2022年高三數(shù)學10月月考試題 文（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學10月月考試題 文（含解析） 第Ｉ卷 【試卷綜析】試卷全面考查了考試說明中要求的內(nèi)容，如復(fù)數(shù)、旋轉(zhuǎn)體、簡易邏輯試卷都有所考查。在全面考查的前提下，高中數(shù)學的主干知識如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線、概率統(tǒng)計等仍然是支撐整份試卷的主體內(nèi)容，尤其是解答題，涉及內(nèi)容均是高中數(shù)學的重點知識。明確了中學數(shù)學的教學方向和考生的學習方向。注重考查數(shù)學的各種思想和能力 ?函數(shù)與方程的思想、變換的思想、充分體現(xiàn)，挖掘考生的各項數(shù)學能力、體現(xiàn)寬口徑，多角度的命題思路.? 一、選擇題（本大題10個小題，每題5分，共50分,請將答案涂在答題卡上) 【題文】1．已知集合A={}

2、，集合B為整數(shù)集，則AB=（ ） A. B. C. D. 【知識點】交集及其運算．A1 【答案解析】D 解析：由（x+1）（﹣x+2）≥0，得﹣1≤x≤2， ∴A={x|（x+1）（﹣x+2）≥0}={x|﹣1≤x≤2}，又B為整數(shù)集，則A∩B={﹣1，0，1，2}． 故選：D． 【思路點撥】求解一元二次不等式化簡集合A，然后直接利用交集運算得答案． 【題文】2．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ） A.向左平移個

3、單位長度 B.向右平移個單位長度 C.向左平移1個單位長度 D.向右平移1個單位長度 【知識點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． C4 【答案解析】A 解析：因為函數(shù)y=cos（2x+1）=cos[2（x+）]， 所以要得到函數(shù)y=cos（2x+1）的圖象，只要將函數(shù)y=cos2x 的圖象向左平移個單位． 故選A． 【思路點撥】化簡函數(shù)y=cos（2x+1），然后直接利用平移原則，推出平移的單位與方向即可． 【題文】3．已知，其中是虛數(shù)單位，那么實數(shù)的值為（ ） A. 1

4、 B. 2 C. D. 【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．L4 【答案解析】C 解析：利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出． 【思路點撥】∵（a﹣i）2=2i，∴a2﹣1﹣2ai=2i，∴，解得a=﹣1．故選：C． 【題文】4．若則一定有（ ） A. B. C. D. 【知識點】不等式的基本性質(zhì)． E1 【答案解析】D 解析：∵c＞d＞0，∴＞0，∵a＞b＞0，∴．故選：D． 【思路點撥】利用不等式的基本性質(zhì)即可得出．

5、【題文】5．若是的對稱軸，則的初相是（ ） A. B. C. D. 【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)． C5 【答案解析】C 解析：已知x=﹣是f（x）=cosx+asinx的對稱軸， 所以cos（﹣）+asin（﹣）= ，解得：a=﹣ ， 則：f（x）=cosx﹣sinx=2sin（x+），故選：C． 【思路點撥】首先根據(jù)函數(shù)的對稱軸建立關(guān)于a的方程求出a值，進一步對f（x）=cosx+asinx的關(guān)系進行恒等變換，整理成f（x）=2sin（x+）的形式，最后求出結(jié)果． 【題文】6．

6、已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列（ ） A.一定是等差數(shù)列 B.一定是等比數(shù)列 C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列 D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列 【知識點】等比關(guān)系的確定． D3 【答案解析】 解析：①當a=1時，Sn=0，且a1=a﹣1=0， an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an﹣1﹣1）=0，（n＞1） an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=0，∴an﹣an﹣1=0， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列． ②當a≠1時，a1=a﹣1， an=Sn﹣Sn﹣1=（an﹣1）﹣（an

7、﹣1﹣1）=an﹣an﹣1，（n＞1） an﹣1=Sn﹣1﹣Sn﹣2=（an﹣1﹣1）﹣（an﹣2﹣1）=an﹣1﹣an﹣2，（n＞2） ，（n＞2）∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列． 綜上所述，數(shù)列{an}或是等差數(shù)列或是等比數(shù)列．故選C． 【思路點撥】由題意可知，當a=1時，Sn=0，判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列；當a≠1時，利用 ，判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列． 【題文】7．如圖所示的莖葉圖表示甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為（ ） A. B. C.

