2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）新人教A版

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 文（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高三文科試卷，以基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力為載體，，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、向量、導(dǎo)數(shù)、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃、圓錐曲線，數(shù)列、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)的性質(zhì)、等；考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力，是份較好的試卷 一、選擇題：(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 【題文】1.直線的傾斜角的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】直線的傾斜角與斜率、直線的方程H1

2、【答案解析】B 由直線的方程可知其斜率k＝－∈[－，]，設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ∈[－，]，且θ∈[0，π)，所以θ∈[0，]∪[，π)．故選B 【思路點(diǎn)撥】先求出斜率的取值范圍，再求出傾斜角的范圍。 【題文】2. 已知集合，，則 ( ) A．{｜0＜＜}　B.{｜＜＜1}　 C.{｜0＜＜1}　D.{｜1＜＜2}　 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1 【答案解析】B 對(duì)于集合：M：由x＞x2，解得0＜x＜1，∴M={x|0＜x＜1}．∵0＜x＜1，∴1＜4x＜4∴.＜＜2．∴N={y|＜y＜2}．∴M∩N={x|＜x＜1}．故選B． 【思路點(diǎn)撥】利用一元二次不等式的解

3、法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可化簡(jiǎn)集合M，N．再利用交集的運(yùn)算即可得出． 【題文】3. 下列有關(guān)命題的說(shuō)法正確的是 ( ) A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”． B．“” 是“”的必要不充分條件. C．命題“若，則”的逆否命題為真命題. D．命題“使得”的否定是：“均有”． 【知識(shí)點(diǎn)】命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件A2 【答案解析】C 命題“若x2=1，則x=1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”．所以，選項(xiàng)A不正確；由x=-1，能夠得到x2-5x-6=0．反之，由x2-5x-6=0，得到x=-1

4、或x=6．所以，“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要條件．所以，選項(xiàng)B不正確；“若x=y”，則“sinx=siny”為真命題，所以其逆否命題也為真命題．所以，選項(xiàng)C正確；命題“?x0∈R，x02+x0+1＜0”的否定是“對(duì)?x∈R，x2+x+1≥0”．所以，選項(xiàng)D不正確．故選C． 【思路點(diǎn)撥】題目給出的四個(gè)命題，A是寫出一個(gè)命題的否命題，既要否定條件，又要否定結(jié)論；B是分析充要條件問(wèn)題，由x=-1，一定能得到x2-5x-6=0，反之，由x2-5x-6=0，得到的x的值還可能是6；C是考查互為逆否命題的兩個(gè)命題共真假；D是考查特稱命題的否定，特稱命題的否定式全稱命題． 【題文】4

5、. 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（ ） A. 27 B.3 C. 或3 D.1或27 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列　等比數(shù)列 D2 D3 【答案解析】A ∵成等差數(shù)列∴3a1+2a2=a3，∴3a1+2a1q=a1q2∴q2-2q-3=0 ∵q＞0∴q=3∴=q3=27故選A 【思路點(diǎn)撥】由已知可得，3a1+2a2=a3，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求公比q，而=q3，代入即可求解. 【題文】5. 函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)? ( ) A．　　 　 B．　　　C

6、． 　　　D． 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)及其表示B1 【答案解析】D 函數(shù)的定義域（0,1）所以0<1，0<10 則或故選D. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域?qū)?shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定義域。 【題文】6. 已知,則 ( ) A． B． C． D． 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式C2 【答案解析】C ∵cos（x- ）=-，∴cosx+cos（x- ）=cosx+cosxcos+sinxsin =cosx+sinx=（cosx+sinx）=cos（x-）=×（-）=-1故選C． 【思路點(diǎn)撥】利用兩角和與差的余弦函

7、數(shù)將cosx+cos（x- ）化為cos（x-）即可． 【題文】7. 已知x，y滿足記目標(biāo)函數(shù)的最小值為1，最大值為7，則的值分別為 （ ） A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題E5 【答案解析】A 由題意得知，直線x+by+c=0經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)，即經(jīng)過(guò)（3,1）和（1，-1）點(diǎn)，所以則b=-1,c=-2. 【思路點(diǎn)撥】求出直線的交點(diǎn)判斷何時(shí)取到最值求出b

