3、故p1錯(cuò)誤；
對(duì)于p3：令x= ，>logx不成立；故p3錯(cuò)誤；p2 ，p4正確。故選D.
【思路點(diǎn)撥】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可。
【題文】3．如圖所示，程序框圖的輸出結(jié)果是
A． B． C． D．
【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖.L1
【答案解析】C 解析：，選C．
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)程序框圖的流程指向，依次計(jì)算s的值即可。
【題文】4．由直線，，曲線及軸 所圍成圖形的面積為
A． B． C． D．
【知識(shí)點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用．B13
【答案解析】D 解析：，選D．
【思路點(diǎn)撥】由題意利用定積分的幾何意義知，欲求由直
4、線，，曲線及軸 所圍成圖形的面積，即求一個(gè)定積分即可，再計(jì)算定積分即可求得．
【題文】5．已知為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是
【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義.B11
【答案解析】A 解析：，，因其為奇函數(shù)，排除B和D；結(jié)合函數(shù)值的正負(fù)，又可排除C．故選 A．
【思路點(diǎn)撥】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，再結(jié)合奇偶性以及函數(shù)值進(jìn)行判斷即可。
x
y
O
A
B
【題文】6．如右圖所示為函數(shù)()
的部分圖象,其中兩點(diǎn)之間的距離為,
那么
A． B． C． D．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象及性質(zhì)。C4
【答案解析】B 解析：兩
5、點(diǎn)之間的水平距離為，，，..
又由，得，因，故.,
所以，故選B．
【思路點(diǎn)撥】由圖象可得A=2，，再由，結(jié)合圖象可得φ 的值．再由A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，可得ω的值，從而求得函數(shù)f（x）的解析式，f（-1）的值可求．
【題文】7. 已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題.B10
【答案解析】C 解析：分別作出與的圖象，
，令，得或（舍），選C．
【思路點(diǎn)撥】分別作出與的圖象,聯(lián)立再結(jié)合判別式即可。
【題文】8. 如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點(diǎn)在上，且，若，則
A． B． C． D．
6、
【知識(shí)點(diǎn)】向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義．F1
【答案解析】A 解析：如圖所示， 建立直角坐標(biāo)系．
∵，．，
即．，∴，
即．又，
．∴．
∴，解得
．故選：A．
【思路點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量相等，屬于中檔題．
第II卷 （非選擇題 共110分）
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
【題文】9. 曲線在點(diǎn)處的切線方程為 .
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程.B11
【答案解析】 解析：，，
切線方程為，即. 或?qū)懗?
【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)解得斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線方程即可。
7、
【題文】10. 向量、滿足 ，，與的夾角為，則 .
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用.F3
【答案解析】 解析：, , .
【思路點(diǎn)撥】先把兩邊平方，再結(jié)合公式即可求出。
【題文】11. 設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若 ，則 ＝ .
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.D2
【答案解析】1 解析：.
【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式把轉(zhuǎn)化為即可。
【題文】12. 已知，若是的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【知識(shí)點(diǎn)】充要條件.A2
【答案解析】
解析：,.
【思路點(diǎn)撥】先解出分式不等式的
8、解集，再利用是的充分不必要條件，可得結(jié)果。
【題文】13．若函數(shù)在內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范是 .
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.B12
【答案解析】 解析：，令，解得.
【思路點(diǎn)撥】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，再令即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍。
【題文】14．當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，定義函數(shù)N(n)為n的最大奇因數(shù)．如N(3) ＝3，N(10) ＝5，….
記S(n) ＝ N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n)．則S(3) ＝ ；S(n) ＝ .
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的求和．D4
【答案解析】22 ；
解析：由題設(shè)知，N(2n)＝
9、N(n)，N(2n－1)＝2n－1.又S(1)＝N(1)＋N(2) ＝2.
S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]
＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]
＝42＋S(2)＝42＋41＋S(1)＝42＋41＋2＝22.
S(n)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋…＋N(2n)]
＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋…＋N(2n－1)]，
∴S(n)＝4n－1＋S(n－1)(n≥2)，
∴S(n)＝4n－1＋4n－2＋…＋41
10、＋2＝.
