2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 立體幾何 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積和體積學(xué)案 理

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1、第1講　空間幾何體的三視圖、表面積和體積 高考定位　1.三視圖的識(shí)別和簡單應(yīng)用；2.簡單幾何體的表面積與體積計(jì)算，主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，在解答題中，有時(shí)與空間線、面位置證明相結(jié)合，面積與體積的計(jì)算作為其中的一問. 真 題 感 悟 1.(2018·全國Ⅲ卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析　由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A. 答案　A

2、 2.(2018·全國Ⅰ卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為(　　) A.12π B.12π C.8π D.10π 解析　因?yàn)檫^直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2，底面圓的直徑為2.所以S表面積＝2×π×()2＋2π××2＝12π. 答案　B 3.(2018·天津卷)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________. 解析　連

3、接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因?yàn)镋，H分別為AD1，CD1的中點(diǎn)，所以EH∥AC，EH＝AC.因?yàn)镕，G分別為B1A，B1C的中點(diǎn)，所以FG∥AC，F(xiàn)G＝AC.所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形.又點(diǎn)M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐M－EFGH的體積為××＝. 答案　 4.(2017·全國Ⅰ卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S－ABC的體積為9，則球O的表面積為________. 解析　如圖，連接OA，O

4、B，因?yàn)镾A＝AC，SB＝BC，SC為球O的直徑，所以O(shè)A⊥SC，OB⊥SC. 因?yàn)槠矫鍿AC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，且OA?平面SAC，所以O(shè)A⊥平面SBC. 設(shè)球的半徑為r，則OA＝OB＝r，SC＝2r， 所以VA－SBC＝×S△SBC×OA＝××2r×r×r＝r3， 所以r3＝9?r＝3，所以球的表面積為4πr2＝36π. 答案　36π 考 點(diǎn) 整 合 1.空間幾何體的三視圖 (1)幾何體的擺放位置不同，其三視圖也不同，需要注意長對(duì)正、高平齊、寬相等. (2)由三視圖還原幾何體：一般先從俯視圖確定底面，再利用正視圖與側(cè)視圖確定幾何體. 2.空間幾

5、何體的兩組常用公式 (1)柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式： ①圓柱的表面積S＝2πr(r＋l)； ②圓錐的表面積S＝πr(r＋l)； ③圓臺(tái)的表面積S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)； ④球的表面積S＝4πR2. (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V球＝πR3. 熱點(diǎn)一　空間幾何體的三視圖與直觀圖 【例1】 (1)(2018·蘭州模擬)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”.已知某“塹堵”的正視圖和俯視圖如圖所示，則該“塹堵”的側(cè)視圖的面積為(　　)

6、 A.18 　　　 B.18 C.18 　　　 D. (2)(2018·全國Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A.2 B.2 C.3 D.2 解析　(1)在俯視圖Rt△ABC中，作AH⊥BC交于H. 由三視圖的意義， 則BH＝6，HC＝3， 根據(jù)射影定理，AH2＝BH·HC，∴AH＝3. 易知該“塹堵”的側(cè)視圖是矩形，長為6，寬為AH＝3.故側(cè)視圖的面積S＝6×3＝18. (2)由三視圖可知，該幾何

7、體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4.則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為＝＝2. 答案　(1)C　(2)B 探究提高　1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖. 2.由三視圖還原到直觀圖的思路 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面. (2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置. (3)確定幾何體的直觀圖形狀. 【訓(xùn)練1】 (1)如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P

8、是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A.3 B.2 C.2 D.2 解析　(1)設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P′，在平面C1CDD1的射影為P″，如圖所示. ∴三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖分別為△P′AD與△P″CD， 因此所求面積S＝S△P′AD＋S△P″CD ＝×1×2＋×1×2＝2. (2)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P－ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入

9、棱長為2的正方體中.由圖可知該四棱錐的最長棱為PD，PD＝＝2. 答案　(1)B　(2)B 熱點(diǎn)二　幾何體的表面積與體積 考法1　空間幾何體的表面積 【例2－1】 (1)(2017·全國Ⅰ卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為(　　) A.10 B.12 C.14 D.16 (2)(2018·西安模擬)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A.20π B.24π

10、 C.28π D.32π 解析　(1)由三視圖可畫出直觀圖，該直觀圖各面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面，S梯＝×(2＋4)×2＝6，S全梯＝6×2＝12. (2)由三視圖知，該幾何體由一圓錐和一個(gè)圓柱構(gòu)成的組合體， ∵S圓錐側(cè)＝π×3×＝15π，S圓柱側(cè)＝2π×1×2＝4π，S圓錐底＝π×32＝9π. 故幾何體的表面積S＝15π＋4π＋9π＝28π. 答案　(1)B　(2)C 探究提高　1.由幾何體的三視圖求其表面積：(1)關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大?。?2)還原幾何體的直觀圖，套用相應(yīng)的面積公式. 2.(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體

