2022年高考數學大二輪總復習 增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線試題

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1、2022年高考數學大二輪總復習 增分策略 專題六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線試題 1．(xx·福建)若雙曲線E：－＝1的左，右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 2．(xx·課標全國Ⅰ)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若＝4，則|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 3．(xx·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點．若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數c的

2、最大值為________． 4．(xx·安徽)設F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0|F1F2|)； (2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)拋物線：|PF|＝|PM|

3、，點F不在直線l上，PM⊥l于M. 2．求解圓錐曲線標準方程“先定型，后計算” 所謂“定型”，就是曲線焦點所在的坐標軸的位置；所謂“計算”，就是指利用待定系數法求出方程中的a2，b2，p的值． 例1　(1)若橢圓C：＋＝1的焦點為F1，F2，點P在橢圓C上，且|PF2|＝4，則∠F1PF2等于(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° (2)(xx·豐臺模擬)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程是y＝x，它的一個焦點坐標為(2,0)，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 思維升華　(1)準

4、確把握圓錐曲線的定義和標準方程及其簡單幾何性質，注意焦點在不同坐標軸上時，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．(2)求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數法，可結合草圖確定． 跟蹤演練1　(1)(xx·大綱全國)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點．若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)(xx·天津)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線過點(2，)，且雙曲線的一個焦點在拋物線y2＝4x的準線上，則雙曲線的方程為(　　) A.－＝1 B

5、.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 熱點二　圓錐曲線的幾何性質 1．橢圓、雙曲線中，a，b，c之間的關系 (1)在橢圓中：a2＝b2＋c2，離心率為e＝＝ ； (2)在雙曲線中：c2＝a2＋b2，離心率為e＝＝. 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為 y＝±x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系． 例2　(1)橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線y＝(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于________． (2)(xx·西北工業(yè)大學附中四模)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別為F1、

6、F2，過F1作圓x2＋y2＝a2的切線分別交雙曲線的左、右兩支于點B、C，且|BC|＝|CF2|，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x 思維升華　(1)明確圓錐曲線中a，b，c，e各量之間的關系是求解問題的關鍵． (2)在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點，建立關于參數c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍． 跟蹤演練2　(1)設F1，F2分別是橢圓＋＝1 (a>b>0)的左，右焦點，若在直線x＝上存在點P，使線段PF1的

7、中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. (2)(xx·重慶)設雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，右頂點為A，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點D，若D到直線BC的距離小于a＋，則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(－，0)∪(0，) D．(－∞，－)∪(，＋∞) 熱點三　直線與圓錐曲線 判斷直線與圓錐曲線公共點的個數或求交點問題有兩種常用方法 (1)代數法：即聯(lián)立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x

8、，y的方程組，消去y(或x)得一元方程，此方程根的個數即為交點個數，方程組的解即為交點坐標； (2)幾何法：即畫出直線與圓錐曲線的圖象，根據圖象判斷公共點個數． 例3　(xx·江蘇改編)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，且右焦點F到直線l：x＝－的距離為3. (1)求橢圓的標準方程； (2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，若|PC|＝2|AB|，求直線AB的方程． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　解決直線與圓錐

9、曲線問題的通法是聯(lián)立方程，利用根與系數的關系，設而不求思想，弦長公式等簡化計算；涉及中點弦問題時，也可用“點差法”求解． 跟蹤演練3　(1)(xx·四川)過雙曲線x2－＝1的右焦點且與x軸垂直的直線，交該雙曲線的兩條漸近線于A，B兩點，則|AB|等于(　　) A. B．2 C．6 D．4 (2)(xx·南開中學月考)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A，B兩點．若AB的中點坐標為(1，－1)，則E的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 1．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線上有兩點

10、A，B，若直線l的方程為x＋y－2＝0，且AB⊥l，則橢圓＋＝1的離心率為(　　) A. B. C. D. 2．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，且點(1，)在該橢圓上． (1)求橢圓C的方程； (2)過橢圓C的左焦點F1的直線l與橢圓C相交于A，B 兩點，若△AOB的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程． 　 提醒：完成作業(yè)　專題六　第2講 二輪專題強化練 專題六 第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 A組　專題通關 1．已知橢圓＋＝1(0

11、BF2|的最大值為10，則m的值為(　　) A．3 B．2 C．1 D. 2．(xx·廣東)已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 3．(xx·課標全國Ⅱ)已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為(　　) A. B．2 C. D. 4．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2

