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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 任意角的三角函數(shù)教案 理
教材分析
這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù).任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來(lái)定義的.三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念,也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ),更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵.因此,要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義.在此基礎(chǔ)上,這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域,函數(shù)值在各象限的符號(hào),以及誘導(dǎo)公式(一),這既是對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用,也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備.
教學(xué)目標(biāo)
1. 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)三角函數(shù)推廣的必要性,經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過(guò)程,增強(qiáng)對(duì)數(shù)的理解能力.
2. 理解和掌握三
2、角函數(shù)的定義,在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)和誘導(dǎo)公式(一),并能初步應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題.
3. 通過(guò)對(duì)任意角的三角函數(shù)的學(xué)習(xí),初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過(guò)程,提高學(xué)生的科學(xué)思維水平.
任務(wù)分析
在初中,我們只是學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù),現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是任意角的三角函數(shù).定義的對(duì)象從銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù),從四種三角函數(shù)增加到六種三角函數(shù).定義的媒介則從直角三角形改為平面直角坐標(biāo)系.為了便于學(xué)生體會(huì)和理解,突出定義適用于任意角,通常要把終邊出現(xiàn)在四個(gè)象限的情況都畫出來(lái)(注意表示角時(shí)不用箭頭),學(xué)習(xí)時(shí),必須弄清并強(qiáng)調(diào):這六個(gè)比值的大小都與點(diǎn)P在角的終邊上
3、的位置無(wú)關(guān),只與角的大小有關(guān),即它們都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù),符合函數(shù)的定義,從而歸納和總結(jié)出任意角的三角函數(shù)的定義.對(duì)于三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)和誘導(dǎo)公式(一),可放手讓學(xué)生探索、研究、討論和歸納,用以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.
教學(xué)設(shè)計(jì)
一、情景設(shè)置
初中我們學(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù),知道它們都是以銳角為自變量,由其所在的直角三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值為函數(shù)值,并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù).這節(jié)課,我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義.
?
在初中,三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來(lái)定義的.如圖32-1,在Rt△ABC中,
現(xiàn)在,把三
4、角形放到坐標(biāo)系中.如圖32-2,設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y),則OC=b=x,CB=a=y(tǒng),OB=,從而
即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值,在此意義下對(duì)任意角α都可以定義其三角函數(shù).
二、建立模型
一般地,設(shè)α是任意角,以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以角α的始邊的方向作為x軸的正方向,建立直角坐標(biāo)系xOy.P(x,y)為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn).如圖:
那么,OP=,記作r,(r>0).
對(duì)于三個(gè)量x,y,r,一般地,可以產(chǎn)生六個(gè)比值:.當(dāng)α確定時(shí),根據(jù)初中三角形相似的知識(shí),可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定.根據(jù)函數(shù)的定義可以看出,這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù),分別把稱之為
5、α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù),記為
對(duì)于定義,思考如下問(wèn)題:
1. 當(dāng)角α確定后,比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?為什么?
2. 利用坐標(biāo)法定義三角函數(shù)與利用直角三角形定義三角函數(shù)有什么關(guān)系?
3. 任意角α的正弦、余弦、正切都有意義嗎?為什么?
三、解釋應(yīng)用
[例 題]
1. 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)P(-2,3),求角α的六個(gè)三角函數(shù)值.
思考:若P(-2,3)變?yōu)椋ǎ?m,3m)呢?(m≠0)
2. 求下列角的六個(gè)三角函數(shù)值.
注:強(qiáng)化定義.
[練 習(xí)]
1. 已知角α的終邊經(jīng)過(guò)下列各點(diǎn),求角α的六個(gè)三角函數(shù)值.
(1)P(3,-4). (2)P(m,
6、3).
2. 計(jì) 算.
(1)5sin90°+2sin0°-3sin270°+10cos180°.
四、拓展延伸
1. 由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù),如sina=,不論α取任何實(shí)數(shù),恒有意義,所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙}.類似地,研究cosa,tana,cota的定義域.
2. 根據(jù)三角函數(shù)的定義以及x,y,r在不同象限內(nèi)的符號(hào),研究sina,cosa,tana,cota的值在各個(gè)象限的符號(hào).
3. 計(jì)算下列各組角的函數(shù)值,并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律.
(1)sin30°,sin390°. (2)cos45°,
7、cos(-315°).
規(guī)律:終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,
即sin(α+k360°)=sina,
cos(α+k·360°)=cosa,
tan(α+k·360°)=tana,(k∈Z).
五、應(yīng)用與深化
[例 題]
1. 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào).
2. 求證:角α為第三象限角的充要條件是sinθ<0,并且tanθ>0.
證明:充分性:如果sinθ<0,tanθ>0都成立,那么θ為第三象限角.
∵sinθ<0成立,所以θ的終邊可能位于第三或第四象限,也可能位于y軸的負(fù)半軸上.
又∵tanθ>0成立,∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限.
∵sinθ<0,t
8、anθ>0都成立,∴θ角的終邊只能位于第三象限.
必要性:若θ為第三象限角,由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào),知sinθ<0,tanθ>0.
從而結(jié)論成立.
[練 習(xí)]
1. 設(shè)α是三角形的一個(gè)內(nèi)角,問(wèn):在sina,cosa,tana,tan中,哪些三角函數(shù)可能取負(fù)值?為什么?
2. 函數(shù)的值域是 ____________ .
點(diǎn) 評(píng)
這節(jié)課在設(shè)計(jì)上特別注意了以下幾點(diǎn):①前后知識(shí)的聯(lián)系,知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程,如任意角的三角函數(shù)的定義,由初中所講“0°~360°”的情況逐漸過(guò)渡到“任意角”的情況,講清了推廣的必要性及意義.②注重了知識(shí)的探究,如三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),及誘導(dǎo)公式(一).這里由學(xué)生自己去研究,討論,探索得出一般性結(jié)論,培養(yǎng)了學(xué)生獲取知識(shí)、探究知識(shí)的能力,強(qiáng)化了自主學(xué)習(xí)的意識(shí).③注意了跟蹤練習(xí)的設(shè)計(jì).
例題典型,練習(xí)有層次和變化,鞏固知識(shí)到位.
總體來(lái)說(shuō),這是一節(jié)實(shí)用較強(qiáng),形式又不乏新穎的較好案例.