2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線(xiàn)教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第六節(jié)　拋物線(xiàn) [考綱傳真]　1.掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率).2.理解數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線(xiàn)的實(shí)際背景及拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用． 1．拋物線(xiàn)的概念 平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l(l不過(guò)點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫做拋物線(xiàn)．定點(diǎn)F叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)． 2．拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)l的距離 圖形 頂點(diǎn)坐標(biāo) O(0,

2、0) 對(duì)稱(chēng)軸 x軸 y軸 焦點(diǎn)坐標(biāo) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線(xiàn)方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 與拋物線(xiàn)有關(guān)的結(jié)論 (1)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，也稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦半徑． (2)y2＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－. (3)設(shè)AB是過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①x1x2＝，y1y2＝－p2.

3、②弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)． ③以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切． ④通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱(chēng)軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦． [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線(xiàn)． (　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線(xiàn)是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線(xiàn)，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線(xiàn)方程是x＝－． (　　) (3)拋物線(xiàn)既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形． (　　) (4)若直線(xiàn)與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線(xiàn)與拋物線(xiàn)一定相切． (　　) [答案]　(1

4、)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．拋物線(xiàn)y＝x2的準(zhǔn)線(xiàn)方程是(　　) A．y＝－1　　　 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－1.] 3．(教材改編)若拋物線(xiàn)y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(　　) A.　　　　B.　　　　C．　　　　D．0 B　[M到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于M到焦點(diǎn)的距離，又準(zhǔn)線(xiàn)方程為y＝－，設(shè)M(x，y)，則y＋＝1，∴y＝.] 4．(教材改編)過(guò)拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于(　　) A．9

5、B．8 C．7 D．6 B　[拋物線(xiàn)y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.] 5．(教材改編)已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______． y2＝－8x或x2＝－y　[設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.] 拋物線(xiàn)的定義與應(yīng)用 【例1】　設(shè)P是拋物線(xiàn)y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B(3,2)，則|PB|＋|PF|的

6、最小值為_(kāi)_______． 4　[如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)Q，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝|P1F|.則有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值為4.] [拓展探究]　(1)若將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值． (2)若將本例中的條件改為：已知拋物線(xiàn)方程為y2＝4x，直線(xiàn)l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線(xiàn)l的距離為d2，求d1＋d2的最小值． [解]　(1)由題意可知點(diǎn)B(3,4)在拋物線(xiàn)的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，F(xiàn)(

7、1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值為2. (2)由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0)． 點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線(xiàn)l的距離， 故d2＋|PF|的最小值為＝3， 所以d1＋d2的最小值為3－1. [規(guī)律方法]　與拋物線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線(xiàn)的定義有關(guān)．“看到準(zhǔn)線(xiàn)想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線(xiàn)”，這是解決與過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑． (1)已知P是拋物線(xiàn)y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q是圓(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N

8、(1,0)是一個(gè)定點(diǎn)，則|PQ|＋|PN|的最小值為(　　) A．3　　　　B．4　　　　C．5　　　　D．＋1 (2)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1,0)，且與直線(xiàn)x＝－1相切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_______. (1)A　(2)y2＝4x　[(1)由拋物線(xiàn)方程y2＝4x，可得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(1,0)，又N(1,0)，所以N與F重合．過(guò)圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的圓心M作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)MH，交圓于Q，交拋物線(xiàn)于P，則|PQ|＋|PN|的最小值等于|MH|－1＝3. (2)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1,0)的距離與到直線(xiàn)x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義易知?jiǎng)訄A的

9、圓心的軌跡方程為y2＝4x.] 拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 【例2】　(1)點(diǎn)M(5,3)到拋物線(xiàn)y＝ax2的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為6，那么拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng)或x2＝－y C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y (2)(2016·全國(guó)卷Ⅰ)以?huà)佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線(xiàn)于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝4，|DE|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (3)如圖所示，過(guò)拋物線(xiàn)y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn)l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|

10、BF|，且|AF|＝3，則此拋物線(xiàn)的方程為(　　) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x (1)D　(2)B　(3)D　[(1)將y＝ax2化為x2＝y(tǒng).當(dāng)a>0時(shí)，準(zhǔn)線(xiàn)y＝－，則3＋＝6，∴a＝.當(dāng)a<0時(shí)，準(zhǔn)線(xiàn)y＝－，則＝6，∴a＝－. ∴拋物線(xiàn)方程為x2＝12y或x2＝－36y. (2)設(shè)拋物線(xiàn)的方程為y2＝2px(p＞0)，圓的方程為x2＋y2＝r2. ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D. ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(負(fù)值舍去)． ∴C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4

