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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理(VII)
注意事項(xiàng):
1.本試卷分為第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷為選擇題,第Ⅱ卷為非選擇題,考試時(shí)間為120分鐘,
滿分150分.
2.把選擇題選出的答案標(biāo)號(hào)涂在答題卡上.
3.第Ⅱ卷用黑色簽字筆在答題紙規(guī)定的位置作答,否則不予評(píng)分.
一.選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1、已知全集,,則( )
A. B. C. D.
2、若為實(shí)數(shù),且,則a=( )
A. 一4
2、B. 一3 C. 3 D. 4
3、下列命題中正確的個(gè)數(shù)是( )
①若是的必要而不充分條件,則是的充分而不必要條件;
②命題“對(duì)任意,都有”的否定為“存在,使得”;
③若p∧q為假命題,則p與q均為假命題;
④命題“若x2—4x+3=0,則x=3”的逆否命題是“若x≠3,則x2-4x+3≠0”
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
4、把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將圖象向右平移個(gè)單位,那么所得圖象的一條對(duì)稱軸方程為( )
A. B
3、. C. D.
5、已知函數(shù),其中,則的展開式中的系數(shù)為( )
A. 120 B. C. 60 D . 0
6、已知變量滿足約束條件,則的最大值為( )
(A) (B) (C) (D)
7、若,,則的值為( )
A. B. C. D.
8、在銳角中,角所對(duì)的邊分別為,若,,,
則的值為( )
A. B. C. D.
9、如圖,設(shè)E,F(xiàn)分別是Rt△ABC的斜邊B
4、C上的兩個(gè)三等分點(diǎn),已知AB=3,AC=6,則·=( )
A.8 B.10 C.11 D.12
10、已知函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的任意都有,且當(dāng)時(shí),其導(dǎo)數(shù)滿足,若,則( )
第Ⅱ卷 非選擇題(共100分)
二.填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
11、已知函數(shù),則= .
12、若存在,使不等式成立,則實(shí)數(shù)的最小值為 .
13、已知與的夾角為,若,且,則在方向上的正射影的數(shù)量為 .
14、已知向量==,若,則的最小值為 .
15、
5、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
三.解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16、(本題滿分12分)已知,,,()
(1)求函數(shù)的值域;
(2)設(shè)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,求的值.
17、(本題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°
(I)求證:PB⊥AD;
(II)若PB=,求二面角A—PD—C的余弦值。
18、(本題滿分12分)某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)xx年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(
6、單位:萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)=
(1)寫出xx年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試問(wèn)xx年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?
19、(本題滿分12分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,.數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
20、(本題滿分13分)已知橢圓過(guò)點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線軸正半軸和y軸分別交于Q、P,與橢圓分別交于
7、點(diǎn)M、N,各點(diǎn)均不重合且滿足.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若,試證明:直線過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn).
21、(本小題滿分14分) 已知函數(shù)。
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn),使得以為切點(diǎn)的切線將其圖象分割為兩部分,且分別位于切線的兩側(cè)(點(diǎn)P除外),則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,問(wèn)函數(shù)是否存在這樣的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,若存在,求出這個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,若不存在,說(shuō)明理由。
xx第一學(xué)期期中考試答案
DDCDA BAADBC
11、 12、 13、 14、6 15、
8、
三.解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.
16、(本題滿分12分)
已知,,,()
(1)求函數(shù)的值域;
(2)設(shè)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,若,,,求的值.
解:
……………………………2分
,,,從而有,
所以函數(shù)的值域?yàn)椋? ……………………………4分
(2)由得,又因?yàn)椋裕?
從而,即. ……………………………6分
因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫?
故或
當(dāng)時(shí),,從而
9、
當(dāng)時(shí),,又,從而
綜上的值為1或2. ……………………………10分
(用余弦定理類似給分)。
17、(本題滿分12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,且PA=PD=DA=2,∠BAD=60°
(I)求證:PB⊥AD;
(II)若PB=,求二面角A—PD—C的余弦值。
(Ⅰ)證明:取AD的中點(diǎn)E,連接PE,BE,BD.
