11、兩個物體間的萬有引力是作用力與反作用力的關(guān)系，是分別作用在相互作用的物體m1和m2上的，不可能是平衡力，所以選項C正確，選項D錯誤．
[答案] C
命題視角2 萬有引力與重力的關(guān)系
對于在地球上的物體所受的重力和地球?qū)λ囊Φ年P(guān)系，下列說法中正確的是( )
A．這兩個力是同一個力
B．在忽略地球的自轉(zhuǎn)影響時，重力就是定值，與物體所處的高度和緯度都無關(guān)
C．由于地球的自轉(zhuǎn)，物體在緯度越高的地方，重力越大
D．由于物體隨地球自轉(zhuǎn)，則物體處在緯度越高的地方，重力越小
[解析] 重力是物體受到的地球引力的一個分力，在不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響時，物體所受到的重力才認(rèn)為等于物體受到的地
12、球引力，而引力是與兩物體位置有關(guān)的力，當(dāng)物體距地面越高時，所受的引力越小，因而物體的重力也應(yīng)越小，而并非是在不考慮物體隨地球自轉(zhuǎn)的影響時，重力就是恒定的值了，選項A、B錯誤；隨著緯度的升高，重力將變大，選項C正確，D錯誤．
[答案] C
命題視角3 萬有引力的計算
有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點，現(xiàn)在從M中挖去一半徑為的球體，如圖所示，求剩下部分對m的萬有引力F為多大(引力常量為G)?
[解析] 設(shè)想將被挖部分重新補(bǔ)回，則完整球體對質(zhì)點m的萬有引力為F1，可以看作是剩余部分對質(zhì)點的萬有引力F與被挖小球?qū)|(zhì)點的萬有引力F2的合
13、力，即
F1＝F＋F2
設(shè)被挖小球的質(zhì)量為M′，其球心到質(zhì)點間的距離為r′，由題意知M′＝，
r′＝
由萬有引力定律得
F1＝G＝G， F2＝G＝G
故F＝F1－F2＝.
[答案]
【通關(guān)練習(xí)】
1．如圖所示，操場兩邊放著半徑分別為r1、r2，質(zhì)量分別為m1、m2的籃球和足球，二者直線間距為r，則兩球間的萬有引力大小為( )
A．G B．G
C．G D．G
解析：選D.操場兩邊的籃球和足球可以視為兩個質(zhì)點，這兩個質(zhì)點間的距離為兩球心間的距離，即r＝r1＋r＋r2，由萬有引力公式F＝G可知，兩球間的萬有引力大小為F＝G.故選項D正確．
2．如圖所示
14、，一個質(zhì)量為M的勻質(zhì)實心球，半徑為2R，如果從球的正中心挖去一個直徑為R的球，放在距離為d的地方，求兩球之間的萬有引力是多大(引力常量為G)?
解析：根據(jù)填補(bǔ)法可得左側(cè)球充滿時兩球間萬有引力
F＝
半徑為R的球體對m有F1＝
被割掉的質(zhì)量m＝
則被割后兩球之間的引力F2＝F－F1＝.
答案：
應(yīng)用萬有引力定律的三點注意
(1)求兩個質(zhì)點間的萬有引力．當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可看成質(zhì)點，這時公式中的r表示兩質(zhì)點間的距離．
(2)求兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力．這時公式中的r為兩個球心間的距離．
(3)當(dāng)被研究物體不能看成質(zhì)點，也不是均勻球體時
15、，可以把兩個物體假想分割成無數(shù)個質(zhì)點，先求出一個物體上每個質(zhì)點與另一個物體上所有質(zhì)點間的萬有引力，然后求合力.
天體質(zhì)量和密度的估算[學(xué)生用書P74]
1．天體質(zhì)量的計算
(1)“自力更生法”：若已知天體(如地球)的半徑R和表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于天體對物體的引力，得mg＝G，解得天體質(zhì)量為M＝，因g、R是天體自身的參量，故稱“自力更生法”．
(2)“借助外援法”：借助繞中心天體做圓周運動的行星或衛(wèi)星計算中心天體的質(zhì)量，常見的情況：G＝mr?M＝，已知繞行天體的r和T可以求M.
2．天體密度的計算
若天體的半徑為R，則天體的密度ρ＝，將M＝代入上式可得ρ＝.
16、
特殊情況，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動時，其軌道半徑r可認(rèn)為等于天體半徑R，則ρ＝.
