2022年高中數(shù)學 平面向量應用舉例》課件） (1) 新人教A版必修2

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1、2022年高中數(shù)學 平面向量應用舉例》課件） (1) 新人教A版必修2 一、教材分析 向量概念有明確的物理背景和幾何背景，物理背景是力、速度、加速度等，幾何背景是有向線段，可以說向量概念是從物理背景、幾何背景中抽象而來的，正因為如此，運用向量可以解決一些物理和幾何問題，例如利用向量計算力沿某方向所做的功，利用向量解決平面內(nèi)兩條直線平行、垂直位置關系的判定等問題。 二、教學目標 1.通過應用舉例，讓學生會用平面向量知識解決幾何問題的兩種方法-----向量法和坐 標法，可以用向量知識研究物理中的相關問題的“四環(huán)節(jié)” 和生活中的實際問題 2.通過本節(jié)的學習，讓學生體驗向量在解決幾何和

2、物理問題中的工具作用，增強學生的 積極主動的探究意識，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。 三、教學重點難點 重點：理解并能靈活運用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何和物理問題. 難點：選擇適當?shù)姆椒ǎ瑢缀螁栴}或者物理問題轉化為向量問題加以解決. 四、學情分析 在平面幾何中，平行四邊形是學生熟悉的重要的幾何圖形，而在物理中，受力分析則是其中最基本的基礎知識，那么在本節(jié)的學習中，借助這些對于學生來說，非常熟悉的內(nèi)容來講解向量在幾何與物理問題中的應用。 五、教學方法 1.例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數(shù)學思想方法的應用。 2.學案導學：見后面的學案 3.新授課教學基本環(huán)節(jié)：預習

3、檢查、總結疑惑→情境導入、展示目標→合作探究、精講點撥→反思總結、當堂檢測→發(fā)導學案、布置預習 六、課前準備 1.學生的學習準備：預習本節(jié)課本上的基本內(nèi)容，初步理解向量在平面幾何和物理中的 應用 2.教師的教學準備：課前預習學案，課內(nèi)探究學案，課后延伸拓展學案。 七、課時安排：1課時 八、教學過程 (一)預習檢查、總結疑惑 檢查落實了學生的預習情況并了解了學生的疑惑，使教學具有了針對性。 (二）情景導入、展示目標 教師首先提問：（1）若O為重心,則++= （2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個四邊形 為等腰梯形.類比幾何元素之間的關系,你會想到向量運算之間都有

4、什么關系? (3) 兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力.為什么？ 教師：本節(jié)主要研究了用向量知識解決平面幾何和物理問題；掌握向量法和坐標法，以及用向量解決平面幾何和物理問題的步驟，已經(jīng)布置學生們課前預習了這部分，檢查學生預習情況并讓學生把預習過程中的疑惑說出來。 （設計意圖：步步導入，吸引學生的注意力，明確學習目標。） （三）合作探究、精講點撥。 探究一：（１）向量運算與幾何中的結論＂若，則，且所在直線平行或重合＂相類比，你有什么體會？（２）由學生舉出幾個具有線性運算的幾何實例． 教師：平移、全等、相似、長度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運算及數(shù)量積表示出來： 例如，向量數(shù)量積對

5、應著幾何中的長度.如圖： 平行四邊行中，設＝,＝，則（平移），，（長度）．向量，的夾角為.因此，可用向量方法解決平面幾何中的一些問題。通過向量運算研究幾何運算之間的關系，如距離、夾角等．把運算結果＂翻譯＂成幾何關系．本節(jié)課，我們就通過幾個具體實例，來說明向量方法在平面幾何中的運用 例1．證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和． 已知：平行四邊形ABCD． 求證：． 分析：用向量方法解決涉及長度、夾角的問題時，我們常常要考慮向量的數(shù)量積．注意到， ，我們計算和． 證明：不妨設a，b，則 a+b，a-b，|a|2，|b|2． 得 ( a+b)·( a+b) = a·