8、D. 【知識點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；莖葉圖． I2 【答案解析】C 解析：由已知中的莖葉圖可得 甲的5次綜合測評中的成績分別為88，89，90，91，92， 則甲的平均成績==90 設(shè)污損數(shù)字為X， 則乙的5次綜合測評中的成績分別為83，83，87，99，90+X 則乙的平均成績==88.4+ 當X=8或9時，≤ 即甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為= 則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率P=1﹣= 故選C 【思路點撥】由已知的莖葉圖，我們可以求出甲乙兩人的平均成績，然后求出≤即甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率，進而根據(jù)對立事件減法公式得到答案． 【題

9、文】8．某程序框圖如圖所示，若使輸出的結(jié)果不大于 37，則輸入的整數(shù)i的最大值為（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【知識點】循環(huán)結(jié)構(gòu). L1 L2 【答案解析】C 解析：經(jīng)過第一次循環(huán)得到S=2，n=1， 經(jīng)過第二次循環(huán)得到S=5，n=2， 經(jīng)過第三次循環(huán)得到S=10，n=3， 經(jīng)過第四次循環(huán)得到S=19，n=4， 經(jīng)過第五次循環(huán)得到S=36，n=5， 經(jīng)過第六次循環(huán)得到S=69，n=6， ∵輸出的結(jié)果不大于37，∴n的最大值為4， ∴i的最大值為5. 故選C 【思路點撥】按照程序框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果， 據(jù)題

10、目對輸出s的要求，求出n的最大值， 據(jù)判斷框中n與i的關(guān)系求出i的最大值． 【題文】9．用C(A)表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=.若A={1,2},B=，且A*B=1， 設(shè)實數(shù)的所有可能取值集合是S，則C(S)=（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【知識點】集合的確定性、互異性、無序性． A1 【答案解析】B 解析：由于（x2+ax）（x2+ax+2）=0等價于x2+ax=0 ① 或x2+ax+2=0 ②， 又由A={1，2}，且A*B=1，∴集合B要么是單元素集合

11、，要么是三元素集合， 1°集合B是單元素集合，則方程①有兩相等實根，②無實數(shù)根，∴a=0； 2°集合B是三元素集合，則方程①有兩不相等實根，②有兩個相等且異于①的實數(shù)根， 即，解得a=±2，綜上所述a=0或a=±2，∴C（S）=3． 故答案為 B． 【思路點撥】根據(jù)A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，可知集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，然后對方程|x2+ax+1|=1的根的個數(shù)進行討論，即可求得a的所有可能值，進而可求C（S）． 【題文】10．如圖所示，等邊△ABC的邊長為2，D為AC中點，且△ADE也是等邊三角形，在△ADE以

12、點A為中心向下轉(zhuǎn)動到穩(wěn)定位置的過程中，的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算． F3 【答案解析】A 解析：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ， 則?=（﹣）?（﹣）=?﹣?﹣?+?= =1×1×cos﹣1×2×cos（）﹣2×1×cos（）+2×2×cos =﹣2（cosθ+sinθ+cosθ﹣sinθ）=﹣2cosθ， 由于0≤θ≤，則≤cosθ≤1，則≤﹣2cosθ≤．故選：A． 【思路點撥】設(shè)∠BAD

13、=θ，（0≤θ≤），則∠CAE=θ，則=（﹣）?（﹣），將其展開，運用向量的數(shù)量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡得到﹣2cosθ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍． 第Ⅱ卷 二．填空題（本大題5個小題，每題5分，共25分，請把答案填在答題卡上） 【題文】11．等比數(shù)列的前項和為，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比為____________。 【知識點】等比數(shù)列的性質(zhì)． D3 【答案解析】 解析：∵等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，2S2，3S3成等差數(shù)列， ∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a

14、1q+a1q2），解．故答案為 . 【思路點撥】先根據(jù)等差中項可知4S2=S1+3S3，利用等比賽數(shù)列的求和公式用a1和q分別表示出S1，S2和S3，代入即可求得q． 【題文】12．已知函數(shù)則滿足不等式的取值范圍是 . 【知識點】分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；其他不等式的解法． B1 B8 E1 【答案解析】（﹣1，﹣1） 解析：由題意，可得 故答案為：. 【思路點撥】由題意f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，而x＜0時，f（x）=1，故滿足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需滿足，解出x即可． 【題文】13．已知直線l過點，且與曲線相切，則直線的方程為