(1)計算天體的質(zhì)量的方法不僅適用于地球，也適用于其他任何星體．要明確計算出的是中心天體的質(zhì)量．
(2)要注意R、r的區(qū)分．一般地R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑．若繞“近地”軌道運行，則有R＝r.
命題視角1 天體質(zhì)量的估算
過去幾千年來，人類對行星的認(rèn)識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51 peg b”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51 peg b”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的.該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為( )
A.
17、 B．1
C．5 D．10
[解析] 行星繞中心恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得G＝mr，則＝·＝×≈1，選項B正確．
[答案] B
命題視角2 天體密度的估算
假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體．已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G.地球的密度為( )
A.· B.·
C. D.·
[解析] 物體在地球的兩極時，mg0＝G，物體
在赤道上時，mg＋mR＝G，則ρ＝＝.故選項B正確，選項A、C、D錯誤．
[答案] B
求解天體的質(zhì)量和密度的兩種思路
(1)利用繞天體做
18、勻速圓周運動的衛(wèi)星的運動參量求解，即根據(jù)衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力由天體對衛(wèi)星的萬有引力提供來列式求解．
(2)根據(jù)天體表面物體的重力近似等于天體對物體的萬有引力列式求解．
[隨堂檢測][學(xué)生用書P74]
1．(多選)關(guān)于開普勒第三定律的表達(dá)式＝k，以下理解正確的是( )
A．k是一個與行星無關(guān)的量
B．行星軌道的半長軸越長，自轉(zhuǎn)周期越長
C．行星軌道的半長軸越長，公轉(zhuǎn)周期越長
D．若地球繞太陽運轉(zhuǎn)軌道的半長軸為r地，周期為T地；月球繞地球運轉(zhuǎn)軌道的半長軸為r月，周期為T月，則＝
解析：選AC.＝k中k是一個與行星無關(guān)的量，它是由中心天體(太陽)的質(zhì)量所決定的一個恒量
19、；T是公轉(zhuǎn)周期；＝k是指圍繞中心天體(太陽)運行的行星的周期與軌道半長軸的關(guān)系；對于不同的中心天體，k是不同的．
2．關(guān)于萬有引力和萬有引力定律的理解正確的是( )
A．不能看作質(zhì)點的兩物體間不存在相互作用的引力
B．只有天體間的引力才能用F＝G計算
C．由F＝G知，兩質(zhì)點間距離r減小時，它們之間的引力增大
D．萬有引力常量的大小首先是由牛頓測出來的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：選C.任何物體間都存在相互作用的引力，但萬有引力定律只適用于能看作質(zhì)點的物體間的引力計算，A、B錯誤；由F＝G可知，r越小，F(xiàn)越大，C正確；萬有引力常量的大小首先是由卡文迪許準(zhǔn)確地
20、測出來的，D錯誤．
3．宇航員王亞平在“天宮1號”飛船內(nèi)進(jìn)行了我國首次太空授課，演示了一些完全失重狀態(tài)下的物理現(xiàn)象．若飛船質(zhì)量為m，距地面高度為h，地球質(zhì)量為M，半徑為R，引力常量為G，則飛船所在處的重力加速度大小為( )
A．0 B.
C. D.
解析：選B.飛船受的萬有引力等于在該處所受的重力，即G＝mg，得g＝，選項B正確．
4．“嫦娥五號”按計劃將于2017年在南海發(fā)射，設(shè)衛(wèi)星距月球表面的高度為h，做勻速圓周運動的周期為T.已知月球半徑為R，引力常量為G.求：
(1)月球的質(zhì)量M；
(2)月球表面的重力加速度g；
(3)月球的密度ρ.
解析
21、：(1)萬有引力提供“嫦娥五號”做圓周運動的向心力，則有
G＝m(R＋h)
得M＝.
(2)在月球表面，萬有引力等于重力，則有G＝mg，得g＝.
(3)由ρ＝，V＝πR3，得ρ＝.
答案：(1) (2) (3)
5．(1)開普勒行星運動第三定律指出：行星繞太陽運動的橢圓軌道的半長軸a的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期T的二次方成正比，即＝k，k是一個對所有行星都相同的常量．將行星繞太陽的運動按圓周運動處理，請你推導(dǎo)出太陽系中該常量k的表達(dá)式．已知引力常量為G，太陽的質(zhì)量為M太．
(2)開普勒定律不僅適用于太陽系，它對一切具有中心天體的引力系統(tǒng)(如地月系統(tǒng))都成立．經(jīng)測定，月地距離為3.84×
22、108 m，月球繞地球運動的周期為2.36×106 s，試計算地球的質(zhì)量M地．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，結(jié)果保留一位有效數(shù)字)
解析：(1)因行星繞太陽做勻速圓周運動，于是軌道半長軸a即為軌道半徑r，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有：
＝m行r①
于是有＝M太②
即k＝M太．③
(2)在地月系統(tǒng)中，設(shè)月球繞地球運動的軌道半徑為R，周期為T，由②式可得＝M地④
代入題給數(shù)據(jù)解得M地≈6×1024 kg.
