2022年高中數(shù)學(xué) 第四講《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》教案（1） 新人教版選修4-5

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第四講《數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》教案（1） 新人教版選修4-5 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是高中選修的重點(diǎn)內(nèi)容之一，包含數(shù)學(xué)歸納法的定義和數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式。數(shù)學(xué)歸納法是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，在數(shù)列推理能力的考查中占有重要的地位。 本講主要復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法：作差比較法、作商比較法、綜合法、分析法和放縮法，以及類比與猜想、抽象與概括、從特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法。 在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的具體過(guò)程中，要注意以下幾點(diǎn)： （1）在從n=k到n=k+1的過(guò)程中，應(yīng)分析清楚不等式兩端（一般是左端）

2、項(xiàng)數(shù)的變化，也就是要認(rèn)清不等式的結(jié)構(gòu)特征； （2）瞄準(zhǔn)當(dāng)n=k+1時(shí)的遞推目標(biāo)，有目的地進(jìn)行放縮、分析； （3）活用起點(diǎn)的位置； （4）有的試題需要先作等價(jià)變換。 例題精講 例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明 分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法定義，證明基本步驟 證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1-=，右邊==，所以等式成立。 2°假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式成立， 即。 那么，當(dāng)n=k+1時(shí)， 這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。 綜上所述，等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立。 點(diǎn)評(píng)： 數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明

3、當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開(kāi)始的所有自然數(shù)n都正確． 要證明的等式左邊共2n項(xiàng)，而右邊共n項(xiàng)。f(k)與f(k+1)相比較，左邊增加兩項(xiàng)，右邊增加一項(xiàng)，并且二者右邊的首項(xiàng)也不一樣，因此在證明中采取了將與合并的變形方式，這是在分析了f(k)與f(k+1)的差異和聯(lián)系之后找到的方法。 練習(xí)： 1.用數(shù)學(xué)歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應(yīng)驗(yàn)證( ) A.n=1 B.n=2

4、 C.n=3 D.n=4 解析：由題意知n≥3，∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.答案：C 2.用數(shù)學(xué)歸納法證明4+3n+2能被13整除，其中n∈N 證明： (1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除 (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，42k+1+3k+2能被13整除，則當(dāng)n=k+1時(shí)， 42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3 =42k+1·13+3·(42k+1+3k+2) ∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除 ∴當(dāng)n=k+1時(shí)也成立. 由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.

5、 例2、求證：． 分析：該命題意圖：本題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的方法和一般步驟。 用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來(lái)分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過(guò)程中結(jié)構(gòu)不變． 證明： （1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊=，不等式成立． （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即 ． 則當(dāng)時(shí)，　 　 所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立． 　　　由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立． 點(diǎn)評(píng)：本題在由到時(shí)的推證過(guò)程中， （1）一定要注意分析清楚命題的結(jié)構(gòu)特征，即由到時(shí)不等式左端

6、項(xiàng)數(shù)的增減情況； （2）應(yīng)用了放縮技巧： 例3、已知，， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：． 證明： （1）當(dāng)n=2時(shí)，，∴命題成立． （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，即 ． 則當(dāng)時(shí)，　 　 所以則當(dāng)時(shí)，不等式也成立． 　　　由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切均成立． 點(diǎn)評(píng)：本題在由到時(shí)的推證過(guò)程中， （1）不等式左端增加了項(xiàng)，而不是只增加了“”這一項(xiàng)，否則證題思路必然受阻； （2）應(yīng)用了放縮技巧： 練習(xí)： 1、證明不等式： 分析 1、數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟： 設(shè)P(n)是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若 1°P(n

7、0)成立(奠基) 2°假設(shè)P(k)成立(k≥n0)，可以推出P(k+1)成立(歸納)，則P(n)對(duì)一切大于等于n0的自然數(shù)n都成立. 2、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)． 證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立． （2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即 那么， 這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對(duì)n∈N+都成立． 2.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ． 證明： （1） 當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立； 當(dāng)n=2時(shí)， ，不等式成立； 當(dāng)n=3時(shí)

8、， ，不等式成立． （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即 ． 則當(dāng)時(shí)，　 ， ∵，∴，（*） 從而， ∴． 即當(dāng)時(shí)，不等式也成立． 　由（1），（2）可知，對(duì)一切都成立． 點(diǎn)評(píng)： 因?yàn)樵冢?）處，當(dāng)時(shí)才成立，故起點(diǎn)只證n=1還不夠，因此我們需注意命題的遞推關(guān)系式中起點(diǎn)位置的推移． 3．求證：，其中，且． 分析：此題是xx年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21題的適當(dāng)變形，有兩種證法 證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明． （1）當(dāng)m=2時(shí)，，不等式成立． （2）假設(shè)時(shí)，有， 則 ， ∵，∴，即． 從而， 即時(shí)，亦有． 由（1）和（2）知，對(duì)都成立． 證法二：作差

9、、放縮，然后利用二項(xiàng)展開(kāi)式和放縮法證明． ∴當(dāng)，且時(shí)，． 例4、（xx年江西省高考理科數(shù)學(xué)第21題第（1）小題，本小題滿分12分） 已知數(shù)列 證明 求數(shù)列的通項(xiàng)公式an. 分析：近年來(lái)高考對(duì)于數(shù)學(xué)歸納法的考查，加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查。對(duì)數(shù)列進(jìn)行了考查，和數(shù)學(xué)歸納法一起，成為壓軸題。 解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)， ∴，命題正確. 2°假設(shè)n=k時(shí)有 則 而 又 ∴時(shí)命題正確. 由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有 方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時(shí)，∴； 2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，