∵PA=PD=DA,四邊形ABCD為菱形,且∠BAD=60°,∴△PAD和△ABD為兩個(gè)全等的等邊三角形,
則PE⊥AD, BE⊥AD,∴AD⊥平面PBE,
10、 ......................3分
又PB平面PBE,∴PB⊥AD; ......................5分
(Ⅱ)解:在△PBE中,由已知得,PE=BE=,PB=,則PB2=PE2+BE2,
∴∠PEB=90°,即PE⊥BE,又PE⊥AD,∴PE⊥平面ABCD;
A
B
C
D
P
E.
z
x
y
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,則E(0,0,0), C(-2,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),
則=(1,0,),=(-1,,0
11、),
由題意可設(shè)平面APD的一個(gè)法向量為m=(0,1,0);................7分
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),
由 得:令y=1,則x=,z=-1,∴n=(,1,-1);
則m·n=1,∴cos===, .............11分
由題意知二面角A-PD-C的平面角為鈍角,所以,二面角A-PD-C的余弦值為-........12分
18、(本題滿分12分)某旅游景點(diǎn)預(yù)計(jì)xx年1月份起前x個(gè)月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位:萬(wàn)人)與x的關(guān)系近似地滿足p(x)=x(x+1)(39-
12、2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x個(gè)月的人均消費(fèi)額q(x)(單位:元)與x的近似關(guān)系是q(x)=
(1)寫出xx年第x個(gè)月的旅游人數(shù)f(x)(單位:人)與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)試問(wèn)xx年第幾個(gè)月旅游消費(fèi)總額最大?最大月旅游消費(fèi)總額為多少元?
(1)當(dāng)x=1時(shí),f(1)=p(1)=37,
當(dāng)2≤x≤12,且x∈N*時(shí),
f(x)=p(x)-p(x-1)=x(x+1)(39-2x)-(x-1)x(41-2x)=-3x2+40x,
驗(yàn)證x=1也滿足此式,
所以f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且1≤x≤12).
(2)第x個(gè)月旅游消費(fèi)總額為
g(x)=
即g(x)=
13、
①當(dāng)1≤x≤6,且x∈N*時(shí),
g′(x)=18x2-370x+1 400,令g′(x)=0,
解得x=5或x=(舍去).
當(dāng)1≤x<5時(shí),g′(x)>0,
當(dāng)5
14、設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】(1)由題意,,得,.…………3分
,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
得,所以的通項(xiàng)公式為.………………7分
(2),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
;………………10分
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),(法一)為偶數(shù),
(法二)
所以,………………14分
20、(本題滿分13分)已知橢圓過(guò)點(diǎn)(0,1),其長(zhǎng)軸、焦距和短軸的長(zhǎng)的平方依次成等差數(shù)列.直線軸正半軸和y軸分別交于Q、P,與橢圓分別交于點(diǎn)M、N,各點(diǎn)均不重合且滿足.
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)若,試證明:直線過(guò)定點(diǎn)并求此定點(diǎn).
21、(本小題滿分14分)
已知函數(shù)。
(1)當(dāng)時(shí),求
15、曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性;
(3)若函數(shù)的圖象上存在一點(diǎn),使得以為切點(diǎn)的切線將其圖象分割為兩部分,且分別位于切線的兩側(cè)(點(diǎn)P除外),則稱為函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,問(wèn)函數(shù)是否存在這樣的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,若存在,求出這個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”,若不存在,說(shuō)明理由。
【解析】(1)當(dāng)時(shí),,則,………………1分
由此得點(diǎn)處切線的斜率,……………………………………………2分
所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.…………3分
(2)對(duì)求導(dǎo),得……………………4分①當(dāng)時(shí),, 在上遞增,在上遞減; ……5分
②當(dāng)時(shí),設(shè),?因?yàn)?,則
i)當(dāng)時(shí),,所以,于是在上單調(diào)遞增;……
16、6分
ii)當(dāng)時(shí),,方程的兩根為
,
易知,則,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;………………7分
綜上所述:當(dāng)時(shí),在上遞增,在上遞減;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),在,上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減 ………………8分
8. ,設(shè),
則在點(diǎn)處的切線方程為.………9分
令,則.
.…………………………………10分
①當(dāng)時(shí),,有;,有.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,于是,
故都在切線的同側(cè),此時(shí)不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.……………………………………11分
②當(dāng)時(shí),取,即.
,
所以在上單調(diào)遞增.…………………………………………………………12分
又,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
于是的圖象在切線的兩側(cè),所以為函數(shù)的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.…13分
綜上所述:當(dāng)時(shí),存在是函數(shù)的一個(gè)“轉(zhuǎn)點(diǎn)”;
當(dāng)時(shí),不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)” . …………………14分