PAB與平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系,其中正確的是 .(填上你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào))?
①平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直
②它們兩兩垂直
③平面PAB與平面PBC垂直,與平面PAD不垂直
④平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直
9.如圖,矩形ABCD的邊AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,現(xiàn)有數(shù)據(jù):①a=;②a=1;③a=;④a=4.當(dāng)BC邊上存在點(diǎn)Q,使PQ⊥QD時(shí),可以取 (填正確的序號(hào)).?
10.如圖,AB為圓O的直徑,點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A,B),直線PA垂直于圓O所在的平
6、面,點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn).有以下四個(gè)命題:
①PA∥平面MOB;
②MO∥平面PAC;
③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正確的命題是 (填上所有正確命題的序號(hào)).?
11.如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC上一點(diǎn).現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABCF.在平面ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB,K為垂足.設(shè)AK=t,則t的取值范圍是 .?
三、解答題(本大題共3小題,共45分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
12.(本小題滿分14分)
如圖,在正三棱柱ABC-A1
7、B1C1中,底面ABC為正三角形,M,N,G分別是棱CC1,AB,BC的中點(diǎn),且CC1=AC.
(1)求證:CN∥平面AMB1;
(2)求證:B1M⊥平面AMG.
13.(本小題滿分15分)
如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,頂點(diǎn)D1在底面ABCD內(nèi)的射影恰為點(diǎn)C.
(1)求證:AD1⊥BC.
(2)在AB上是否存在點(diǎn)M,使得C1M∥平面ADD1A1?若存在,確定點(diǎn)M的位置;若不存在,請(qǐng)說明理由.
8、
14.(本小題滿分16分)
如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2BC=4,∠ABC=120°,E,M分別為AB,DE的中點(diǎn),將△ADE沿直線DE翻折成△A'DE,F為A'C的中點(diǎn),A'C=4.
(1)求證:平面A'DE⊥平面BCD;
(2)求證:FB∥平面A'DE.
參考答案
專題能力訓(xùn)練12 空間中的平行與垂直
1.D 解析:對(duì)于①,沒有說明是兩條相交直線,不對(duì);對(duì)于②,根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可知其正確;對(duì)于③,垂直于同一直線的兩條直線可能平行、相交、異面,
9、不對(duì);對(duì)于④,根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)定理可知其正確.故選D.
2.B 解析:當(dāng)AC=1時(shí),由DC=1,AD=,得∠ACD為直角,DC⊥AC,又因?yàn)镈C⊥BC,所以DC⊥面ABC.所以DC⊥AB.
3.D 解析:若l∥m,且l∥α,則m∥α或m?α;反之,若l∥m,且m∥α,則l∥α或l?α.故選D.
4.D 解析:若a⊥b,b⊥c,則a∥c或a與c相交或a與c異面,所以①是假命題;平行于同一直線的兩條直線平行,所以②是真命題;若a∥γ,b∥γ,則a∥b或a與b相交或a與b異面,所以③是假命題;若兩條直線垂直于同一個(gè)平面,則這兩條直線平行,所以④是真命題.故選D.
5.C 解析:對(duì)于選
10、項(xiàng)A,因?yàn)橹本€與平面平行,所以直線與平面沒有公共點(diǎn),所以直線m與直線n可能異面,可能相等,此選項(xiàng)不正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)楫?dāng)α∩β=n時(shí),滿足m⊥α,n?β,m⊥n,但α不一定垂直β,所以此選項(xiàng)不正確;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)棣痢桅?m⊥α,所以m⊥β,又因?yàn)閚∥β,所以m⊥n;對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)n?β時(shí),滿足α⊥β,α∩β=m,m∥n,所以此選項(xiàng)不正確;故選C.
6.C 解析:對(duì)于①,垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行,故當(dāng)a⊥α,a⊥β時(shí),α∥β,故①正確;
對(duì)于②,若γ⊥α,γ⊥β,α與β可能平行,也可能相交(此時(shí)α,β的交線與γ垂直),故②不正確;
對(duì)于③,若a?α,b?β,a∥β,b∥α,則α與β
11、可能平行,也可能相交(此時(shí)a,b均與交線平行),故③不正確;
對(duì)于④,存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α.可將α內(nèi)的直線平移到β內(nèi)的直線c,則有相交直線b,c都與平面α平行,根據(jù)面面平行的判定定理,可得④正確.故選C.
7.A 解析:
易知PA,PE,PF兩兩垂直,所以PA⊥平面PEF.