11、的表面積注意銜接部分的處理. (2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. 【訓(xùn)練2】 (1)(2016·全國Ⅰ卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　) A.17π B.18π C.20π D.28π (2)(2018·煙臺(tái)二模)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖右側(cè)曲線為半圓弧，則幾何體的表面積為(　　) A.3π＋4－2 B.3π＋2－2 C.＋2－2 D.＋2＋2 解析　(1)由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個(gè)球(被過球心O且互相垂直的三個(gè)平面)切掉左上

12、角的后得到的組合體，其表面積是球面面積的和三個(gè)圓面積之和，易得球的半徑為2，則得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π. (2)由三視圖，該幾何體是一個(gè)半圓柱挖去一直三棱柱，由對(duì)稱性，幾何體的底面面積S底＝π×12－()2＝π－2. ∴幾何體表面積S＝2(2×)＋(2π×1×2)＋S底 ＝4＋2π＋π－2＝3π＋4－2. 答案　(1)A　(2)A 考法2　空間幾何體的體積 【例2－2】 (1)(2018·河北衡水中學(xué)調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.6 B.4 C. D. (2)由一個(gè)長方體和兩個(gè)圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾

13、何體的體積為________. 解析　(1)由三視圖知該幾何體是邊長為2的正方體挖去一個(gè)三棱柱(如圖)，且挖去的三棱柱的高為1，底面是等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角邊長為2.故幾何體體積V＝23－×2×2×1＝6. (2)該幾何體由一個(gè)長、寬、高分別為2，1，1的長方體和兩個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱體構(gòu)成. 所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋. 答案　(1)A　(2)2＋ 探究提高　1.求三棱錐的體積：等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. 2.求不規(guī)則幾何體的體積：常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于

14、求解. 【訓(xùn)練3】 (1)(2018·江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________. (2)(2018·北京燕博園質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A.8π－ B.4π－ C.8π－4 D.4π＋ 解析　(1)正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長都是.則該正八面體的體積為×()2×1×2＝. (2)該圖形為一個(gè)半圓柱中間挖去一個(gè)四面體，∴體積V＝π×22×4－××2×4×4＝8π－. 答案　(1)　(2)A 熱點(diǎn)三　多面體與球的切、接問題

15、【例3】 (2016·全國Ⅲ卷)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A.4π B. C.6π D. 解析　由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10. 要使球的體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r. 則×6×8＝×(6＋8＋10)·r，所以r＝2. 2r＝4＞3，不合題意. 球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大. 由2R＝3，即R＝.故球的最大體積V＝πR3＝π. 答案　B 【遷移探究1】 若本例中的條件變

16、為“直三棱柱ABC－A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積. 解　將直三棱柱補(bǔ)形為長方體ABEC－A1B1E1C1， 則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球. ∴體對(duì)角線BC1的長為球O的直徑. 因此2R＝＝13. 故S球＝4πR2＝169π. 【遷移探究2】 若將題目的條件變?yōu)椤叭鐖D所示是一個(gè)幾何體的三視圖”試求該幾何體外接球的體積. 解　該幾何體為四棱錐，如圖所示，設(shè)正方形ABCD的中心為O，連接OP. 由三視圖，PH＝OH＝1， 則OP＝＝. 又OB＝OC＝OD＝OA＝. ∴點(diǎn)O為幾何體

17、外接球的球心， 則R＝，V球＝πR3＝π. 探究提高　1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題. 2.若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長方體或正方體確定直徑解決外接問題. 【訓(xùn)練4】 (2018·廣州三模)三棱錐P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為(　　) A.23π B. π C.64π

18、 D.π 解析　如圖，設(shè)O′為正△PAC的中心，D為Rt△ABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn).由平面PAC⊥平面ABC.則O′H⊥平面ABC.作O′O∥HD，OD∥O′H，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又O′P＝PH＝××2＝，OO′＝DH＝AB＝2.∴R2＝OP2＝O′P2＋O′O2＝＋4＝. 故幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝π. 答案　D 1.求解幾何體的表面積或體積 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算. (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解. (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，

19、圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. (4)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表＝S側(cè)＋S底. 2.球的簡單組合體中幾何體度量之間的關(guān)系，如棱長為a的正方體的外接球、內(nèi)切球、棱切球的半徑分別為a，，a. 3.錐體體積公式為V＝Sh，在求解錐體體積中，不能漏掉. 一、選擇題 1.“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個(gè)曲面構(gòu)成，相對(duì)的兩個(gè)曲面在同一個(gè)圓柱的側(cè)面上，好似兩個(gè)扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時(shí)，它的俯視圖可能是(　