6、a+ a·b+b·a+b·b= |a|2+2a·b+|b|2． ① 同理　　　|a|2-2a·b+|b|2． ② ①+②得 2(|a|2+|b|2)=2()． 所以，平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和． 師：你能用幾何方法解決這個問題嗎？ 讓學生體會幾何方法與向量方法的區(qū)別與難易情況。 師：由于向量能夠運算，因此它在解決某些幾何問題時具有優(yōu)越性，他把一個思辨過程變成了一個算法過程，可以按照一定的程序進行運算操作，從而降低了思考問題的難度. 用向量方法解決平面幾何問題，主要是下面三個步驟，

7、 ⑴建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題； ⑵通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題； ⑶把運算結果“翻譯”成幾何關系． 變式訓練：中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，BF與CD交于點O，設（1）證明A、O、E三點共線；（2）用表示向量。 例2，如圖，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、DC邊的中點，BE、BF分別與AC交于R、T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關系嗎？ 分析：由于R、T是對角線AC上兩點，所以要判斷AR、RT、TC之間的關系，只需要分別判斷AR、RT、TC與AC之間的關系即可．

8、 解：設a，b，則a+b． 由　與共線，因此。存在實數(shù)m，使得 =m(a+b)． 又　由與共線 因此 　存在實數(shù)n，使得 =n= n(b- a)． 由= n，得m(a+b)= a+ n(b- a)． 整理得　　　　　　a＋b＝0． 由于向量a、b不共線，所以有　，解得． 所以　　　　　　　　　　?。? 同理　　　　　　　　　　?。? 于是　　　　　　　　　　?。? 所以　　　　　　　　　　　AR＝RT＝TC． 說明：本例通過向量之間的關系闡述了平面幾何中的方法，待定系數(shù)法使用向量方法證明平面幾何問題的常用方法． 探究二：（1）兩個人提一個旅行包,夾角越大越費力. （2）

9、在單杠上做引體向上運動,兩臂夾角越小越省力. 這些問題是為什么？ 師：向量在物理中的應用，實際上就是把物理問題轉化為向量問題，然后通過向量運算解決向量問題，最后再用所獲得的結果解釋物理現(xiàn)象． 例3．在日常生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上作引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數(shù)學的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？ 分析：上面的問題可以抽象為如右圖所示的數(shù)學模型．只要分析清楚F、G、三者之間的關系（其中F為F1、F2的合力）,就得到了問題的數(shù)學解釋． 解：不妨設|F1|=|F2|， 由向量加法的平行四邊形法則，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到

10、 |F1|=． 通過上面的式子我們發(fā)現(xiàn)，當由逐漸變大時，由逐漸變大，的值由大逐漸變小，因此，|F1|有小逐漸變大，即F1、F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力． 師：請同學們結合剛才這個問題，思考下面的問題： ⑴為何值時，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|嗎？為什么？ 例4如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度m，一艘船從A處出發(fā)到河對岸．已知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，問行駛航程最短時，所用的時間是多少(精確到0.1min)？ 分析：如果水是靜止的，則船只要取垂直于對岸的方向行駛，就能使行駛航程最短，所用時間最短．考慮到水的流速

11、，要使船的行駛航程最短，那么船的速度與水流速度的合速度v必須垂直于對岸．（用《幾何畫板》演示水流速度對船的實際航行的影響） 解：=(km/h)， 所以， (min)． 答：行駛航程最短時，所用的時間是3.1 min． 本例關鍵在于對“行駛最短航程”的意義的解釋，即“分析”中給出的穿必須垂直于河岸行駛，這是船的速度與水流速度的合速度應當垂直于河岸，分析清楚這種關系侯，本例就容易解決了。 變式訓練：兩個粒子A、B從同一源發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為，（1）寫出此時粒子B相對粒子A的位移s;(2)計算s在方向上的投影。 九、板書設計 §2.5 平面向量應用舉例 例⒈　　 用向量法解平面幾何 例2 變式訓練 問題的“三步曲” 例3. 例4 變式訓練 十、教學反思 本小節(jié)主要是例題教學，要讓學生體會思路的形成過程，體會數(shù)學思想方法的應用。教學中，教師創(chuàng)設問題情境，引導學生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過程，總結解題規(guī)律。指導學生搞好解題后的反思，從而提高學生綜合應用知識分析和解決問題的能力.