2019版高考數(shù)學一輪復習 第十章 算法初步 第65講 用樣本估計總體學案

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1、 第65講　用樣本估計總體 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會它們各自的特點． 2．理解樣本數(shù)據(jù)標準差的意義和作用并會計算． 3．能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標準差)，并給出合理的解釋． 4．會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，理解用樣本估計總體的思想. 2016·山東卷，3 2016·四川卷，16 2015·全國卷Ⅱ，18 2015·重慶卷，3 2015·安徽卷，6 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求基本的數(shù)字特征，利用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思

2、想解決一些簡單的實際問題. 分值：5～12分 1．頻率分布直方圖和莖葉圖 (1)作頻率分布直方圖的步驟 ①求極差(即一組數(shù)據(jù)中__最大值__與__最小值__的差)； ②決定__組距__與__組數(shù)__； ③將數(shù)據(jù)__分組__； ④列__頻率分布表__； ⑤畫__頻率分布直方圖__． (2)頻率分布折線圖和總體密度曲線 ①頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的__中點__，就得到頻率分布折線圖． ②總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時__所分的組數(shù)__增加，__組距__減小，相應的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲

3、線． (3)莖葉圖的優(yōu)點 莖葉圖的優(yōu)點是可以__保留__原始數(shù)據(jù)，而且可以__隨時__記錄，這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便． 2．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 數(shù)字特征 定義與求法 優(yōu)點與缺點 眾數(shù) 一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)__最多__的數(shù) 眾數(shù)通常用于描述變量的值出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，但顯然它對其他數(shù)據(jù)信息的忽視使得無法客觀地反映總體特征 中位數(shù) 把一組數(shù)據(jù)按__從小到大的__順序排列，處在__中間__位置的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)) 中位數(shù)等分樣本數(shù)據(jù)所占頻率，它不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點

4、平均數(shù) 如果有n個數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個數(shù)的平均數(shù)＝____ 平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關，可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息，但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大，使平均數(shù)在估計總體時可靠性降低 (2)標準差、方差 ①標準差：樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示， s＝____. ②方差：標準差的平方 s2＝__[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]__， 其中xi(i＝1,2,3，…，n)是__樣本數(shù)據(jù)__，n是__樣本容量__，是__樣本平均數(shù)__． (3)平均數(shù)、方差公式的推廣 若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)

5、mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)為m＋a，方差為m2s2. 1．思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或打“×”)． (1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高表示頻率．(　×　) (2)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)懀覀?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(　×　) (3)在頻率分布直方圖中，最高的小長方形底邊中點的橫坐標是眾數(shù)．(　√　) (4)在頻率分布直方圖中，眾數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的．(　×　) (5)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大．(　√　) 解析 (1)在頻率分布直方圖中，小矩形的高為頻率/組距． (2)莖葉圖中，相

6、同的數(shù)據(jù)要重復記，故錯誤． (3)由眾數(shù)概念知結(jié)論正確． (4)在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的小長方形面積和相等，故錯誤． (5)由方差定義和結(jié)論知正確． 2．若某校高一年級8個班參加合唱比賽的得分如莖葉圖所示，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)分別是 (　A　) A．91.5和91.5　　 B．91.5和92 C．91和91.5　　 D．92和92 解析 將這組數(shù)據(jù)從小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故中位數(shù)為＝91.5， 平均數(shù)為＝＝91.5. 3．如圖是100位居民月均用水量的頻率分布直方圖，則月均用水量為[2,2.5)范圍內(nèi)的居民數(shù)有_

7、_25__人． 解析 由圖可知，在[2,2.5)范圍內(nèi)的居民人數(shù)有100×0.5×(2.5－2)＝25. 4．一個容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則樣本數(shù)據(jù)落在[5,9)內(nèi)的頻率和頻數(shù)分別為__0.2,40__. 解析 由圖可知，落在[5,9)內(nèi)的頻率為0.05×(9－5)＝0.2，頻數(shù)為200×0.2＝40. 5．某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分記錄用莖葉圖表示，從莖葉圖的分布情況看，__乙__運動員的發(fā)揮更穩(wěn)定. 解析 由莖葉圖可知，乙運動員的得分大部分集中在30～40之間，而甲運動員的得分相對比較分散且在低分區(qū)的較多，故乙比賽得分更穩(wěn)定．

8、 一　頻率分布直方圖及其應用 (1)已知頻率分布直方圖中的部分數(shù)據(jù)，求其他數(shù)據(jù)．可根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)求出樣本與整體的關系，利用頻率和等于1就可求出其他數(shù)據(jù)． (2)已知頻率分布直方圖，求某種范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)，可利用圖形及已知范圍結(jié)合求解． 【例1】 (2016·四川卷)我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查．通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求直方圖中a的值； (2)設該市有30萬居民，估計全市