答案：(1)k＝M太 (2)6×1024 kg
[課時作業(yè)][學(xué)生用書P130(單獨成冊)]
一、單項選擇題
1．關(guān)于萬有引力定律和引力常量的發(fā)現(xiàn)，下面說
23、法中正確的是( )
A．萬有引力定律是由開普勒發(fā)現(xiàn)的，而引力常量是由伽利略測定的
B．萬有引力定律是由開普勒發(fā)現(xiàn)的，而引力常量是由卡文迪許測定的
C．萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的，而引力常量是由胡克測定的
D．萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的，而引力常量是由卡文迪許測定的
解析：選D.根據(jù)物理學(xué)史可知，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，卡文迪許測定了引力常量，故D正確．
2．火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知( )
A．太陽位于木星運行軌道的中心
B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等
C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方
D．相
24、同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積
解析：選C.由開普勒第一定律(軌道定律)可知，太陽位于木星運行軌道的一個焦點上，A錯誤．火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運行速度的大小不可能始終相等，B錯誤．根據(jù)開普勒第三定律(周期定律)知所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期的平方的比值是一個常數(shù)，C正確．對于某一個行星來說，其與太陽連線在相同的時間內(nèi)掃過的面積相等，不同行星在相同的時間內(nèi)掃過的面積不相等，D錯誤．
3．要使兩物體間的萬有引力增大到原來的4倍，下列辦法可行的是( )
A．兩物體的間距不變，質(zhì)量各變?yōu)樵瓉淼?倍
B．兩物體的間距變?yōu)樵瓉淼?，質(zhì)量各變?yōu)?/p>
25、原來的2倍
C．質(zhì)量之積和距離都變?yōu)樵瓉淼?倍
D．質(zhì)量之積和距離都變?yōu)樵瓉淼?
解析：選A.根據(jù)F＝G，要使F增大到原來的4倍，A中r不變，而m1、m2各變?yōu)樵瓉淼?倍，可行；B中變化會使F變?yōu)樵瓉淼?6倍，不可行；C中F會變?yōu)樵瓉淼?，不可行；D中F會變?yōu)樵瓉淼?倍，不可行．故選A.
4．地球與物體間的萬有引力可以認(rèn)為在數(shù)值上等于物體的重力，那么在6 400 km的高空，物體的重力與它在地面上的重力之比為( )
A．2∶1 B．1∶2
C．1∶4 D．1∶1
解析：選C.根據(jù)萬有引力定律F∝，地球半徑R地＝6 400 km，物體在6 400 km高空，距離加倍，引力減小到
26、原來的.
5．兩顆人造衛(wèi)星A、B繞地球做圓周運動，周期之比為TA∶TB＝1∶8，則軌道半長軸之比等于( )
A．4 B.
C．2 D.
解析：選B.根據(jù)開普勒第三定律有＝，則＝ ＝?。?＝，故選B.