12、＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y 5．(xx·課標全國Ⅱ)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為(　　) A. B. C. D. 6．已知P為橢圓＋＝1上的一點，M，N分別為圓(x＋3)2＋y2＝1和圓(x－3)2＋y2＝4上的點，則|PM|＋|PN|的最小值為________． 7．已知點P(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，線段PF與拋物線C的交點為M，過M作拋物線準線的垂線，垂足為Q，若∠PQF＝90°，則p＝________. 8．(xx·山東)平面

13、直角坐標系xOy中，雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線C2：x2＝2py(p＞0)交于點O，A，B.若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為________． 9．(xx·威海模擬)已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，焦距為2，離心率為. (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l經過點M(0,1)，且與橢圓C交于A，B兩點，若＝2，求直線l的方程． 10．(xx·浙江)如圖，已知拋物線C1：y＝x2，圓C2：x2＋(y－1)2＝1，過點P(t,0)(t＞0)作不過原點O的直線PA，PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A，B為切點． (1)

14、求點A，B的坐標； (2)求△PAB的面積． 注：直線與拋物線有且只有一個公共點，且與拋物線的對稱軸不平行，則稱該直線與拋物線相切，稱該公共點為切點． B組　能力提高 11．(xx·遼寧)已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為(　　) A. B. C. D. 12．已知圓x2＋y2＝上點E處的一條切線l過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F，且與雙曲線的右支交于點P，若＝(＋)，則雙曲線的離心率是________． 13．已知拋物線y2＝4x的準線過雙

15、曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點且與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標原點，且△AOB的面積為，則雙曲線的離心率為________． 14．已知橢圓C的長軸左、右頂點分別為A，B，離心率e＝，右焦點為F，且·＝－1. (1)求橢圓C的標準方程； (2)若P是橢圓C上的一動點，點P關于坐標原點的對稱點為Q，點P在x軸上的射影點為M，連接QM并延長交橢圓于點N，求證：∠QPN＝90°. 學生用書答案精析 第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 高考真題體驗 1．B　[由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3， ∴|PF2|

16、－|PF1|＝6， ∴|PF2|＝9，故選B.] 2．C　[∵＝4，∴||＝4||， ∴＝. 如圖，過Q作QQ′⊥l，垂足為Q′， 設l與x軸的交點為A， 則|AF|＝4， ∴＝ ＝， ∴|QQ′|＝3，根據拋物線定義可知|QQ′|＝|QF|＝3，故選C.] 3. 解析　雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，故兩平行線的距離d＝＝.由點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，得c≤，故c的最大值為. 4．x2＋y2＝1 解析　設點B的坐標為(x0，y0)． ∵x2＋＝1， ∴F1(－，0)，F2(，0)． ∵AF2

17、⊥x軸，∴A(，b2)． ∵|AF1|＝3|F1B|，∴＝3， ∴(－2，－b2)＝3(x0＋，y0)． ∴x0＝－，y0＝－. ∴點B的坐標為. 將B代入x2＋＝1， 得b2＝.∴橢圓E的方程為x2＋y2＝1. 熱點分類突破 例1　(1)C　(2)C 解析　(1)由題意得a＝3，c＝， 所以|PF1|＝2. 在△F2PF1中， 由余弦定理可得cos∠F2PF1＝＝－. 又因為cos∠F2PF1∈(0°，180°)，所以∠F2PF1＝120°. (2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是 y＝±x，故可知＝， 又∵焦點坐標為(2,0)， ∴c＝＝2，

18、 解得a＝1，b＝. ∴雙曲線方程為x2－＝1. 跟蹤演練1　(1)A　(2)D 解析　(1)由e＝得＝.① 又△AF1B的周長為4， 由橢圓定義，得4a＝4，得a＝， 代入①得c＝1，∴b2＝a2－c2＝2， 故C的方程為＋＝1. (2)雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，又漸近線過點(2，)，所以＝，即2b＝a，① 拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－， 由已知，得＝，即a2＋b2＝7，② 聯(lián)立①②解得a2＝4，b2＝3， 所求雙曲線的方程為－＝1，選D. 例2　(1)－1　(2)C 解析　(1)直線y＝(x＋c)過點F1(－c,0)，且傾斜角為60°，所以∠MF

