2020版高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第5節(jié) 指數與指數函數教學案 文（含解析）北師大版

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1、第五節(jié)　指數與指數函數 [考綱傳真]　1.理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算.2.了解指數函數模型的實際背景，理解指數函數的概念及其單調性，掌握指數函數圖像通過的特殊點，會畫底數為2,3,10，，的指數函數的圖像.3.體會指數函數是一類重要的函數模型． 1．有理數指數冪 (1)分數指數冪 ①正分數指數冪：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ②負分數指數冪：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ③0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義． (2)有理數指數冪的運算性質 ①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝a

2、rs(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 2．指數函數的圖像與性質 y＝ax a＞1 0＜a＜1 圖像 定義域 R 值域 (0，＋∞) 性質 過定點(0,1) 當x＞0時，y＞1； x＜0時，0＜y＜1 當x＞0時，0＜y＜1； x＜0時，y＞1 在R上是增函數 在R上是減函數 指數函數的圖像與底數大小的關系 如圖是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖像，底數a，b，c，d與1之間的大小關系為c＞d＞1＞a＞b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數函數y＝ax

3、(a＞0，且a≠1)的圖像越高，底數越大． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)＝－4． (　　) (2)(－1)＝(－1)＝． (　　) (3)函數y＝2x－1是指數函數． (　　) (4)若am＜an(a＞0且a≠1)，則m＜n． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．化簡[(－2)6]－(－1)0的結果為(　　) A．－9　　B．7　　　　C．－10　　 D．9 B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　 3．(教材改編)若函數f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像經過點P，

4、則f(－1)等于(　　) A． B． C． D．4 B　[由題意知＝a2，所以a＝， 所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.] 4．函數y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　　 　B　　　　C　 　　　D C　[令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函數圖像必過定點(1,0)，符合條件的只有選項C．] 5．指數函數y＝(2－a)x在定義域內是減函數，則a的取值范圍是________． (1,2)　[由題意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] 指數冪的化簡與求值 1．(2019·濟寧模擬)下列各式中成立的是(　　) A．＝n7m　　 B

5、．＝ C．＝(x＋y) D．＝ D　[＝(9)＝9＝3＝，故選D.] 2．若a＞0，b＞0，則化簡＝________. ab－1　 3．化簡＋0.002－10(－2)－1＋3π0＋＝________. －16　[原式＝＋500－＋3＋ ＝＋10－10(＋2)＋3＋ ＝－16.] 4．若x＋x＝3，則＝________. 　[由x＋x＝3得x＋x－1＋2＝9. 所以x＋x－1＝7. 同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47. x＋x＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3×6＝18. 所以＝＝.] [規(guī)律方法]　指數冪運算的一般原則 (1)有括號的先算括號里的，無

6、括號的先算指數運算． (2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數． (3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數． (4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解題． 易錯警示：運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統(tǒng)一． 指數函數的圖像及應用 【例1】　(1)函數f(x)＝ax－b的圖像如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　) A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0 (2)已知函數f

7、(x)＝3＋a2x－4的圖像恒過定點P，則點P的坐標是________． (3)若曲線y＝|3x－1|與直線y＝k只有一個公共點，則實數k的取值范圍為________． (1)D　(2)(2,4)　(3){0}∪[1，＋∞)　[(1)由f(x)＝ax－b的圖像可以觀察出函數f(x)＝ax－b在定義域上是減少的，所遞減以0＜a＜1.函數f(x)＝ax－b的圖像是在f(x)＝ax的基礎上向左平移得到的，所以b＜0. (2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，則點P的坐標為(2,4)． (3)函數y＝|3x－1|的圖像是由函數y＝3x的圖像向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖像沿x軸

8、翻折到x軸上方得到的，函數圖像如圖所示． 當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數y＝|3x－1|的圖像有唯一的交點．] [規(guī)律方法]　指數函數圖像應用的4個技巧 (1)畫指數函數y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖像，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0,1)，. (2)已知函數解析式判斷其圖像一般是取特殊點，判斷所給的圖像是否過這些點，若不滿足則排除． (3)對于有關指數型函數的圖像問題，一般是從最基本的指數函數的圖像入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論． (4)有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖像，數形結