15、 。 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． B12菁 【答案解析】x﹣y﹣1=0 解析：∵f（x）=xlnx， ∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx， 設(shè)切點坐標為（x0，x0lnx0）， ∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）處的切線方程為y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0）， ∵切線l過點（0，﹣1），∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0）， 解得x0=1，∴直線l的方程為：y=x﹣1．即直線方程為x﹣y﹣1=0， 故答案為：x﹣y﹣1=0． 【思路點撥】設(shè)出切點坐標，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，

16、由點斜式求出切線方程，代入點（0，﹣1），解方程即可得到結(jié)論． 【題文】14．已知函數(shù)，則= 。 【知識點】函數(shù)的值． B1 【答案解析】 解析：∵﹣10＜0，∴f（﹣10）=lg10=1 ∵1＞0，∴f（1）=2﹣1=，故答案為． 【思路點撥】求f[f（﹣10）]的值可從內(nèi)往外逐一脫去“f”，f[f（﹣10）]=f（1）即可解得． 【題文】15．已知函數(shù)的定義域為[]，部分對應(yīng)值如下表： 0 4 5 1 2 2 1 的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，下列關(guān)于的 命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)在[0,2]上是減 函數(shù)；③如果當時，的

17、最大值是2，那么的 最大值是4；④當時，函數(shù)有4個零點； ⑤函數(shù)的零點個數(shù)可能為0，1，2，3，4個.其中正確命題的序號是_____________（寫出所有正確命題的序號）. 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)的周期性；函數(shù)的零點；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．B12 B4 B9 B3菁 【答案解析】②⑤ 解析：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象可由以下兩種代表形式，如圖： 由圖得：①為假命題．函數(shù)f（x）不能斷定為是周期函數(shù)． ②為真命題，因為在[0，2]上導(dǎo)函數(shù)為負，故原函數(shù)遞減； ③為假命題，當t=5時，也滿足x∈[﹣1，t]時，f（x）的最

18、大值是2； ④為假命題，當a離1非常接近時，對于第二個圖，y=f（x）﹣a有2個零點，也可以是3個零點． ⑤為真命題，動直線y=a與y=f（x）圖象交點個數(shù)可以為0、1、2、3、4個，故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點個數(shù)可能為0、1、2、3、4個． 綜上得：真命題只有②⑤． 故答案為：②⑤ 【思路點撥】先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對五個命題，一一進行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進行排除即可得到答案． 三．解答題：（本大題共6小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。） 【題文】16．（12分）已知數(shù)列是等差數(shù)列，是

19、等比數(shù)列，。 （1）求數(shù)列、的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列中，，求數(shù)列的前n項和Sn. 【知識點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． D3 D2菁 【答案解析】（1）（1）， ； （2）Sn=. 解析：（1）在等差數(shù)列{an}中，由a1=1，a3=3，得， ∴an=1+1×（n﹣1）=n． 在等比數(shù)列}{bn}中，由b2=4，b5=32，得，q=2． ∴； （2）cn=an?bn=n?2n． 則Sn=1?21+2?22+3?23+…+n?2n ①， ②， ①﹣②得：=． ∴Sn=（n﹣1）?2n+1+2． 【思路點撥】(1)直接由已知求出等差數(shù)

20、列的公差和等比數(shù)列的公比，代入等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式得答案； （2）把數(shù)列{an}、{bn}的通項公式代入cn=an?bn，然后利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Sn． 【題文】17．（12分）已知向量. （1）求的最小正周期和單調(diào)減區(qū)間； （2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為，若，求的值. 【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． F3 C4 【答案解析】（1）周期 ， 單調(diào)減區(qū)間：；（2） 解析：（1）∵向量=（cos

21、x+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）． f（x）=?=cos2x﹣sin2x=sin（2x+）， ∴函數(shù)的周期為=π， ∵2kπ+≤2x+2kπ，k∈z，∴kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z， 所以函數(shù)的周期為=π，[kπ，kπ]，k∈z （2）∵將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變， ∴g（x）=cosx，∵f（）=0，g（B）=，b=2，∴sin（A+）=0，cosB=， ∵在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c， ∴A=，B=∵，b=2∴得：，即a=， 【思路點撥】（1）向量=（