19、1F2＝60°，從而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以該橢圓的離心率e＝＝＝－1. (2)由題意作出示意圖， 易得直線BC的斜率為， cos∠CF1F2＝， 又由雙曲線的定義及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a， |BF2|－|BF1|＝2a?|BF2|＝4a， 故cos∠CF1F2＝＝?b2－2ab－2a2＝0?()2－2()－2＝0?＝1＋，故雙曲線的漸近線方程為y＝±(＋1)x. 跟蹤演練2　(1)D　(2)A 解析　(1)設P，線段F1P的中點Q的坐標為， 當存在時，則＝，

20、k＝， 由k·k＝－1，得 y2＝，y2≥0， 但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即3c2－a2>0，即e2>，故

21、 ∴b2，∴0<<1.∴0<<1. 例3　解　(1)由題意，得＝且c＋＝3， 解得a＝，c＝1，則b＝1， 所以橢圓的標準方程為＋y2＝1. (2)當AB⊥x軸時，|AB|＝，又|CP|＝3，不合題意． 當AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 將直線AB的方程代入橢圓方程， 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0， 則x1,2＝， C的坐標為，且 |AB|＝＝＝. 若k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與直線l平行，不合題意． 從

22、而k≠0，故直線PC的方程為 y＋＝－， 則P點的坐標為， 從而|PC|＝. 因為|PC|＝2|AB|， 所以＝， 解得k＝±1. 此時直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1. 跟蹤演練3　(1)D　(2)D 解析　(1)由題意知，雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝±x，將x＝c＝2代入得y＝±2，即A，B兩點的坐標分別為(2，2)，(2，－2)，所以|AB|＝4. (2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓的方程有， ＋＝1，＋＝1， 兩式相減得，＋＝0. ∵線段AB的中點坐標為(1，－1)， ∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2代入上式得： ＝.

23、∵直線AB的斜率為＝， ∴＝?a2＝2b2， ∵右焦點為F(3,0)， ∴a2－b2＝c2＝9， 解得a2＝18，b2＝9， 又此時點(1，－1)在橢圓內， ∴橢圓方程為＋＝1. 高考押題精練 1．C　[由條件可知直線l的斜率為－，又AB⊥l，可知直線AB的斜率為，故＝，故＝2，由此可知a>b>0，則橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的焦距為2c，則＝2，解得橢圓的離心率為＝.] 2．解　(1)由題意可得e＝＝， 又a2＝b2＋c2， 所以b2＝a2. 因為橢圓C經過點(1，)， 所以＋＝1， 解得a＝2，所以b2＝3， 故橢圓C的方程為＋＝1. (2)由(1)知F1(

24、－1,0)，設直線l的方程為x＝ty－1， 由消去x， 得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 顯然Δ>0恒成立， 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以|y1－y2|＝ ＝ ＝， 所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝， 化簡得18t4－t2－17＝0， 即(18t2＋17)(t2－1)＝0， 解得t＝1，t＝－(舍去)， 又圓O的半徑r＝＝， 所以r＝，故圓O的方程為x2＋y2＝. 二輪專題強化練答案精析 第2講　橢圓、雙曲線、拋物線 1．A　[已知橢圓＋＝1(0

25、＋|BF2|＝4a－|AB|≤10， ∴|AB|≥2，|AB|min＝＝＝2，解得m＝3.] 2．C　[因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為－＝1，故選C.] 3．D　[如圖，設雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內，過M作MN⊥x軸于點 N(x1,0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°， ∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN ＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|

26、＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝，選D.] 4．D　[∵雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2， ∴＝＝2，∴b＝a， ∴雙曲線的漸近線方程為x±y＝0， ∴拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線的漸近線的距離為＝2， ∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y.] 5．D　[由已知得焦點坐標為F(，0)， 因此直線AB的方程為y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　聯(lián)立拋物線方程化簡得 4y2－12y－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝|OF||yA

27、－yB|＝××6＝. 方法二　聯(lián)立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據拋物線的定義有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12， 同時原點到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝|AB|·h＝.] 6．7 解析　由題意知橢圓的兩個焦點F1，F2分別是兩圓的圓心，且|PF1|＋|PF2|＝10，從而|PM|＋|PN|的最小值為|PF1|＋ |PF2|－1－2＝7. 7. 解析　由拋物線的定義可得|MQ|＝|MF|，F(，0)，又PQ⊥QF，故M為線段PF的中點，所以M(，1)，把M(，1)，代入拋物線y2＝2px(p>0)得，1＝2p×， 解得p＝，故答案為. 8.

