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1、2022年高三數(shù)學(xué)10月月考試題 理(III)
2015-10-15
注意事項(xiàng)：
1、考生務(wù)必將自己的姓名、考好、考試科目星系等填涂在答題卷上；
2、選擇題、綜合題均完成在答題卷上；
3、考試結(jié)束，監(jiān)考人員將答題卷收回。
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時(shí)間120分鐘
第Ⅰ卷
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.若集合，則是( )
A. B.
C. D.
2.如果(3+i)z =10i（其中，
2、則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A. -1+3i B.1-3i C.1+3i D.-1-3i
3.設(shè)向量，向量，向量，則向量（ ）
A．－15 B.0 C. －11 D. －3
4.已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（ ）
A. B.若，則
輸入
開(kāi)始
輸出
結(jié)束
否
是
C.若，則 D.
5.已知雙曲線與拋物線
有一個(gè)公共的焦點(diǎn)，且兩曲線的一個(gè)
交點(diǎn)為，若，則雙曲線的漸近線方程
為( )
A．
3、B．
C． D．
6.的展開(kāi)式 的系數(shù)是（ ）
A.-6 B.-3 C.0 D.3
7.如圖所示的程序框圖的輸入值，則輸
出值的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
數(shù)學(xué)理科試卷 第1頁(yè)（共4頁(yè)）
8.假如某天我校某班有3男2女五位同學(xué)均獲某年北大、清華、復(fù)旦三大名校的
保送資格，那么恰有2男1女三位同學(xué)保送北大的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，平面是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，若，則球的表面積為（ ）
A． B．
4、 C． D．
10.函數(shù)的圖象是（ ）
y
x
O
y
x
O
y
x
O
y
x
O
A．
B．
C．
D．
F
E
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
N
M
Q
P
G
11．已知點(diǎn)分別是正方的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上. 以為頂點(diǎn)的三棱錐的俯視圖不可能是（ ）
D
C
A
B
12．已知函數(shù)對(duì)于使得成立，則的最小值為( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本
5、卷包括必考題和選考題兩部分。第13題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22題～第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分。
13.已知函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)
14.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，
則
15．已知約束條件若目標(biāo)函數(shù)恰好在點(diǎn)處取到最大值，則的取值范圍為 ．
16.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩
數(shù)學(xué)理科試卷 第2頁(yè)（共4頁(yè)）
點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于，，設(shè)與的面積分別為、則
三、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17.
6、（本小題滿分12分）
在中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是，且．
（Ⅰ）求角的大??；
（Ⅱ）求的取值范圍．
18.（本小題滿分12分）
某大學(xué)的一個(gè)社會(huì)實(shí)踐調(diào)查小組,在對(duì)大學(xué)生的良好“光盤(pán)習(xí)慣”的調(diào)査中,隨機(jī)發(fā)放了l20份問(wèn)巻。對(duì)收回的l00份有效問(wèn)卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下2 x2列聯(lián)表:
做不到光盤(pán)
能做到光盤(pán)
合計(jì)
男
45
10
55
女
30
15
45
合計(jì)
75
25
100
（1）現(xiàn)已按是否能做到光盤(pán)分層從45份女生問(wèn)卷中抽取了9份問(wèn)卷，若從這9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽取4份，并記其中能做到光盤(pán)的問(wèn)卷的份數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)
7、學(xué)期望
（2）如果認(rèn)為良好“光盤(pán)習(xí)慣”與性別有關(guān)犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)P，那么根據(jù)臨界值表最精確的P的值應(yīng)為多少？請(qǐng)說(shuō)明理由。
附：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2=, 其中n=a+b+c+d，
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界表：
P(K2k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k0
1.323
2.072
2.706
3.840
5.024
P
D
B1
C1
A1
C
B
A
19.（本小題滿分12分）
如圖,在直三棱柱中，平面，
其垂足落在直線上．
（1）求證：⊥
（2）若，，為的中點(diǎn)，
求二面角的余弦值.
20.（本小題滿
8、分12分）
已知定圓，動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)且與圓相切，記圓心的軌跡為
（1）求軌跡的方程；
數(shù)學(xué)理科試卷 第3頁(yè)（共4頁(yè)）
（2）設(shè)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程。
21.（本題滿分12分）
已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè),討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)已知且,證明:
請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一小題計(jì)分。作答時(shí)請(qǐng)寫(xiě)清題號(hào)。
A
C
B
D
E
F
22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，過(guò)圓外一點(diǎn)作一條直線與
9、圓交于
兩點(diǎn)，且，作直線與圓相切于
點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，已知圓的半徑為2，
（Ⅰ）求的長(zhǎng)；
（Ⅱ）求證：.
23. （本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy?中，曲線C1的參數(shù)方程為:（為參數(shù)），M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2.
