2022年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二

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1、高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間： 班級(jí)： 組別： 2022年高中數(shù)學(xué) 不等式的均值定理學(xué)案 新人教B版必修5高二 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號(hào)成立的條件； 2．理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，會(huì)用均值定理去解實(shí)際簡(jiǎn)單的最值問題。 自主學(xué)習(xí) 1．不等式的對(duì)稱性用字母可以表示為 ． 2．不等式的傳遞性用字母可以表示為____________________． 3．不等式的加減法則是指不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或整

2、式）不等號(hào)方向不變，用字母可以表示為 ；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向不等式可以相加，用字母可以表示為 ． 4．不等式的乘法法則是指不等式兩邊都乘以同一個(gè)不為零的正數(shù)，不等號(hào)方向不變用字母可以表示為 ；同時(shí)乘以同一個(gè)不為零的負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變，用字母可以表示為 ；由此性質(zhì)和傳遞性可以得到兩個(gè)同向同正的不等式具有可乘性，用字母可以表示為 。 5．乘方、開方法則要注意性質(zhì)僅針對(duì)于正數(shù)而言，若底數(shù)（或被開方數(shù)）為負(fù)數(shù)

3、時(shí)，需先變形。如：a

4、的一個(gè)幾何直觀解釋，以加深同學(xué)們對(duì)均值不等式的理解。 我們可以令正實(shí)數(shù)為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方法，作出長(zhǎng)度為和的兩條線段，然后比較這兩條線段的長(zhǎng)。 具體作圖如下： ⑴作線段，使 ⑵以AB為直徑作半圓O; ⑶過D點(diǎn)作CD⊥AB于D，交半圓于點(diǎn)C； ⑷連接AC,BC,OC,則。 例1已知求證：，并推導(dǎo)出式中等號(hào)成立的條件。 例2（1）一個(gè)矩形的面積為100。問這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最短？最短周長(zhǎng)是多少？ （2）已知矩形的周長(zhǎng)為36。問這個(gè)矩形的長(zhǎng)和寬各為多少時(shí)，它的面積最大？最大面積是多少？ 由例2的求解過程，可以總

5、結(jié)出以下規(guī)律： 例3求函數(shù)的最大值，以及此時(shí)的值。 鞏固檢測(cè) 1、若a、b為正數(shù)且a+b=4，則ab的最大值是________． 2、已知x>1.5，則函數(shù)y＝2x+的最小值是_________． 高二數(shù)學(xué) 必修五 NO 使用時(shí)間： 班級(jí)： 組別： 課題：均值不等式二學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1．掌握均值定理的內(nèi)容，特別是等號(hào)成立的條件； 2．進(jìn)一步理解均值定理的內(nèi)容及幾何意義，靈活運(yùn)用均值定理去解決實(shí)際簡(jiǎn)單的最值問題。 自主學(xué)習(xí) ⒈正數(shù)a

6、、b的算術(shù)平均數(shù)為 ；幾何平均數(shù)為 ． ⒉均值不等式是 。其中前者是 ，后者是 ．如何給出幾何解釋？ ⒊在均值不等式中a、b既可以表示數(shù)，又可以表示代數(shù)式，但都必須保證 ；另外等號(hào)成立的條件是 ． ⒋試根據(jù)均值不等式寫出下列變形形式，并注明所需條件） （1）a2+b2 ( ) （2） （ ） （3）＋ （ ） （4

7、）x＋ (x>0) （5）x＋ (x<0) （6）ab≤ （ ） ⒌在用均值不等式求最大值和最小值時(shí)，必須注意a+b或ab是否為 值，并且還需要注意等號(hào)是否成立． 6．⑴函數(shù)f(x)=x(2－x)的最大值是 ；此時(shí)x的值為___________________；． ⑵函數(shù)f(x)=2x(2－x)的最大值是 ；此時(shí)x的值為___________________； ⑶函數(shù)f(x)=x(2－2x)的最大值是

8、 ；此時(shí)x的值為___________________； ⑷函數(shù)f(x)=x(2＋x)的最小值是 ；此時(shí)x的值為___________________。 合作探究 例⒈已知a、b、c∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求證 ++≥9． 例⒉（1）已知x<，求函數(shù)y=4x－2+的最大值． （2）已知x>0，y>0，且＝1，求x＋y的最小值。 （3）已知a、b為常數(shù)，求函數(shù)y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。 鞏固檢測(cè) 一． 選擇題： ?、毕铝忻}正確的是（

9、　　　　） Ａ．a(chǎn)2+1>2a Ｂ．│x+│≥2 Ｃ．≤2 Ｄ．sinx+最小值 ?、惨韵赂髅}(1)x2+的最小值是1；（2）最小值是2；(3)若a>0,b>0,a+b=1則（a+）(b+)的最小值是4，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　　?。? 　　Ａ．0　　　　　　　　?。拢?　　　　　　　?。茫?　　　　　　?。模? 　⒊設(shè)a>0,b>0則不成立的不等式為（　　　　?。? Ａ．＋≥2　　　　　　　 Ｂ．a(chǎn)2+b2≥2ab　　　　　　 Ｃ．＋≥a＋b　　　　　 Ｄ．2+ 　⒋設(shè)a、bR＋，若a+b=2，則的最小值等于（　　　　?。? Ａ．1　　　　?。?/p>

10、．2 Ｃ．3　　　　　?。模? ?、狄阎猘b>0，下列不等式錯(cuò)誤的是（　　　　?。? ?。粒產(chǎn)2+b2≥2ab　　?。拢　。茫　。模? 1．； 2．≥；算術(shù)平均數(shù)；幾何平均數(shù)；圓中的相交弦定理的推論（略）。 3．a(chǎn)，b∈R＋；a=b 4．⑴≥2ab（a,b∈R）⑵≥( a，b∈R＋)⑶≥2（a、b同號(hào)）或≤－2（a、b異號(hào)） ⑷≥2⑸≤－2⑹≤（）2（a,b∈R）； 5．定。 6．⑴1，1；⑵2，1；⑶，；⑷－1，－1。 【典例解析】 例1．解析：原式＝（ ++）（a+b+c）＝3＋（）＋（）＋（）≥3＋2＋2＋2＝9當(dāng)且僅當(dāng)a=b=

11、c=時(shí)取等號(hào)。 例⒉解析： （1）∵x< ∴4x-5<0 ∴y=4x－2+=(4x-5)++3≤－2＋3＝1當(dāng)且僅當(dāng)4x-5＝時(shí)即4x-5＝－1，x＝1時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)x＝1時(shí)，取最大值是1 （2）解法一、原式＝（x＋y）（）＝+10≥6＋10＝16當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立，又＝1∴x=4,y=12時(shí)，取得最小值16。 解法二、由＝1得（x-1）(y-9)=9為定值，又依題意可知x>1，y>9∴當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9=3時(shí)即x=4，y=12時(shí)，取最小值16。 （3）解法一、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題（略） 解法二、∵≥（∴y=(x-a)2+(x-b)2＝y(tǒng)=(x-a)2+(b-x)2≥2[]2＝，當(dāng)且僅當(dāng)x-a=b-x即x=時(shí)，等號(hào)成立。∴當(dāng)x=時(shí)取得最小值。 一元二次不等式及其解法 例1解不等式： （1） （2）。 例2解不等式。 例3解不等式。 例4解不等式。 例5求函數(shù)的定義域。