28、 解析　由題意，不妨設直線OA的方程為y＝x，直線OB的方程為y＝－x. 由得x2＝2p ·x， ∴x＝，y＝，∴A. 設拋物線C2的焦點為F，則F， ∴kAF＝. ∵△OAB的垂心為F，∴AF⊥OB， ∴kAF·kOB＝－1， ∴·＝－1，∴＝. 設C1的離心率為e，則e2＝＝＝1＋＝.∴e＝. 9．解　(1)設橢圓方程為＋＝1(a>0，b>0)，因為c＝1，＝， 所以a＝2，b＝， 所以橢圓方程為＋＝1. (2)由題意得直線l的斜率存在， 設直線l的方程為y＝kx＋1， 聯(lián)立方程 得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0. 設A(x1，y1)，B(

29、x2，y2)， 由＝2，得x1＝－2x2， 又 所以 消去x2得()2＝， 解得k2＝，k＝±， 所以直線l的方程為y＝±x＋1， 即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. 10．解　(1)由題意知直線PA的斜率存在，故可設直線PA的方程為y＝k(x－t)． 由消去y，整理得： x2－4kx＋4kt＝0， 由于直線PA與拋物線相切，得k＝t， 因此，點A的坐標為(2t，t2)． 設圓C2的圓心為D(0,1)，點B的坐標為(x0，y0)，由題意知：點B，O關于直線PD對稱，且直線PD：y＝－x＋1， 故 解得 因此，點B的坐標為. (2)由(1)知，|AP|＝t·

30、和直線PA的方程tx－y－t2＝0， 點B到直線PA的距離是d＝， 設△PAB的面積為S(t)， 所以S(t)＝|AP|·d＝. 11．D　[拋物線y2＝2px的準線為直線x＝－，而點A(－2,3)在準線上，所以－＝－2，即p＝4，從而C：y2＝8x，焦點為F(2,0)．設切線方程為y－3＝k(x＋2)，代入y2＝8x得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，① 由于Δ＝1－4×(2k＋3)＝0，所以k＝－2或k＝. 因為切點在第一象限，所以k＝. 將k＝代入①中，得y＝8，再代入y2＝8x中得x＝8， 所以點B的坐標為(8,8)， 所以直線BF的斜率為.] 12. 解析　如圖

31、所示，設雙曲線的右焦點為H，連接PH， 由題意可知|OE|＝， 由＝(＋)，可知E為FP的中點． 由雙曲線的性質，可知O為FH的中點， 所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|， 故|PH|＝2|OE|＝. 由雙曲線的定義，可知|PF|－|PH|＝2a(P在雙曲線的右支上)， 所以|PF|＝2a＋|PH|＝. 因為直線l與圓相切，所以PF⊥OE. 又OE∥PH，所以PF⊥PH. 在Rt△PFH中，|FH|2＝|PH|2＋|PF|2， 即(2c)2＝()2＋()2， 整理得＝，即e＝. 13．2 解析　拋物線y2＝4x的準線方程為x＝－1， 由題意知，雙曲線的左焦點坐標

32、為(－1,0)， 即c＝1， 且A(－c，)，B(－c，－)， 因為△AOB的面積為， 所以×2××1＝， 即＝， 所以，＝， 解得a＝，∴e＝＝＝2. 14．(1)解　依題意，設橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)， 則A(－a,0)，B(a,0)，F(c,0)， 由e＝＝， 得a＝c.① 由·＝－1， 得(c＋a,0)·(c－a,0)＝c2－a2＝－1.② 聯(lián)立①②，解得a＝，c＝1， 所以b2＝1， 故橢圓C的方程為＋y2＝1. (2)證明　設P(x1，y1)，N(x2，y2)， 由題意知xi≠0，yi≠0(i＝1,2)， 且x1≠x2， 又Q(－x1，－y1)，M(x1,0)． 由Q，M，N三點共線，知kQM＝kQN， 所以＝.③ 又kPQkPN＋1＝·＋1.④ 把③代入④，得kPQkPN＋1＝·＋1＝.⑤ 因為點P，N在橢圓上， 所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，⑥ 把⑥代入⑤， 得kPQkPN＋1＝＝0， 即kPQkPN＝－1， 所以∠QPN＝90°.