9、居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由； (3)估計居民月均用水量的中位數(shù)． 解析 (1)由頻率分布直方圖，可知月均用水量在[0,0.5)的頻率為0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5)組的頻率分別為0.08,0.21,0.25，0.06，0.04,0.02. 由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30. (2)由(1)知，100位居民月均用水量不低于3噸的頻率為0.06＋0.04＋0.02＝0.12，由以上樣本的頻

10、率分布，可以估計30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12＝36 000. (3)設中位數(shù)為x噸． 因為前5組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4組的頻率之和為0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估計居民月均用水量的中位數(shù)為2.04噸． 二　莖葉圖及其應用 由莖葉圖可以清晰地看到數(shù)據(jù)的分布情況，這一點同頻率分布直方圖類似．它優(yōu)于頻率分布直方圖的第一點是從莖葉圖中能看到原始數(shù)據(jù)，沒有任何信息損失；第二點是莖葉

11、圖便于記錄和表示；其缺點是當樣本容量較大時，作圖較繁瑣． 【例2】 在科普知識競賽前的培訓活動中，將甲、乙兩名學生的6次培訓成績(百分制)制成如圖所示的莖葉圖. (1)若從甲、乙兩名學生中選擇1人參加該知識競賽，你會選哪位？請運用統(tǒng)計學的知識說明理由； (2)若從學生甲的6次培訓成績中隨機選擇2個，記選到的分數(shù)超過87分的個數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望． 解析 (1)學生甲的平均成績甲＝＝82，學生乙的平均成績乙＝＝82， 又s＝[(68－82)2＋(76－82)2＋(79－82)2＋(86－82)2＋(88－82)2＋(95－82)2]＝77， s＝[(71－82)2＋(7

12、5－82)2＋(82－82)2＋(84－82)2＋(86－82)2＋(94－82)2]＝. 則甲＝乙，s＞s， 說明甲、乙的平均水平一樣，但乙的方差小，則乙發(fā)揮更穩(wěn)定，故應選擇學生乙參加知識競賽． (2)ξ的所有可能取值為0,1,2，則 P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝， 則ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P 所以數(shù)學期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝. 三　樣本的數(shù)字特征及其應用 平均數(shù)和方差都是重要的數(shù)字特征，是對總體的一種簡明的闡述．平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述總體的集中趨勢，方差和標準差描述波動大小． 【例3】 甲、乙兩名戰(zhàn)士在相

13、同條件下各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)分別是 甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7； 乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. (1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)； (2)分別計算兩組數(shù)據(jù)的方差； (3)根據(jù)計算結(jié)果，估計一下兩名戰(zhàn)士的射擊水平誰更好一些． 解析 (1)甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7， 乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7. (2)由方差公式s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]可求得s＝3.0，s＝1.2. (3)由甲＝乙，說明甲、乙兩戰(zhàn)士的平均水平相當； 又∵s＞s，說明甲戰(zhàn)士射擊情況波動大

14、，因此乙戰(zhàn)士比甲戰(zhàn)士射擊情況穩(wěn)定． 1．下圖是樣本容量為200的頻率分布直方圖． 根據(jù)樣本的頻率分布直方圖估計，數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的概率約為__0.4__. 解析 由題組可得(0.02＋0.08)×4＝0.4. 2．某電子商務公司對10 000名網(wǎng)絡購物者2017年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示． (1)直方圖中的a＝__3__； (2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為__6_000__. 解析 由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得(0.2＋0.8＋1.5＋2＋

15、2.5＋a)×0.1＝1，解得a＝3.于是消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的頻率為(3＋2＋0.8＋0.2)×0.1＝0.6，所以消費金額在區(qū)間[0.5,0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為0.6×10 000＝6 000. 3．(1)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫情況，隨機選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫數(shù)據(jù)(單位：℃)制成如圖所示的莖葉圖．考慮以下結(jié)論： ①甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫； ②甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫； ③甲地該月14時的氣溫的標準差小于乙地該月14時的氣溫的標準差； ④甲地該月14時的氣溫的標準差大于乙地該

16、月14時的氣溫的標準差． 其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為(　B　) A．①③　　 B．①④　　 C．②③　　 D．②④ (2)由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，x4，其平均數(shù)和中位數(shù)都是2，且標準差等于1，則這組數(shù)據(jù)為__1,1,3,3__(從小到大排列)． 解析 (1)由莖葉圖中的數(shù)據(jù)通過計算求得甲＝29，乙＝30， s甲＝，s乙＝，∴甲＜乙，s甲＞s乙，故①④正確． (2)不妨設x1≤x2≤x3≤x4，x1，x2，x3，x4∈N*，依題意得x1＋x2＋x3＋x4＝8， s＝＝1， 即(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2＝4，所以x4