【思路點(diǎn)撥】由題設(shè)知，S(3)＝[N(1)＋N(3)＋N(5)＋N(7)]＋[N(2)＋N(4)＋N(6)＋N(8)]＝[1＋3＋5＋7]＋[N(1)＋N(2)＋N(3)＋N(4)]．由此能求出S （3）．由題意當(dāng)n∈N*時(shí)，定義函數(shù)N（n）表示n的最大奇因數(shù)，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N （4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…從寫(xiě)出的這些項(xiàng)及S（n）=N（1）+N（2） +N（3）+…N（2n）利用累加法即可求得．
三、解答題 （本大題共6小題，共80分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步
11、驟或證明過(guò)程）
【題文】15．（本小題14分）
已知函數(shù)的最小正周期為.
（Ⅰ）求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求在上的最大值和最小值．
【知識(shí)點(diǎn)】二倍角的余弦；三角函數(shù)的周期性及其求法；復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．C3C6
【答案解析】（Ⅰ）ω＝1，單調(diào)遞增區(qū)間為； （Ⅱ），
解析：（Ⅰ）f(x)＝sin ωxcos ωx＋＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋- -----------------2分
＝sin＋. -----------------4分
∵ω>0，∴T＝＝π，∴ω＝1. -----------------5分
故f(x)＝sin
12、＋.
令，解得.
的單調(diào)遞增區(qū)間為 -----------------8分
（Ⅱ）∵0≤x≤，∴≤2x＋≤， -----------------9分
∴－≤sin(2x＋)≤1， -----------------10分
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值；-----------------12分
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值. -----------------14分
【思路點(diǎn)撥】（I）利用倍角公式和兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，再求出函數(shù)的最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求出此函數(shù)的增區(qū)間；（II）由x的范圍求出“”的范圍，再由正弦函數(shù)
13、的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值和最小值．
【題文】16．（本小題13分）
在中，角的對(duì)邊分別為，已知，且成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求及的值.
【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；等比數(shù)列的性質(zhì)；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；正弦定理．C2 C8 D3
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）依題意，-------------------1分
由正弦定理及 -------------------3分
--6分
（Ⅱ）由
由（舍去負(fù)值）-------------------------------8分
從而------------------ -----
14、------------9分
.------------------ -----------------11分
由余弦定理，得
代入數(shù)值，得
解得：------------------------- ------------13分
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）利用等比數(shù)列可得．再利用正弦定理可得．利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式即可得出；（Ⅱ）先根據(jù)accosB=12知cosB＞0，再由sinB的值求出cosB的值，最后根據(jù)余弦定理可確定a，c的關(guān)系，從而確定答案．
【題文】17．（本小題13分）
已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，成等差數(shù)列，且.
（Ⅰ）求
15、數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求出符合條件的所有的集合；若不存在，說(shuō)明理由.
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和．D2 D3 D4
【答案解析】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在符合條件的正整數(shù)，且所有這樣的的集合為.
解析：（Ⅰ），即，--------------4分
解得.--------------5分
故.--------------6分
（Ⅱ）.--------------8分
令，，.
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，因，故上式不成立；--------------10分
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，.--------------12分
綜上，存在符
16、合條件的正整數(shù)，且所有這樣的的集合為.