(1)求C2的方程;
(2)在以O(shè)為極點(diǎn)，x?軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)
（1）解不等式；
（2）對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
10、
數(shù)學(xué)理科參考答案：
一、選擇題：1—4 CBDD 5—8 BABD 9-12 CACA
二．填空題：13. 14. 15. 16.
17.解（Ⅰ）由余弦定理可得：，即，
∴，由得． ………5分
（Ⅱ）由得，，………6分
∴
．………9分
∵ ，∴ ，………10分
∴ ，………11分
∴ 的取值范圍為．………12分
18.解：（1）因?yàn)?份女生問(wèn)卷是用分層抽樣方法取得的，所以9份問(wèn)卷中有6份做不到光盤(pán)，3份能做到光盤(pán)。……………………2分
因?yàn)楸硎緩倪@9份問(wèn)卷中隨機(jī)抽出的4份中能做到光盤(pán)的問(wèn)卷份數(shù)，所以有的可能取值，又9
11、份問(wèn)卷中每份被取到的機(jī)會(huì)均等，所以隨機(jī)變量服從超幾何分布，可得到隨機(jī)變量的分布列為：
隨機(jī)變量的分布列可列表如下：
…6分
所以……………………8分
（2）…10分
因?yàn)?所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為良好“光盤(pán)習(xí)慣”與性別有關(guān)，即精確的值應(yīng)為……………12分
19.(1)證明：三棱柱 為直三棱柱，
平面，又平面，
平面，且平面，
. 又 平面,平面,
P
D
B1
C1
A1
C
B
12、A
，
平面， 又平面，
⊥ ………………5分
(2)由（1）知,如圖,以B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
平面，其垂足落在直線上,
.
在中，，AB=2，
,
在直三棱柱 中，. 在中，
, ………7分
則(0,0,0),,C（2，0，0）,P（1，1，0）,（0，2，2）,
（0，2，2）
設(shè)平面的一個(gè)法向量
則 即 可得 ………10分
設(shè)平面的一個(gè)法向量
則 即
可得
平面與平面的夾角的余弦值是 ………12分
（或在中，，AB=2,則BD=1 可得D(
平面與平面的夾角的余弦值是
13、）
20.解：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓N內(nèi)切于圓M，因?yàn)閨NM|+|NF|=4＞|FM|，所以點(diǎn)N的軌跡E為橢圓，且，所以b=1，所以軌跡E的方程為．………4分
（Ⅱ）（i）當(dāng)AB為長(zhǎng)軸（或短軸）時(shí)，依題意知，點(diǎn)C就是橢圓的上下頂點(diǎn)（或左右頂點(diǎn)），此時(shí)．………5分
（ii）當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其斜率為，直線AB的方程為，
聯(lián)立方程得，
所以|OA|2=．………7分
由|AC|=|CB|知，△ABC為等腰三角形，O為AB的中點(diǎn)，OC⊥AB，所以直線OC的方程為，
由解得，=，，………9分
S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=，
由于，
所以，………1
14、1分
當(dāng)且僅當(dāng)1+4k2=k2+4，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)△ABC面積的最小值是，
因?yàn)?，所以△ABC面積的最小值為，此時(shí)直線AB的方程為或．………12分
21.解：（Ⅰ） 所以……1分
由題意,得……3分
(Ⅱ)，所以……4分
設(shè)
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，，
所以，故在上為增函數(shù)； ……………5分
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，，
所以，故在上為增函數(shù)；
所以在區(qū)間和都是單調(diào)遞增的。 ……………8分
(Ⅲ)因?yàn)?，由（Ⅱ）知成立?
即，………9分
從而，即 所以?！?2分
22.解：（1）延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連結(jié)，則，
又，所以，
又可知，所以
根據(jù)切割線定理得，即………
15、…5分
（2）證明：過(guò)作于，則，從而有，又由題意知所以，因此，
即……10分
23.解：（1）設(shè)P(x,y),則由條件知M().由于M點(diǎn)在C1上，所以
從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)）………5分
（2）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。
射線與的交點(diǎn)的極徑為，
射線與的交點(diǎn)的極徑為。
所以.…………10分
244
3
x
y
．解：（1）-2 當(dāng)時(shí)，, 即，∴；
當(dāng)時(shí)，,即,∴
當(dāng)時(shí)，, 即, ∴16
綜上，{|6} ………5分
（2） 函數(shù)的圖像如圖所示：
令，表示直線的縱截距，當(dāng)直線過(guò)(1,3)點(diǎn)時(shí)，；
∴當(dāng)-2，即-2時(shí)成立； …………………8分
當(dāng)，即時(shí)，令， 得,
∴2+,即4時(shí)成立，綜上-2或4。 …………10分
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