2022年高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 文（含解析）湘教版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)聯(lián)考試題 文（含解析）湘教版 【試卷綜述】全卷重點(diǎn)考查中學(xué)數(shù)學(xué)主干知識(shí)和方法；側(cè)重于中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查；側(cè)重于知識(shí)交匯點(diǎn)的考查.全面考查了考試說(shuō)明中要求的內(nèi)容，如復(fù)數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡(jiǎn)易邏輯試卷都有所考查.在全面考查的前提下，高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計(jì)等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí).明確了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)方向和考生的學(xué)習(xí)方向. 本卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在

2、每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 【題文】1、設(shè)全集， 則圖中陰影部分表示的集合為 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】集合 A1 【答案】【解析】D 解析：因?yàn)閳D中陰影部分表示的集合為，由題意可知 ，所以 ，故選 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以先確定集合A與B中的元素，再由韋恩圖求出結(jié)果. 【題文】2、已知，命題，則 A．是真命題， B．是真命題，： C．是假命題， D．是假命題，： 【知識(shí)點(diǎn)】命題 A2 【答案】【解析】B 解析：依題意得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是減函數(shù)，此時(shí)，即有恒成立，因此命題是真命題，應(yīng)是“”.綜上所述，應(yīng)選

3、 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，再找出正確的結(jié)論. 【題文】3、定義在R上的函數(shù)滿足，且時(shí)， ，則 A．1 B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 B3,B4 【答案】【解析】C 解析：由，因?yàn)椋?，，所? .故選 【思路點(diǎn)撥】把所求的值利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性導(dǎo)入已知的區(qū)間，再求出結(jié)果. 【題文】4、某產(chǎn)品在某零售攤位的零售價(jià)x（單位：元）與每天的 銷(xiāo)售量y（單位：個(gè)）的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：由上表可得 回歸直線方程中的，據(jù)此模型預(yù)測(cè)零售價(jià) 為15元時(shí)，每天的銷(xiāo)售量為 A．51個(gè) B．50個(gè)

4、 C．49個(gè) D．48個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】變量的相關(guān)性與統(tǒng)計(jì)案例 I4 【答案】【解析】C 解析：由題意知，代入回歸直線方程得，故選 【思路點(diǎn)撥】由題意求出x的平均值再根據(jù)公式求出y的平均值，代入回歸方程可直接求出結(jié)果. 【題文】5、設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6＝(　　) A．31 B．32 C．63 D．64 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列 D3 【答案】【解析】C 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a，公比為q，易知q≠1，根據(jù)題意可得解得q2＝4，＝－1，所以S6＝＝(－1)(1－43)＝63. 【思路點(diǎn)撥】由已知條件可求出公比

5、，再利用求和公式直接求出數(shù)值. 【題文】6、已知函數(shù)，則它們的圖象可能是 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù) B11 【答案】【解析】B 解析：因?yàn)?，則函數(shù)即圖象的對(duì)稱軸為，故可排除；由選項(xiàng)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，但圖象中函數(shù)在上不具有單調(diào)性，故排除本題應(yīng)選 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)圖像找出正確結(jié)果. 【題文】7、已知函數(shù)的最小正周期為，則該函數(shù)的圖象是 A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像 C3 【答案】【解析】A 解析：依題意得，故，所以 ， ，因此該函數(shù)的圖象關(guān)

6、于直線對(duì)稱，不關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，也不關(guān)于直線對(duì)稱.故選 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可求出再根據(jù)解析式判定函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系. 【題文】8、一只受傷的丹頂鶴在如圖所示（直角梯形）的草原上飛過(guò)， 其中，它可能隨機(jī)在草原上任何一 處（點(diǎn)），若落在扇形沼澤區(qū)域ADE以外丹頂鶴能生還， 則該丹頂鶴生還的概率是（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】概率 K3 【答案】【解析】B 解析：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，易知， 梯形的面積,扇形的面積，則丹頂鶴生還的概率，故選 【思路點(diǎn)撥】幾何概型，可分別求出各部分的面積再求出概率. 【題文】9、已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足（其中是函數(shù)