6．天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星．這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍．已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G＝6.67×10－11m3/(kg·s2)，由此估算該行星的平均密度約為( )
A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3
解析：
27、選D.近地衛(wèi)星繞地球做圓周運動時，所受萬有引力充當(dāng)其做圓周運動的向心力，即：G＝mR，由密度、質(zhì)量和體積關(guān)系M＝ρ·πR3，解兩式得：ρ＝≈5.6×103 kg/m3.由已知條件可知該行星密度是地球密度的倍，即ρ′＝5.6×103× kg/m3≈2.98×104 kg/m3，選項D正確．
二、多項選擇題
7．對于引力常量G的理解，下列說法中正確的是( )
A．G是一個比值，在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1 kg的兩個質(zhì)點相距1 m時的引力大小
B．G的數(shù)值是為了方便而人為規(guī)定的
C．G的測定使萬有引力定律公式更具有實際意義
D．G的測定從某種意義上也能夠說明萬有引力定律公式的正確性
解析
28、：選ACD.根據(jù)萬有引力定律公式F＝G可知，G＝，當(dāng)r＝1 m，m1＝m2＝1 kg時，G＝F，故A正確．G是一個有單位的物理量，單位是m3/(kg·s2)，G的數(shù)值不是人為規(guī)定的，而是在牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律一百多年后，由卡文迪許利用扭秤實驗測出的，故B錯誤，C、D正確．
8．如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R.下列說法正確的是( )
A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為
B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為
C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為
D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為
解析：選BC.應(yīng)用萬有引力公式及力的合成規(guī)律分析
29、．地球與衛(wèi)星之間的距離應(yīng)為地心與衛(wèi)星之間的距離，選項A錯誤，B正確；兩顆相鄰衛(wèi)星與地球球心的連線互成120°角，間距為r，代入數(shù)據(jù)得，兩顆衛(wèi)星之間引力大小為，選項C正確；三顆衛(wèi)星對地球引力的合力為零，選項D錯誤．
9．英國曼徹斯特大學(xué)的天文學(xué)家認(rèn)為，他們已經(jīng)在銀河系里發(fā)現(xiàn)一顆由曾經(jīng)的龐大恒星轉(zhuǎn)變而成的體積較小的行星，這顆行星完全由鉆石構(gòu)成．若已知引力常量，還需知道哪些信息才可以計算該行星的質(zhì)量( )
A．該行星表面的重力加速度及繞行星運行的衛(wèi)星的軌道半徑
B．該行星的自轉(zhuǎn)周期與行星的半徑
C．圍繞該行星做圓周運動的衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期及運行半徑
D．圍繞該行星做圓周運動的衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期及
30、公轉(zhuǎn)線速度
解析：選CD.設(shè)該行星表面某一物體的質(zhì)量為m，由G＝mg得，M＝，R為該行星的半徑，所以選項A錯誤；衛(wèi)星繞中心天體運動的向心力由中心天體對衛(wèi)星的萬有引力提供，利用牛頓第二定律得：G＝m＝mrω2＝mr，若已知衛(wèi)星的軌道半徑r和衛(wèi)星的運行周期T、角速度ω或線速度v，可求得中心天體的質(zhì)量為M＝＝＝，所以選項B錯誤，選項C正確；又v＝，即r＝，則M＝，選項D正確．
三、非選擇題
10．假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量M火與地球的質(zhì)量M地之比為＝p，火星的半徑和地球的半徑之比為＝q，則它們表面處的重力加速度之比為________．
解析：在不考慮星球自轉(zhuǎn)的情況下，可認(rèn)為星球表面處
31、物體所受的重力與萬有引力相等，即mg＝G，可得g＝G，對地球有g(shù)地＝G，對火星有g(shù)火＝G，聯(lián)立解得＝·＝.
答案：
11．已知月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g0，飛船在繞月球的圓形軌道Ⅰ上運動，軌道半徑為r，r＝4R，到達(dá)軌道的A點時點火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點B時再次點火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運動．已知引力常量為G.求：
(1)月球的質(zhì)量．
(2)飛船在軌道Ⅰ上的運行速率．
(3)飛船在軌道Ⅲ上繞月運行一周所需的時間．
解析：(1)設(shè)月球的質(zhì)量為M，對月球表面上質(zhì)量為m′的物體有G＝m′g0
得M＝.
(2)設(shè)飛船的質(zhì)量為m，對于圓形軌道Ⅰ的飛船運動
32、有G＝m解得飛船在軌道Ⅰ運動的速率為v1＝ .
(3)設(shè)飛船在軌道Ⅲ繞月球運行一周所需的時間為T有mg0＝mR
解得T＝2π .
答案：(1) (2) (3)2π
12.
如圖所示，火箭內(nèi)平臺上放有測試儀器，火箭從地面啟動后，以的加速度豎直向上勻加速運動，升到某一高度時，測試儀器對平臺的壓力為啟動前壓力的.已知地球
半徑為R，求火箭此時離地面的高度．(g為地面附近的重力加速度)
解析：火箭上升過程中，物體受豎直向下的重力和向上的支持力，設(shè)高度為h時，重力加速度為g′.
由牛頓第二定律得mg－mg′＝m×
解得g′＝g①
由萬有引力定律知G＝mg②
G＝mg′③
由①②③聯(lián)立得h＝.
答案：
16
2019-2020學(xué)年高中物理 第5章 萬有引力定律及其應(yīng)用 第1節(jié) 萬有引力定律及引力常量的測定學(xué)案 魯科版必修2