9、合求解． (1)函數y＝(a＞1)的圖像大致是(　　) A　　 B　　　C　　　　D (2)函數f(x)＝2|x－1|的圖像是(　　) A　　　　B　　　　　C　　　D (3)已知a＞0，且a≠1，若函數y＝|ax－2|與y＝3a的圖像有兩個交點，則實數a的取值范圍是________． (1)B　(2)B　(3)　[(1)y＝又a＞1，故選B． (2)函數f(x)＝2|x－1|的圖像可由y＝2|x|的圖像向右平移1個單位得到，故選B． (3)①當0＜a＜1時，如圖①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜； ②當a＞1時，如圖②，而y＝3a＞1不符合要求． 圖①　　

10、　　　圖② 所以0＜a＜.] 指數函數的性質及應用 ?考法1　比較指數式的大小 【例2】　已知a＝3，b＝9，c＝121，則(　　) A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b A　[因為a＝3＝9＞9＝b，c＝121＝11＞9＝a，所以c＞a＞b.故選A．] ?考法2　解簡單的指數方程或不等式 【例3】　(1)設函數f(x)＝若f(a)＜1，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞) (2)已知實數a≠1，函數f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，則a的值

11、為________． (1)C　(2)　[(1)當a＜0時，不等式f(a)＜1可化為－7＜1，即a＜8，即a＜，因為0＜＜1，所以a＞－3，此時－3＜a＜0；當a≥0時，不等式f(a)＜1可化為＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范圍是(－3,1)．故選C． (2)當a＜1時，41－a＝21，解得a＝；當a＞1時，代入不成立．故a的值為.] ?考法3　與指數函數有關的函數的值域或最值問題 【例4】　(1)已知函數f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定義域和值域都是[－1,0]，則a＋b＝________. (2)已知0≤x≤2，則y＝4x－－3·2x＋5的最大值為________．

12、(1)－　(2)　[(1)當a＞1時，函數f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為增函數，由題意得無解．當0＜a＜1時，函數f(x)＝ax＋b在[－1,0]上為減函數，由題意得解得所以a＋b＝－. (2)y＝(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x， 由0≤x≤2得1≤t≤4，又y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋， ∴當t＝1時，y有最大值，最大值為.] ?考法4　復合函數的單調性、值域或最值 【例5】　函數f(x)＝的遞減區(qū)間是________，值域是________． (－∞，1]　　[令u＝－x2＋2x＋1，則u＝－(x－1)2＋2. 又y＝u在R上是減函數，則函數f(x)＝的遞減

13、區(qū)間為函數u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間． 由此函數f(x)的遞減區(qū)間為(－∞，1]． 因為u≤2，則f(x)≥＝，即函數f(x)的值域為.] [規(guī)律方法]　指數函數性質應用的?？碱}型及求解策略 ?？碱}型 求解策略 比較冪值的大小 (1)能化成同底數的先化成同底數冪再利用單調性比較大小．(2)不能化成同底數的，一般引入“1”等中間量比較大小 解簡單指數不等式 先利用冪的運算性質化為同底數冪，再利用單調性轉化為一般不等式求解 探究指數型函數的性質 與研究一般函數的定義域、單調性(區(qū)間)、奇偶性、最值(值域)等性質的方法一致 易錯警示：在研究指數型函數單調性時，當底數與“1”

14、的大小關系不明確時，要分類討論． (1)(2019·信陽模擬)已知a＝，b＝， c＝，則a，b，c的大小關系是(　　) A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a (2)(2019·長春模擬)函數y＝4x＋2x＋1＋1的值域為(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞) (3)已知函數y＝2－x2＋ax＋1在區(qū)間(－∞，3)上是增加的，則a的取值范圍為________． (4)函數y＝2－x2＋2x的值域為________． (1)D　(2)B　(3)[6，＋∞)　(4)(0,2]　[(1)c＝＝，則 ＞＞， 即a＞b＞c，故選D. (2)y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1， 令t＝2x，則t＞0， ∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故選B． (3)由題意知，函數u＝－x2＋ax＋1在區(qū)間(－∞，3)上是增加的，則≥3，即a≥6. (4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，則0＜y≤2. 即函數y＝2－x2＋2x的值域為(0,2]．] - 9 -