7、的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式不成立的是（ ） A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 B11,B12 【答案】【解析】A 解析：構(gòu)造函數(shù)g（x）=， 則g′（x）==（f′（x）cosx+f（x）sinx）， ∵對(duì)任意的x∈（﹣，）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0， ∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（﹣，）單調(diào)遞增， 則g（﹣）＜g（﹣），即， ∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正確． g（0）＜g（），即， ∴f（0）＜2f（）， 故選：A． 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=，求函數(shù)

8、的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論 【題文】10、已知函數(shù)均為常數(shù)，當(dāng)時(shí)取極大值，當(dāng)時(shí)取極小值，則的取值范圍是 A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】線性規(guī)劃 E5 【答案】【解析】D 解析：因?yàn)?，依題意，得 則點(diǎn)所滿足的可行域如圖所示（陰影部分，且不包括 邊界），其中，，. 表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，觀察圖形可知，，又，所以，故選 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出可行域，再由所求值的幾何意義求出取值范圍. 【題文】二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上 【題文】11、

9、若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【知識(shí)點(diǎn)】絕對(duì)值不等式 E2 【答案】【解析】 解析：由于，則有，即 ，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是 【思路點(diǎn)撥】由絕對(duì)值不等式的意義可求出最小值，再求出m的取值. 【題文】12、定義行列式的運(yùn)算:，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為 【知識(shí)點(diǎn)】新定義題型；函數(shù)性質(zhì). C4 【答案】【解析】 解析：，平移后得到函數(shù) ，則由題意得，因?yàn)椋缘淖钚≈禐? 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)定義求出解析式，再由三角函數(shù)的性質(zhì)求出t的最小值. 【題文】13、設(shè)曲線在點(diǎn)處切線與直線垂直，

10、則 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義 B12 【答案】【解析】1 解析：由題意，在點(diǎn)處的切線的斜率 又該切線與直線垂直，直線的斜率， 由，解得 【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，再由位置關(guān)系求出結(jié)果. 【題文】14、已知命題函數(shù)的定義域?yàn)镽；命題，不等式恒成立，如果命題““為真命題，且“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系 A2 【答案】【解析】 解析：若命題為真，則或.若命題為真，因?yàn)椋?因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，只需滿足，解得或.命題“”為真命題，且“”為假命題，則一真一假. ①當(dāng)真假時(shí)，可得；

11、 ②當(dāng)時(shí)，可得. 綜合①②可得的取值范圍是. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意對(duì)命題進(jìn)行討論，再求出a的取值范圍. 【題文】15、已知函數(shù)有零點(diǎn)，則的取值范圍是 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程 B9 【答案】【解析】 解析：由，解得 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增. 故該函數(shù)的最小值為 因?yàn)樵摵瘮?shù)有零點(diǎn)，所以，即，解得 故的取值范圍是. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)最小值求出a的取值范圍. 【題文】三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)成文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 【題文】16、（本小題滿分12分）已知冪函數(shù)為

12、偶函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù) （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)函數(shù)，其中.若函數(shù)僅在處有極值，求的取值范圍. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的概念與導(dǎo)數(shù) B1,B11 【答案】【解析】（1） （2） 解析：（1）在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)， 即又…………………4分 而時(shí)，不是偶函數(shù)，時(shí)，是偶函數(shù)， . …………………………………………6分 （2）顯然不是方程的根. 為使僅在處有極值，必須恒成立，…………………8分 即有，解不等式，得.…………………11分 這時(shí)，是唯一極值. . ……………12分 【思路點(diǎn)撥】由冪函數(shù)的概念可求出函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出a的取值范圍

13、. 【題文】17. （本小題滿分12分） 已知函數(shù),的最大值為2． （Ⅰ）求函數(shù)在上的值域； (Ⅱ)已知外接圓半徑，，角所對(duì)的邊分別是，求的值． 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)；不等式；正弦定理.C4,C8,E1 【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）由題意，的最大值為，所以．………………………2分 而，于是，．…………………………………4分 在上遞增．在 遞減， 所以函數(shù)在上的值域?yàn)?；………………………………?分 （2）化簡(jiǎn)得 ．……7分 由正弦定理，得，……………………………………………9分 因?yàn)椤鰽BC的外接圓半徑為．．…………………………11分