17、≤3， 結(jié)合x1＋x2＋x3＋x4＝8及中位數(shù)都是2，可得x1＝x2＝1，x3＝x4＝3，則這組數(shù)據(jù)為1,1,3,3. 4．某中學舉行了一次“環(huán)保知識競賽”活動，為了了解本次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數(shù)(得分取正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本(樣本容量為n)進行統(tǒng)計．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在[50,60)，[90,100]的數(shù)據(jù))． (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x，y的值； (2)在選取的樣本中，從競賽成績是80分以上(含80分)的同

18、學中隨機抽取3名同學到市政廣場參加環(huán)保知識宣傳的志愿者活動，設ξ表示所抽取的3名同學中得分在[80,90)的學生個數(shù)，求ξ的分布列及其數(shù)學期望． 解析 (1)由題意可知，樣本容量n＝＝50，則y＝＝0.004，x＝0.1－0.040－0.010－0.016－0.004＝0.030. (2)由題意可知，分數(shù)在[80,90)的有5人，分數(shù)在[90,100]的有2人，共7人．抽取的3名同學中得分在[80,90)的學生個數(shù)ξ的所有可能取值為1,2,3，則 P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝， P(ξ＝3)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以E(ξ)＝

19、1×＋2×＋3×＝. 易錯點　不清楚統(tǒng)計中數(shù)字特征的實際意義 錯因分析：①不會計算中位數(shù)；②對平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等數(shù)字特征的實際意義理解不透． 【例1】 從高三年級中抽出50名學生參加競賽，由成績得到如下的頻率分布直方圖． 利用頻率分布直方圖估計： (1)這50名學生的眾數(shù)P與中位數(shù)M； (2)這50名學生的平均成績A； (3)這50名學生60分以上所占的百分比是多少？ 解析 (1)根據(jù)頻率分布直方圖，得： 這50名學生的眾數(shù)是P＝＝75， ∵(0.004＋0.006＋0.020＋0.030)×10＝0.6， ∴中位數(shù)應位于第四個小矩形中， 設其底邊為x，

20、高為0.03，則0.03x＝0.2，∴x＝， ∴中位數(shù)M＝. (2)這50名學生的平均成績是 (45×0.004＋55×0.006＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.024＋95×0.016)×10＝76.2. (3)這50名學生中60分以上的百分比是1－(0.004＋0.006)×10＝0.9＝90%. 【跟蹤訓練1】 (2016·北京卷)某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖． (1)如果w為整

21、數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？ (2)假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替．當w＝3時，估計該市居民該月的人均水費． 解析 (1)由用水量的頻率分布直方圖知，該市居民該月用水量在區(qū)間[0.5,1]，(1,1.5]，(1.5,2]，(2,2.5]，(2.5,3]內(nèi)的頻率依次為0.1，0.15,0.2,0.25,0.15.所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.依題意，w至少定為3. (2)由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數(shù)據(jù)分組與頻率分布表： 組號 1 2

22、3 4 5 6 7 8 分組 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27] 頻率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05 根據(jù)題意，該市居民該月的人均水費估計為 4×0.1＋6×0.15＋8×0.2＋10×0.25＋12×0.15＋17×0.05＋22×0.05＋27×0.05＝10.5(元)． 課時達標　第65講 [解密考綱]用樣本估計總體在高考中，三種題型均有可能考查，作為解答題時，題目較簡單，屬于不能失分的題目． 一、選擇題

23、 1．某班的全體學生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人數(shù)是15，則該班的學生人數(shù)是(　B　) A．45　　 B．50　　 C．55　　 D．60 解析 根據(jù)頻率分布直方圖，低于60分的同學所占頻率為(0.005＋0.01)×20＝0.3，故該班的學生人數(shù)為＝50(人)，故選B． 2．某公司10位員工的月工資(單位：元)為x1，x2，…，x10，其平均數(shù)和方差分別為和s2，若從下月起每位員工的月工資增加100元，則這10位員工下月工資的平均數(shù)和方差分別為(　D　) A．，s2＋1