8、,c. 【題文】8．已知等比數(shù)列滿足＞0，＝1,2，…，且，則當(dāng)≥1時(shí)， ＝ （ ） A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3 【答案解析】C 由等比數(shù)列的性質(zhì)可得an2=a5?a2n-5=22n，=（2n）2， ∵an＞0，∴an=2n，故數(shù)列首項(xiàng)a1=2，公比q=2， 故log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2a1?a3?…?a2n-1=log2(a1)nq0

9、+2+4+…+2n-2 =log22n?2=log22n+n2-n=log22n2=n2，故答案為C. 【思路點(diǎn)撥】由題意可得an=2n，可得數(shù)列首項(xiàng)a1=2，公比q=2，進(jìn)而可得原式=log2(a1)nq0+2+4+…+2n-2，代入由對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得答案． 【題文】9.已知x∈，且函數(shù)f(x)＝的最小值為b，若函數(shù)g(x)＝，則不等式g(x)≤1的解集為 (　 　) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3 【答案解析】D ∵x∈(0,)，∴tanx＞0．∴f(x)= =(

10、3tanx+)≥= ．當(dāng)且僅當(dāng)tanx=，即x=時(shí)取等號(hào)． 因此b=．不等式g（x）≤1?①＜x＜或②，解②得≤x≤． 因此不等式f（x）≤1的解集為[,]∪(，)=[，)．故選D． 【思路點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系及基本不等式即可得出f（x）的最小值即b．再利用一元二次不等式的解法、交集與并集的運(yùn)算即可得出． 【題文】10.設(shè) F1，F(xiàn)2是雙曲線C：(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線與的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，則雙曲線的離心率為（ ） A． B．

11、 C．2 D． 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì)H6 【答案解析】 由|?AB?|:?|?BF2?|:?|AF2?|＝3:4 :?5設(shè) 由定義可知, 【思路點(diǎn)撥】雙曲線定義：雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值等于定值（長(zhǎng)軸長(zhǎng)），求離心率的值需找關(guān)于的方程 【題文】11．若曲線f(x，y)＝0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f(x，y)＝0的“自公切線”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有

12、 (　 　) A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線及其幾何性質(zhì)周期性B4 H6 【答案解析】B ①x2-y2=1?是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②y=x2-|x|=， 在?x=和?x=-?處的切線都是y=-，故②有自公切線．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= ，sinφ=，此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④由于|x|+1=，即?x2+2|x|+y2-3=0，結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公

13、切線．故答案為B． 【思路點(diǎn)撥】①x2-y2=1?是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；②在?x=?和?x=-處的切線都是y=-，故②有自公切線．③此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線．④結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線． 【題文】12.函數(shù)，在定義域上表示的曲線過(guò)原點(diǎn)，且在處的切線斜率均為.有以下命題： ①是奇函數(shù)；②若內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為M，最小值為m，則；④若對(duì)恒成立，則的最大值為2.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 （ ）

14、1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】B 函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過(guò)原點(diǎn)，可得c=0； 又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為-1， 則有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4． ①可見(jiàn)f（x）=x3-4x是奇函數(shù)，因此①正確；x∈[-2，2]時(shí)，[f′（x）]min=-4，則k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④錯(cuò)誤．②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]內(nèi)遞減，則|t-s|的最

15、大值為，因此②錯(cuò)誤；且f（x）的極大值為f（-）=，極小值為f（）=-， 兩端點(diǎn)處f（-2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值為M=，最小值為m=-，則M+m=0， 因此③正確．故選B． 【思路點(diǎn)撥】首先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)f（x）過(guò)原點(diǎn)，列方程組求出f（x）的解析式；然后根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，則命題①④得出判斷；最后令f′（x）=0，求出f（x）的極值點(diǎn)，進(jìn)而求得f（x）的單調(diào)區(qū)間與最值，則命題②③得出判斷． 第Ⅱ卷（90分） 【題文】二、填空題：本大題共4題，每小題5分，共20分. 【題文】13.. 若函數(shù)在上可導(dǎo)