14、 所以 …………………………………………………………………12分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出解析式，再求出定義域下的值域，化簡(jiǎn)已知條件求出邊的關(guān)系，再求出 【題文】18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和， (Ⅰ)求的通項(xiàng)公式； (Ⅱ) 令，求數(shù)列的前項(xiàng)和． 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列及數(shù)列求和 D1,D4 【答案】【解析】(I)(II) 解析：(Ⅰ) 由???????????① 可得：． 同時(shí)???????????② ②-①可得： ．——4分 從而為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為． ． ————————6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知， ————8分 故 ．— 【思路點(diǎn)撥】由數(shù)列的前

15、n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)公式的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)求出前n項(xiàng)和 【題文】19. （本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，,, 平面,為的中點(diǎn)，. (I ) 求證：∥平面; ( II ) 求四面體的體積. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與平面平行；幾何體的體積. G4,G8 【答案】【解析】(I)略(II) 解析：1)法一： 取AD得中點(diǎn)M，連接EM,CM.則EM//PA 因?yàn)? 所以， （2分） 在中， 所以， 而,所以,MC//AB. （3分） 因?yàn)? 所以， （4分） 又因?yàn)? 所以， 因?yàn)? （6

16、分） 法二： 延長(zhǎng)DC,AB,交于N點(diǎn)，連接PN. 因?yàn)? 所以，C為ND的中點(diǎn). （3分） 因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以，EC//PN 因?yàn)? （6分） 2)法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= （7分） 因?yàn)?，，所以? （8分） 又因?yàn)?，所以? （10分） 因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E平面PAC的距離， 所以，四面體PACE的體積 （12分） 【思路點(diǎn)撥】由題意可直接證明直線與平面平行，再根據(jù)幾何體的體積公式求出四面體的體積. 【題文

17、】20. （本小題滿分13分） 已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2， 點(diǎn)（1，）在該橢圓上． （1）求橢圓C的方程； （2）過(guò)的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以 為圓心且與直線相切圓的方程． 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的概念；直線與橢圓 H5,H8 【答案】【解析】(1) (2) 解析：（1）橢圓C的方程為 ……………．．（4分） （2）①當(dāng)直線⊥x軸時(shí)，可得A（-1，-），B（-1，），AB的面積為3，不符合題意．

18、 …………（6分） ②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得： ，顯然＞0成立，設(shè)A，B，則 ，，可得|AB|= ……………．．（9分） 又圓的半徑r=，∴AB的面積=|AB| r==，化簡(jiǎn)得：17+-18=0，得k=±1，∴r =，圓的方程為……………．．（13分） 【思路點(diǎn)撥】由題中所給的條件可直接列出橢圓方程，再由直線與橢圓的位置關(guān)系可求出k與r的值，最后列出所求圓的方程即可. 【題文】21.（本小題滿分14分）.已知函數(shù)，（a為實(shí)數(shù)）． (Ⅰ) 當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程； (Ⅱ) 求在區(qū)間[t，t+2

19、]（t >0）上的最小值； (Ⅲ) 若存在兩不等實(shí)根，使方程成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.B3,B11 【答案】【解析】(I) (II) 當(dāng)時(shí) (III) 解析：(Ⅰ)當(dāng)時(shí),. ………1分 ，故切線的斜率為. ………2分 所以切線方程為:,即. ………4分 (Ⅱ),

20、 ………6分 ①當(dāng)時(shí),在區(qū)間上為增函數(shù), 所以 ………7分 ②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上為減函數(shù),在區(qū)間上為增函數(shù), 所以 ………8分 (Ⅲ) 由，可得：， ………9分 , 令, . ………10分 ,, . . 實(shí)數(shù)的取值范圍為 . ………14分 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，再列出切線方程，再根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，討論t的取值范圍求出函數(shù)的最小值，第三問(wèn)利用導(dǎo)數(shù)與已知條件可解出a的取值范圍.