22、cosx+sinx，2cosx），=（cosx﹣sinx，﹣sinx）． f（x）=?=cos2x﹣sin2x=sin（2x+），運用三角函數(shù)的圖象的性質(zhì)求解． （2）利用函數(shù)圖象平移求出g（x）解析式，代入利用已知條件求解． 【題文】18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是邊長為6的正三角形。 （1）求證：平面DEC⊥平面BDE； （2）求二面角C—BE—D的余弦值. 【知識點】平面與平面垂直的判定；二面角的平面角及求法． G5 G11 【答案解析】(1)證明：略；（2）.解

23、析：（1）證明：因為四邊形ABCD為直角梯形， AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，所以BD=， 又因為BC=7，CD=6，所以根據(jù)勾股定理可得BD⊥CD， 因為BE=7，DE=6，同理可得BD⊥DE． 因為DE∩CD=D，DE?平面DEC，CD?平面DEC，所以BD⊥平面DEC． 因為BD?平面BDE，所以平面DEC⊥平面BDE； （2）解：在△CBE中，BC=7，CE=6，BE=7，∴S△CBE==6， 在△BED中，BD=，DE=6，BE=7，∴S△BED==3， ∴二面角C﹣BE﹣D的余弦值為=． 【思路點撥】（1）根據(jù)勾股定理證明BD⊥CD，BD⊥DE，可得

24、BD⊥平面DEC，利用平面與平面垂直的判定定理，即可證明平面DEC⊥平面BDE； （2）求出S△CBE、S△BED，即可求二面角C﹣BE﹣D的余弦值． 【題文】19．（12分）從標有1，2，3，…，7的7個小球中取出一個球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一個球，記下它上面的數(shù)字，然后把兩球上的數(shù)字相加，求取出兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率. 【知識點】古典概型及其概率計算公式．K2 【答案解析】 解析：從標有1，2，3，…，7的7個小球中取出一個球，記下它上面的數(shù)字，放回后再取出一個球，記下它上面的數(shù)字，共有7×7=49種不同情況， 其中兩球上的數(shù)字之和大于11或者能

25、被4整除的事件有： （1，3），（1，7），（2，2），（2，6），（3，1），（3，5），（4，4），（5，3）， （5，7），（6，2），（6，6），（7，1），（7，5），（6，7），（7，6），（7，7），共16種， 故取出兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的概率P= . 【思路點撥】本題先求出有放回的收取兩個小球的取法總數(shù)，和兩球上的數(shù)字之和大于11或者能被4整除的取法個數(shù)，代入古典概型概率計算公式，可得答案． 【題文】20．（13分）已知數(shù)列滿足，前n項和為Sn，Sn=。 （1）求證：是等比數(shù)列； （2）記，當時是否存在正整數(shù)m，都有？如果存在，求出m的

26、值；如果不存在，請說明理由. 【知識點】數(shù)列遞推式．D5 【答案解析】(1)證明：略；（2）當時存在正整數(shù)m=4，都有 . 解析：（1）證明：∵，∴Sn﹣1=（1+an﹣1）． 兩式相減得， 故{an}是等比數(shù)列． （2）解：， ∵lna＜0，∴， 若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)， ， 當，即 時，b2k+2＜b2k， 又b4＞b2，k≥2時b4＞b6＞b8＞… ∴存在m=4，滿足題意． 【思路點撥】（1）由已知推導(dǎo)出，由此能證明{an}是等比數(shù)列． （2）由，得若存在滿足條件的正整數(shù)m，則m為偶數(shù)，，由此能求出存在m=4，滿足題意． 【題文】21．（14

27、分）設(shè)函數(shù)，其中. （1）若，求在[1,4]上的最值； （2）若在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)的取值范圍； 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．B12 【答案解析】（1）；（2）0＜a＜ . 解析：（1）a=﹣6，f（x）=x2﹣x+alnx， ∴f′（x）=，x＞0 ∴x∈[1，2]，f′（x）≤0，x∈[2，4]，f′（x）≥0， ∴f（x）min=f（2）=2﹣6ln2，f（x）max= max{f（1），f（4）}， ∵f（1）=0，f（4）=12﹣12ln2＞0， ∴f（x）max=12﹣12ln2； （2）∵函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值， ∴f′（x）==0在（0， +∞）內(nèi)有兩個不等實根， ∴2x2﹣x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根， 令g（x）=2x2﹣x+a，則， 解得0＜a＜． 【思路點撥】（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[1，4]上的最值； （2）函數(shù)f（x）既有極大值，又有極小值，f′（x）==0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，可得2x2﹣x+a=0在（0，+∞）內(nèi)有兩個不等實根，即可求實數(shù)a的取值范圍；