因?yàn)镋F?平面PEF,
所以PA⊥EF.
因?yàn)镻O⊥平面AEF,EF?平面AEF,所以PO⊥EF.
所以EF⊥平面PAO.
因?yàn)锳O?平面PAO,
所以EF⊥AO.
同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,
所以O(shè)為△AEF的垂心.故選A.
8.① 解析:∵DA⊥AB,
12、DA⊥PA,AB∩PA=A,
∴DA⊥平面PAB.
又DA?平面PAD,∴平面PAD⊥平面PAB.
同理可證平面PAB⊥平面PBC.
把四棱錐P-ABCD放在長(zhǎng)方體中,并把平面PBC補(bǔ)全為平面PBCD1,把平面PAD補(bǔ)全為平面PADD1,易知∠CD1D即為兩個(gè)平面所成二面角的平面角,∠CD1D=∠APB,∴∠CD1D<90°.
故平面PAD與平面PBC不垂直.
9.①② 解析:
如圖,連接AQ,
因?yàn)镻A⊥平面ABCD,
所以PA⊥DQ.
又PQ⊥QD,
所以AQ⊥QD.
故Rt△ABQ∽R(shí)t△QCD.
令BQ=x,則有,整理得x2-2x+a2=0.
由題意可知
13、方程x2-2x+a2=0有正實(shí)根,
所以0
14、,則,又AB=2,AK=t,∴t=.∴t的取值范圍是.
12.
證明:(1)取AB1的中點(diǎn)P,連接NP,MP.∵CMAA1,NPAA1,∴CMNP.
∴四邊形CNPM是平行四邊形.∴CN∥MP.
∵CN?平面AMB1,MP?平面AMB1,
∴CN∥平面AMB1.
(2)∵CC1⊥平面ABC,
∴平面CC1B1B⊥平面ABC.
∵AG⊥BC,∴AG⊥平面CC1B1B,
∴B1M⊥AG.
∵CC1⊥平面ABC,∴CC1⊥AC,CC1⊥BC.
設(shè)AC=2a,則CC1=2a.
在Rt△MCA中,AM=a.
同理,
15、B1M=a.
∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AB,
∴AB1==2a,
∴AM2+B1M2=A,∴B1M⊥AM.
又∵AG∩AM=A,∴B1M⊥平面AMG.
13.
(1)證明:連接D1C,
則D1C⊥平面ABCD,
∴D1C⊥BC.
在等腰梯形ABCD中,連接AC.
∵AB=2,BC=CD=1,AB∥CD,∴BC⊥AC.
∵D1C∩AC=C,∴BC⊥平面AD1C.
∵AD1?平面AD1C,
∴AD1⊥BC.
(2)解:設(shè)M是AB上的點(diǎn),連接C1M,
∵AB∥CD,∴AM∥D1C1.
經(jīng)過AM,D1C1的平面與平面ADD1A1相交于AD1,要使C1M∥平面
16、ADD1A1,
則C1M∥AD1,即四邊形AD1C1M為平行四邊形,
此時(shí)D1C1=DC=AM=AB,即點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).
∴在AB上存在點(diǎn)M,使得C1M∥平面ADD1A1,此時(shí)點(diǎn)M為AB的中點(diǎn).
14.證明:
(1)由題意,得△A'DE是△ADE沿DE翻折而成的,因此△A'DE≌△ADE.∵∠ABC=120°,四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠A=60°.
又∵AD=AE=2,
∴△A'DE和△ADE都是等邊三角形.
如圖,連接A'M,MC,∵M(jìn)是DE的中點(diǎn),
∴A'M⊥DE,A'M=.
在△DMC中,MC2=DC2+DM2-2DC·DMcos 60°=42+12-2×4×1×cos 60°,∴MC=.
在△A'MC中,A'M2+MC2=()2+()2=42=A'C2.
∴△A'MC是直角三角形.
∴A'M⊥MC.
∵A'M⊥DE,MC∩DE=M,∴A'M⊥平面BCD.
∵A'M?平面A'DE,∴平面A'DE⊥平面BCD.
(2)取DC的中點(diǎn)N,連接FN,NB.
∵A'C=DC=4,F,N分別是A'C,DC的中點(diǎn),
∴FN∥A'D.∵N,E分別是平行四邊形ABCD的邊DC,AB的中點(diǎn),∴BN∥DE.
∵A'D∩DE=D,FN∩NB=N,
∴平面A'DE∥平面FNB.
∵FB?平面FNB,∴FB∥平面A'DE.