24、002 B．＋100，s2＋1002 C．，s2 D．＋100，s2 解析 對平均數(shù)和方差的意義深入理解可巧解，因為每個數(shù)據(jù)都加上了100，故平均數(shù)也增加100，而離散程度應保持不變，故選D． 3．如圖是某工廠對一批新產(chǎn)品長度(單位：mm)檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，估計這批產(chǎn)品的中位數(shù)為(　C　) A．20　　 B．25　　 C．22.5　　 D．22.75 解析 產(chǎn)品的中位數(shù)出現(xiàn)在概率是0.5的地方，自左至右各小矩形面積依次為0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，設中位數(shù)是x，則由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故選C． 4．10名工人

25、某天生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，設其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(　D　) A．a(chǎn)>b>c　　 B．b>c>a C．c>a>b　　 D．c>b>a 解析 平均數(shù)a＝×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，中位數(shù)b＝15，眾數(shù)c＝17，∴c>b>a. 5．(2017·全國卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是(　A　) A．月接

26、待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn) 解析 根據(jù)折線圖可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是減少，所以A項錯誤． 6．下面左圖是某學習小組學生數(shù)學考試成績的莖葉圖，1號到16號同學的成績依次為A1，A2，…，A16，右圖是統(tǒng)計莖葉圖中成績在一定范圍內(nèi)的學生人數(shù)的算法流程圖，那么該算法流程圖輸出的結(jié)果是(　B　) A．6　　 B．10　　 C．91　　 D．92 解析 由算法流程圖可知，其統(tǒng)計的是數(shù)學成績大于等于90的

27、人數(shù)，所以由莖葉圖知，數(shù)學成績大于等于90的人數(shù)為10，因此輸出結(jié)果為10，故選B． 二、填空題 7．為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為__10__. 解析 設5個班級的人數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5， 則＝7， ＝4， 即5個整數(shù)平方和為20，最大的數(shù)比7大但與7的差值不能超過3，否則方差超過4，故最大值為10，最小值為4. 8．如圖是某學校一名籃球運動員在五場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖，則該運動員在這五場比賽中得分的方差為__6

28、.8__. 解析 ∵＝＝11， ∴s2＝＝6.8. 9．為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況，隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均屬于區(qū)間[80,130]，其頻率分布直方圖如圖所示，則在60株樹木中底部周長小于100 cm的株數(shù)為__24__. 解析 由題意，在抽測的60株樹木中，底部周長小于100 cm的株數(shù)為(0.015＋0.025)×10×60＝24. 三、解答題 10．為迎接6月6日的“全國愛眼日”，某高中學生會從全體學生中隨機抽取16名學生，經(jīng)校醫(yī)用視力表檢查得到每個學生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如圖，若

29、視力測試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力”． (1)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)從這16人中隨機選取3人，求至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望. 解析 (1)由題意知眾數(shù)為4.6和4.7，中位數(shù)為4.75. (2)記“至少有2人是‘好視力’”為事件A，則事件A包含的基本事件個數(shù)為C·C＋C，總的基本事件個數(shù)為C， 故P(A)＝＝. (3)X的所有可能取值為0,1,2,3. 由于該校人數(shù)很多，故X近似服從二項分布B. P(X＝0)＝

30、3＝，P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝， 則X的分布列為 X 0 1 2 3 P 故X的數(shù)學期望E(X)＝3×＝. 11．隨著現(xiàn)代高等級公路的迅速發(fā)展，公路綠化苗木消費量劇增．某林場在某城市的零售店分析往年“美人梅”的零售情況，作出相關的統(tǒng)計與分析，按照日零售量[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250]分成4組，并制作了日零售量的頻率分布直方圖，如圖所示(假設每天的零售量相互獨立，且日零售量落入各組的頻率視為概率)． (1)求圖中a的值； (2)求從明日開始的連續(xù)4天中，有2天

31、的日零售量少于150株而另外2天的日零售量不少于200株的概率； (3)用X表示從明日開始的連續(xù)4天里日零售量不少于150株的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望． 解析 (1)第一個小矩形的面積為 1－(0.005＋0.006＋0.007)×50＝0.1，則a＝＝0.002. (2)設日零售量為x，有2天日零售量少于150株，另外2天日零售量不少于200株為事件A. 則P(x<150)＝0.002×50＋0.006×50＝0.4， P(x≥200)＝0.005×50＝0.25， ∴P(A)＝C×0.42×0.252＝0.06. (3)由(2)知，日零售量不少于150株的概率P

32、＝1－0.4＝0.6，則X～B(4,0.6)， 于是P(X＝k)＝C·0.6k·0.44－k(k＝0,1,2,3,4)， 則關于隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.4. 12．某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]. (1)求頻率分布直方圖中a的值； (2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；

33、 (3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在[40,50)的概率． 解析 (1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006. (2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4. (3)受訪職工中評分在[50,60)的有50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3； 受訪職工中評分在[40,50)的有50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2. 從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為P＝. 15