10、 令，在[0，2]上單調(diào)遞增， 所以由假設(shè)有： 即 也即當(dāng)n=k+1時(shí) 成立， 所以對(duì)一切． （2）下面來(lái)求數(shù)列的通項(xiàng)： 所以 則 又bn=－1，所以 ． 點(diǎn)評(píng)： 本題問(wèn)給出的兩種方法均是用數(shù)學(xué)歸納法證明，所不同的是：方法一采用了作差比較法；方法二利用了函數(shù)的單調(diào)性． 本題也可先求出第（2）問(wèn)，即數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性，來(lái)證明第（1）問(wèn)的不等式．但若這樣做，則無(wú)形當(dāng)中加大了第（1）問(wèn)的難度，顯然不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來(lái)得簡(jiǎn)捷． 練習(xí)： 1.試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等時(shí)

11、，均有：an+cn＞2bn. 分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查的知識(shí)包括等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟. 技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a. 證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq(q＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn (2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n=2時(shí)，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②設(shè)n=k時(shí)成立

12、，即 則當(dāng)n=k+1時(shí)， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c) ＞()k·()=()k+1 根據(jù)①、②可知不等式對(duì)n＞1,n∈N*都成立． 二.基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題 1.已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然數(shù)m,使得對(duì)任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A.30 B.26 C.36 D.6 解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被3

13、6整除. 證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=k(k≥2)時(shí)， f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除，則n=k+1時(shí)， f(k+1)－f(k)=(2k+9)·3k+1－(2k+7)·3k =(6k+27)·3k－(2k+7)·3k =(4k+20)·3k=36(k+5)·3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36. 答案：C 二、填空題 2.觀察下列式子：…則可歸納出_________. 解析： (n∈N*) (n∈N*) 3.已知a1=,an+1=,則a2,a3,a4,a5的值分別為

14、_________，由此猜想an=_________. 、、、 三、解答題 4.若n為大于1的自然數(shù)，求證：. 證明：(1)當(dāng)n=2時(shí)， (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)成立，即 所以：對(duì)于n∈N*，且n>1時(shí)，有 5.已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145. (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn; (2)設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論. (1)解：設(shè)數(shù)列{bn}的公差為d,由題意得,∴bn=3n－2 (2)證明：由bn=3n

15、－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小. 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測(cè)：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(*)式成立. ②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當(dāng)n=k+1時(shí)， ,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(*)式成立 由①②知，(*)式對(duì)任意正整數(shù)n都成立. 于是，當(dāng)a＞1時(shí)，Sn＞lo

16、gabn+1,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，Sn＜logabn+1 6.設(shè)實(shí)數(shù)q滿足|q|＜1,數(shù)列{an}滿足：a1=2,a2≠0,an·an+1=－qn,求an表達(dá)式，又如果S2n＜3,求q的取值范圍. 解：∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=－, ∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1 兩式相除，得,即an+2=q·an 于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…) 綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為an= 下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立 (2)設(shè)n=2k－1時(shí)，a2k－1=2·qk－1則n=2

17、k+1時(shí)，由于a2k+1=q·a2k－1 ∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立. 可推知n=2k+1也成立. 設(shè)n=2k時(shí)，a2k=－qk,則n=2k+2時(shí)，由于a2k+2=q·a2k, 所以a2k+2=－qk+1,這說(shuō)明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立. 綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜想都成立. 這樣所求通項(xiàng)公式為an= S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n) =2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn) 由于|q|＜1,∴= 依題意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜ 三.鞏

18、固練習(xí) 1. （06 年湖南卷. 理 .19本小題滿分14分） 已知函數(shù),數(shù)列{}滿足: 證明:(ⅰ);(ⅱ). 證明: （I）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明，ｎ＝1,2,3,… (i).當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立. (ii).假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即.因?yàn)?

19、上是增函數(shù). 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0, 所以當(dāng)時(shí)，g (x)>0成立.于是． 　　　　　　　故． 點(diǎn)評(píng)：不等式的問(wèn)題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯，綜合考查運(yùn)用不等式知識(shí)解決 問(wèn)題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊(yùn)藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn). 需要靈活運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)知識(shí). 2. （ 05 年遼寧卷.19本小題滿分12分） 已知函數(shù)設(shè)數(shù)列}滿足，數(shù)列}滿足 （Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （Ⅱ）證明 分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問(wèn)題的能力 （Ⅰ）證明：當(dāng) 因?yàn)閍1=

20、1， 所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 （1）當(dāng)n=1時(shí)，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即 那么 所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，不等也成立。 根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任意n∈N*都成立。 （Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知， 所以 故對(duì)任意） 3.（05 年湖北卷.理22.本小題滿分14分） 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿足 （Ⅰ）證明 （Ⅱ）猜測(cè)數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）； 分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想. （Ⅰ）證法1：∵當(dāng) 即 于是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有， ∵ 證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時(shí)， 由 知不等式成立. （ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時(shí)，不等式成立，即 則 即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立. 由（i）、（ii）知， 又由已知不等式得 （Ⅱ）有極限，且 （Ⅲ）∵ 則有 故取N=1024，可使當(dāng)n>N時(shí)，都有