16、，，則 . 【知識(shí)點(diǎn)】定積分與微積分基本定理B13 【答案解析】-4 ∵f（x）=x3+x2f′（1），∴f′（x）=3x2+2xf′（1），∴f′（1）=3+2f′（1）， ∴f′（1）=-3，∴f（x）=x3-3x2，∴f(x)dx=（x4-x3）=4-8=-4，故答案為：-4． 【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)，再求出f′（1）=-3，再根據(jù)定積分的計(jì)算法計(jì)算即可． 【題文】14. 若且，則的最小值為 . 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3 【答案解析】 ∵x，y為非負(fù)數(shù)且x+2y=1，∴x=1-2y≥0，解得0≤y

17、≤． ∴f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y-)2+，因此f（y）在[0，]上單調(diào)遞減， ∴當(dāng)y=，x=0時(shí)，函數(shù)f（y）取得最小值，f()=．故答案為． 【思路點(diǎn)撥】x，y為非負(fù)數(shù)且x+2y=1，可得x=1-2y≥0，解得0≤y≤． 可得f（y）=2x+3y2=3y2+2（1-2y）=3(y- )2+，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出． 【題文】15.拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)P（2,0）且斜率為1的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，則弦AB的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)______ 【知識(shí)點(diǎn)】拋物線及其幾何性質(zhì)H7 【答案解析】11 設(shè)

18、拋物線方程為y2=2px（p＞0），則∵焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，∴F（3，0），∴=3，∴p=6，∴拋物線方程為y2=12x． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2） 過(guò)點(diǎn)P（2，0）且斜率為1的直線l的方程為y=x-2，代入拋物線方程得x2-16x+4=0 ∴x1+x2=16，∴弦AB的中點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為=11．故答案為：11． 【思路點(diǎn)撥】利用焦點(diǎn)F與雙曲線的右焦點(diǎn)重合，求出拋物線方程，過(guò)點(diǎn)P（2，0）且斜率為1的直線l的方程為y=x-2，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合拋物線的定義，即可得出結(jié)論． 【題文】16.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算：設(shè)，且關(guān)于x的方程恰有三個(gè)互

19、不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是___________ 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程B9 【答案解析】(，0) ∵2x-1≤x-1時(shí)，有x≤0， ∴根據(jù)題意得f（x）= 即f（x）= 畫出函數(shù)的圖象從圖象上觀察當(dāng)關(guān)于x的方程為f（x）=m（m∈R）恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，m的取值范圍是（0，），當(dāng)-x2+x=m時(shí)，有x1x2=m，當(dāng)2x2-x=m時(shí)，由于直線與拋物線的交點(diǎn)在y軸的左邊，得到x3= ，∴x1x2x3=m（）= ，m∈（0，） 令y=，則y′=(1--)，又h(m)= + 在m∈（0，）上是增函數(shù)，故有h（m）＞h（0）=1 ∴y′=(1--)＜0在m∈（0，）上成立

20、， ∴函數(shù)y=在這個(gè)區(qū)間（0，）上是一個(gè)減函數(shù)， ∴函數(shù)的值域是（f（），f（0）），即(，0),故答案為：(，0) 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)所給的新定義，寫出函數(shù)的分段形式的解析式，畫出函數(shù)的圖象，在圖象上可以看出當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)m的取值，根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，寫出兩個(gè)根的積和第三個(gè)根，表示出三個(gè)根之積，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)于m的函數(shù)的值域，得到結(jié)果． 【題文】三、解答題：本大題共六個(gè)大題，滿分70；解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟. 【題文】17.（本題滿分10分） （1）已知，且，求的值； （2）已知為第二象限角，且，求的值