11、. (3)分別過(guò)點(diǎn)A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分別為A1，B1，由已知條件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，所以∠BCB1＝30°. 又|AA1|＝|AF|＝3，所以|AC|＝2|AA1|＝6， 所以|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，所以F為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)． 故點(diǎn)F到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p＝|AA1|＝，故拋物線(xiàn)的方程為y2＝3x.] [規(guī)律方法]　1.求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 (1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可． (2)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線(xiàn)方程時(shí)，需先定位，再定量． 2．確定

12、及應(yīng)用拋物線(xiàn)性質(zhì)的技巧 (1)利用拋物線(xiàn)方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程． (2)要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解 直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系 ?考法1　直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)問(wèn)題 【例3】　(2017·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)A，B為曲線(xiàn)C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4. (1)求直線(xiàn)AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線(xiàn)C上一點(diǎn)，C在M處的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，且AM⊥BM，求直線(xiàn)AB的方程． [解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4， 于是直線(xiàn)AB的斜率k＝＝＝1. (

13、2)由 y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)． 設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋m， 故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為N(2,2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1,2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)，解得m＝7. 所以直線(xiàn)AB的方程為y＝x＋7. ?考法2　與拋物線(xiàn)弦長(zhǎng)或中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題 【例4】　已知拋物線(xiàn)C：x2＝2py(p＞0)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，D是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l與y軸的交點(diǎn)．

14、 (1)若AB∥l，且△ABD的面積為1，求拋物線(xiàn)的方程； (2)設(shè)M為AB的中點(diǎn)，過(guò)M作l的垂線(xiàn)，垂足為N.證明：直線(xiàn)AN與拋物線(xiàn)相切． [解]　(1)∵AB∥l，∴|FD|＝p，|AB|＝2p. ∴S△ABD＝p2，∴p＝1，故拋物線(xiàn)C的方程為x2＝2y. (2)設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y＝kx＋， 由得x2－2kpx－p2＝0，∴x1＋x2＝2kp，x1x2＝－p2. 其中A，B.∴M，N. ∴kAN＝＝＝＝＝. 又x2＝2py，∴y′＝.∴拋物線(xiàn)x2＝2py在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率k＝. ∴直線(xiàn)AN與拋物線(xiàn)相切． [規(guī)律方法]　解決直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題的常用方法 (1)直

15、線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系． (2)有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式． (3)涉及拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法． 已知拋物線(xiàn)C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線(xiàn)C與直線(xiàn)l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線(xiàn)C的方程； (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l2與l1垂直，且與拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|

16、＝|PB|，求△FAB的面積. [解]　(1)易知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8， ∴2p＝8， ∴拋物線(xiàn)方程為y2＝8x. (2)直線(xiàn)l2與l1垂直，故可設(shè)直線(xiàn)l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線(xiàn)l2與x軸的交點(diǎn)為M. 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線(xiàn)l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8,0)． 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1

17、－y2| ＝3＝24. 1．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，則·＝(　　) A．5　　　　B．6　　　　C．7　　　　D．8 D　[法一：過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線(xiàn)的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨設(shè)M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.故選D． 法二：過(guò)點(diǎn)(－2,0)且斜率為的直線(xiàn)的方程為y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＞0，y2＞0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)

18、系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1,0)，所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故選D．] 2．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)F為拋物線(xiàn)C：y2＝4x的焦點(diǎn)，曲線(xiàn)y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B．1 C． D．2 D　[∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲線(xiàn)y＝(k＞0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，∴P(1,2)． 將點(diǎn)P(1,2)的坐標(biāo)代入y＝(k＞0)得k＝2.故選D．] 3．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)已知點(diǎn)M(－1,

19、1)和拋物線(xiàn)C：y2＝4x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB＝90°，則k＝________. 2　[法一：由題意知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(1,0)，則過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)方程為y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，則y1＋y2＝，y1y2＝－4.由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，將x1＋x2＝，x1x

20、2＝1與y1＋y2＝，y1y2＝－4代入，得k＝2. 法二：設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 所以y－y＝4(x1－x2)，則k＝＝.取AB的中點(diǎn)M′(x0，y0)，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線(xiàn)x＝－1的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，又∠AMB＝90°，點(diǎn)M在準(zhǔn)線(xiàn)x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′為AB的中點(diǎn)，所以MM′平行于x軸，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.] 4．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知F是拋物線(xiàn)C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線(xiàn)交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. 6　[如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|FO|＝1. 又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線(xiàn)的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.] - 10 -