2022年高二數(shù)學下學期期中試題 理(VIII)

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1、2022年高二數(shù)學下學期期中試題 理(VIII) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將所選答案涂在答題卡上)。 1．復數(shù)2＝(　 ) （A）－3－4i　　 （B）－3＋4i （C）3－4i （D）3＋4i 2．函數(shù)的導數(shù)為（ ） （A） （B） （C） （D） 3．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋2，若f′(1)＝3，則a＝(　　) （A）2 （B）－2 （C）3 （D）－3 4．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一

2、個鈍角”時，假設(shè)正確的是（ ） （A）假設(shè)至少有一個鈍角 　（B）假設(shè)至少有兩個鈍角　　 （Ｃ）假設(shè)沒有一個鈍角　?。ǎ模┘僭O(shè)沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角 5．i是虛數(shù)單位，若＝a＋bi(a，b∈R)，則a＋b的值是(　　) （A）0 （B） （C）1 （D）2 6．函數(shù)y＝x4－2x2＋5的單調(diào)減區(qū)間為 (　　) （A）(－∞，－1]和[0,1] （B）[－1,0]和[1，＋∞) （C）[－1,1] （D）(－∞，－1]和[1，＋∞) 7

3、．函數(shù)在處有極值10, 則點為 （　 ） （A） （B）或 （C） （D）不存在 8． 曲線， 和直線圍成的圖形面積是 （　?。? (A) (B) (C) (D) 9．用數(shù)學歸納法證明不等式“”時的過程中，由到時，不等式的左邊（ ） （A）增加了一項 （B）增加了兩項 （C）增加了兩項，又減少了； （D）增加了一項，又減少了一項； 10、如圖是導函數(shù)的圖象，那么函數(shù)在下面哪個區(qū)間是減函數(shù)（ ） （A） （B） （C） （D） 11．設(shè)底面

4、為等邊三角形的直棱柱的體積為，則其表面積最小時，底面邊長為（ ） （Ａ）　　　　?。ǎ拢? （Ｃ）　　 　　?。―） 12．點是曲線上任意一點, 則點到直線的距離的最小值是（　 ） (A) １ 　　 (B) 　 (C) ２ 　 (D) 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡相應(yīng)題中橫線上）。 13. 設(shè)復數(shù)z的模為17,虛部為- 8,則復數(shù)z=_________； 14. 曲線y=f(x)=x2+1在點P(1,2)處的切線方程為____________

5、； 15. 設(shè)，當時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______； 16． ____________。 三、解答題：（本大題共5小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。把答案寫在答題卡相應(yīng)題目的位置，寫錯位置的不給分） 17．（本小題10分）已知復數(shù)z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；當實數(shù)m取什么值時，復數(shù)z是： （1）零；(2)純虛數(shù)． 18. （本小題12分） 求函數(shù)y=2x3-6x2+7的單調(diào)增區(qū)間。 19. （本小題12分） 已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在點x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，若x

6、＝時，y＝f(x)有極值． (1)求a，b，c的值； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值． 20.（本小題12分） 已知數(shù)列的前項和． （1）計算，，，； （2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結(jié)論． 21. （本小題12分） 已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. (1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若f (x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f (x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍． 22. （本小題12分） 已知函數(shù)f(x)＝xln x. (1

7、)求函數(shù)f(x)的極值點； (2)設(shè)函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)) 答案 A B C B C A C D C A C D 高二數(shù)學(理科)答案 13. 14. y=2x 15. 16. 10 17. 解析　(1)由得m＝1，即當m＝1時，z＝0. (2)由得m＝0.即當m＝0時，z是純虛數(shù)． 18. (-∞,0),(2,+∞) 19. 解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

8、 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 當x＝1時，切線l的斜率為3，可得2a＋b＝0.① 當x＝時，y＝f(x)有極值， 則f′＝0，可得4a＋3b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝－4. 由于切點的橫坐標為x＝1，∴f(1)＝4， ∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5. ∴a＝2，b＝－4，c＝5. (2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5， ∴f′(x)＝3x2＋4x－4， 令f′ (x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當x變化時，y、y′的取值及變化如下表： x －3 (－3，－2) －2 1 y′ ＋ 0 － 0 ＋

9、 y 8 單調(diào)遞增↗ 13 單調(diào)遞減↘ 單調(diào)遞增↗ 4 ∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值為13，最小值為. 20.解：（1）依題設(shè)可得，，，； （2）猜想：． 證明：①當時，猜想顯然成立． ②假設(shè)時，猜想成立，即． 那么，當時，，即． 又，所以， 從而．即時，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立． 21.解　(1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)． 當a<0時，對x∈R，有f ′(x)>0， ∴當a<0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，＋∞)． 當a>0時，由f′(x)>0，解得x<－或x>； 由f′(x)<0，解得－

10、當a>0時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－)， (，＋∞)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－，)． (2)∵f(x)在x＝－1處取得極值， ∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1. ∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3. 由f′(x)＝0解得x1＝－1，x2＝1. 由(1)中f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x＝－1處取得極大值f (－1)＝1，在x＝1處取得極小 值f(1)＝－3. ∵直線y＝m與函數(shù)y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，∴結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m 的取值范圍是(－3,1)． 22. 解　(1)f′(x)＝ln x＋1，x>0， 由

11、f′(x)＝0得x＝， 所以，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減， 在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增． 所以，x＝是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在． (2)g(x)＝xln x－a(x－1)，則g′(x)＝ln x＋1－a， 由g′(x)＝0，得x＝ea－1， 所以，在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為減函數(shù)， 在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為增函數(shù)， 所以x＝ea－1是極小值點． 以下對極小值點是否在[1，e]上作分類討論． 當ea－1≤1，即a≤1時，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為增函數(shù)， 所以g(x)的最小值為g(1)＝0. 當1