--------------13分
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，依題意，列出關(guān)于其首項(xiàng)a1與公辦q的方程組，解之即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）依題意，可求得1-（-2）n≥xx，對(duì)n的奇偶性分類(lèi)討論，即可求得答案．
【題文】18．（本小題13分）
已知
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)．B12
【答案解析】（Ⅰ）極小值為，無(wú)極大值；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）， 當(dāng)時(shí)，，. -----2分
2
0
17、
↘
極小值
↗
所以，函數(shù)的極小值為，-----4分
無(wú)極大值. -----5分
（Ⅱ）
. -----6分
(1)當(dāng)時(shí)，的情況如下表：
2
0
↘
極小值
↗
若使函數(shù)F(x)沒(méi)有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，
解得, 所以此時(shí)；------------- ------------9分
（2）當(dāng)時(shí)，的情況如下表：
2
0
↗
極大值
↘
因?yàn)?且，
所以此時(shí)函數(shù)總存在零點(diǎn). ------------- ------------12分
（或：因?yàn)?又當(dāng)時(shí)，；
故此時(shí)函數(shù)總存在零點(diǎn).）-------
18、------ ------------12分
（或：當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，令 即
由于
令得，即時(shí)，，
即時(shí)，存在零點(diǎn).）------------- ------------12分
綜上所述，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是------------- ------------13分
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）a=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定f（x）的單調(diào)性與極值并求出；（Ⅱ）求F（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判定F（x）的單調(diào)性與極值，從而確定使F（x）沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)a的取值．
【題文】19．（本小題14分）
已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，若存在，使得成
19、立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．B11 B12
【答案解析】（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）
解析：（Ⅰ）∵函數(shù)的定義域?yàn)镽，…………….2分
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.…………….4分
（Ⅱ） ∵ …………5分
存在，使得成立.…….6分
∴………………………7分
① 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
∴，即, …….9分
② 當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
∴，即， …….11分
③ 當(dāng)時(shí)，在，，在上單調(diào)遞減；
在，， 在上單調(diào)遞增
20、.
所以，即——
由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞減，故，
而，所以不等式無(wú)解 …….13分
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.………………………14分
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）先求出，得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而有f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）假設(shè)存在，使得成立，則．
∴，分別討論①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)的情況，從而求出t的范圍．
【題文】20．（本小題13分）
對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列，設(shè)為 中的最大值，
稱數(shù)列是的控制數(shù)列．例如數(shù)列的控制數(shù)列是.
（Ⅰ）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的控制數(shù)列是，寫(xiě)出所有的；
（Ⅱ）設(shè)是的控制數(shù)列，滿足 （為常數(shù)，）.
21、證明：（）.
（Ⅲ）考慮正整數(shù)的所有排列，將每種排列都視為一個(gè)有窮數(shù)列．是否
存在數(shù)列，使它的控制數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。D5
【答案解析】（Ⅰ）有個(gè)，分別為；；；；；.（Ⅱ）見(jiàn)解析；（Ⅲ）滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)。
解析：（Ⅰ）解：數(shù)列有個(gè)，分別為；；；；；.……………3分
注：對(duì)2個(gè)給1分；對(duì)4個(gè)給2分；對(duì)6個(gè)給3分；錯(cuò)寫(xiě)扣分.
（Ⅱ）證明：因?yàn)椋?，所以.…4分
因?yàn)?，?
所以，即，故，即. ……5分
于是，故，（）. ………6分
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的控制數(shù)列為，
因?yàn)闉?/p>
22、前個(gè)正整數(shù)中最大的一個(gè)，所以． ……………………7分
若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，
因?yàn)?，所以．? ……………………8分
（1）當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列：.（或）， ……9分
此時(shí)數(shù)列是首項(xiàng)為的任意一個(gè)排列，共有個(gè)數(shù)列； ……………10分
（2）當(dāng)時(shí)，符合條件的數(shù)列只能是，
此時(shí)數(shù)列是，有1個(gè)； ……………11分
（3）當(dāng)時(shí)，， 又，
， . 這與矛盾！所以此時(shí)不存在. ……………12分
綜上滿足條件的數(shù)列的個(gè)數(shù)為個(gè)（或回答個(gè)）． ……………13分
【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)題意，可得數(shù)列有個(gè)，分別為；；；；；.（Ⅱ）依題意可得bk+1≥bk，又ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，從而可得ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，整理即證得結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)數(shù)列的控制數(shù)列為，因?yàn)闉榍皞€(gè)正整數(shù)中最大的一個(gè)，所以．若為等差數(shù)列，設(shè)公差為，因?yàn)?，所以．?，再對(duì)d分類(lèi)討論即可。
2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題 理（含解析）新人教A版