21、. 【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正弦、余弦、正切C5 【答案解析】（1）（2） （1）∵， ∴sinα==，sin（α+β）==， ∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+× ==； （2）∵α為第二象限角，sinα=，∴cosα=-=， ∴=== 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知可得sinα和sin（α+β），代入cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα，化簡(jiǎn)可得；（2）由已知可得cosα的值，由三角函數(shù)的公式化簡(jiǎn)要求的式子，代入化簡(jiǎn)可得． 【題文】18. (本題滿分12分)在銳角三角

22、形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊， 且. (Ⅰ)求角的大??； (Ⅱ)若的最大值． 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8 【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)4 (Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)， ∴sin C＝，∵△ABC是銳角三角形，∴C＝ (Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，即a2＋b2－ab＝4 ∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16， ∴a＋b≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2取“＝”故a＋b的最大值是4. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)正限定求出角，根據(jù)余

23、弦定理和均值不等式求出最大值。 【題文】19．（本題滿分12分） 設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和滿足且 （Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式： （Ⅱ）設(shè)，設(shè)為的前n項(xiàng)和，求. 【知識(shí)點(diǎn)】 等差數(shù)列等比數(shù)列數(shù)列求和D2 D3 D4 【答案解析】(1) , . （2） （1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=（bn-1），∴b1=S1=(b1-1)，解得b1=3． 當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Sn-Sn-1=(bn-1)- (bn-1-1)，化為bn=3bn-1． ∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，∴bn=3×3n-1=3n．∵a2=b1=3，a5=b2=9． 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d． ∴

24、，解得d=2，a1=1．∴an=2n-1．綜上可得：an=2n-1，bn=3n． （2）cn=an?bn=（2n-1）?3n． ∴Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-3）?3n-1+（2n-1）?3n， 3Tn=32+3×33+…+（2n-3）?3n+（2n-1）?3n+1． ∴-2Tn=3+2×32+2×33+…+2×3n-（2n-1）?3n+1=-（2n-1）?3n+1-3 =（2-2n）?3n+1-6．∴Tn=3+(n-1)3n+1． 【思路點(diǎn)撥】（1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出． 【題文】20.

25、（本題滿分12分） 設(shè)橢圓C：的離心率，右焦點(diǎn)到直線的距離，O為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓C的方程； （2）過(guò)點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長(zhǎng)度的最小值。 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓及其幾何性質(zhì)H5 【答案解析】(1) (2) ：（I）由得=即a=2c，∴b=c．由右焦點(diǎn)到直線的距離為d=， 得=，解得a=2，b=．所以橢圓C的方程為 (2)設(shè)A，當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，，又，解得，即O到直線AB的距離，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，直線AB的方程為y=kx+m,與橢圓聯(lián)立消去y得，，即，整理得O到直線AB的距離當(dāng)且僅當(dāng)OA=OB時(shí)

26、取“=”有得,即弦AB的長(zhǎng)度的最小值是 【思路點(diǎn)撥】（I）利用離心率求得a和c的關(guān)系式，同時(shí)利用點(diǎn)到直線的距離求得a，b和c的關(guān)系最后聯(lián)立才求得a和b，則橢圓的方程可得． （II）設(shè)出A，B和直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，利用韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2，利用OA⊥OB推斷出x1x2+y1y2=0， 求得m和k的關(guān)系式，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得O到直線AB的距離為定值，進(jìn)而利用基本不等式求得OA=OB時(shí)AB長(zhǎng)度最小，最后根據(jù)d?AB=OA?OB≤求得AB的坐標(biāo)值． 【題文】21.（本題滿分12分） 已知函數(shù)，在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y+2=0. (1)求函數(shù)

27、f(x)解析式； （2）若對(duì)于區(qū)間[-2,2]上的任意兩個(gè)自變量都有，求實(shí)數(shù)c的最小值； （3）若過(guò)點(diǎn)M（2，m）(m2)可作曲線y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】（1）（2）4（3）-6