20、　) 解析　由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應(yīng)為實(shí)線，因此，選項(xiàng)B可以是幾何體的俯視圖. 答案　B 2.(2018·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　在正方體中作出該幾何體的直觀圖，記為四棱錐P－ABCD，如圖，由圖可知在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為3，是△PAD，△PCD，△PAB. 答案　C 3.(2018·湖南師大附中聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A.8(π＋4) B.8(π

21、＋8) C.16(π＋4) D.16(π＋8) 解析　由三視圖還原原幾何體如右圖：該幾何體為兩個(gè)空心半圓柱相切，半圓柱的半徑為2，母線長為4，左右為邊長是4的正方形.∴該幾何體的表面積為2×4×4＋2π×2×4＋2(4×4－π×22)＝64＋8π＝8(π＋8). 答案　B 4.(2017·全國Ⅲ卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A.π B. C. D. 解析　如圖畫出圓柱的軸截面ABCD，O為球心.球半徑R＝OA＝1，球心到底面圓的距離為OM＝. ∴底面圓半徑r＝＝，故圓柱體積V＝π·r2·h＝π

22、·×1＝. 答案　B 5.(2018·北京燕博園押題)某幾何體的三視圖如圖所示，三個(gè)視圖中的曲線都是圓弧，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析　由三視圖可知，該幾何體是由半個(gè)圓柱與個(gè)球組成的組合體，其體積為×π×12×3＋××13＝. 答案　B 6.(2018·全國Ⅲ卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D－ABC體積的最大值為(　　) A.12 B.18 C.24 D.54 解析　設(shè)等邊△ABC的邊長為x，則x2sin 60°＝9，得x＝6.設(shè)△ABC的外接圓半徑為r

23、，則2r＝，解得r＝2，所以球心到△ABC所在平面的距離d＝＝2，則點(diǎn)D到平面ABC的最大距離d1＝d＋4＝6.所以三棱錐 D－ABC體積的最大值Vmax＝S△ABC×6＝×9×6＝18. 答案　B 二、填空題 7.(2018·浙江卷改編)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)為________. 解析　由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝×(1＋2)×2×2＝6. 答案　6 8.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知長方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA1的中點(diǎn)，OA

24、⊥平面BDE，則球O的表面積為________. 解析　取BD的中點(diǎn)為O1，連接OO1，OE，O1E，O1A， 則四邊形OO1AE為矩形，∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四邊形OO1AE為正方形，則球O的半徑R＝OA＝2，∴球O的表面積S＝4π×22＝16π. 答案　16π 9.(2018·武漢模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖的輪廓是底邊為2，高為1的等腰三角形，俯視圖的輪廓為菱形，側(cè)視圖是個(gè)半圓.則該幾何體的體積為________. 解析　由三視圖知，幾何體是由兩個(gè)大小相同的半圓錐的組合體. 其中r＝1，高h(yuǎn)＝. 故幾何體的體積V＝π×12×＝π. 答案　

25、π 三、解答題 10.在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且點(diǎn)O為AC中點(diǎn). (1)證明：A1O⊥平面ABC； (2)求三棱錐C1－ABC的體積. (1)證明　因?yàn)锳A1＝A1C，且O為AC的中點(diǎn)， 所以A1O⊥AC， 又面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O?平面AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC. (2)解　∵A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC， ∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距離等于A1到平面ABC的距離. 由(1)知A1O⊥平面AB

26、C且A1O＝＝， ∴VC1－ABC＝VA1－ABC＝S△ABC·A1O＝××2××＝1. 11.(2018·長春模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA＝PB，AD∥BC，AB＝AC，AD＝BC＝1，PD＝3，∠BAD＝120°，M為PC的中點(diǎn). (1)證明：DM∥平面PAB； (2)求四面體MABD的體積. (1)證明　取PB中點(diǎn)N，連接MN，AN. ∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴MN∥BC且MN＝BC， 又AD∥BC，且AD＝BC，得MN綉AD. ∴ADMN為平行四邊形，∴DM∥AN. 又AN?平面PAB，DM?平面PAB，∴DM∥平面PAB. (2)解　取AB中點(diǎn)O，連接PO，∵PA＝PB，∴PO⊥AB， 又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PO?平面PAB， 則PO⊥平面ABCD，取BC中點(diǎn)H，連接AH， ∵AB＝AC，∴AH⊥BC，又∵AD∥BC，∠BAD＝120°， ∴∠ABC＝60°，Rt△ABH中，BH＝BC＝1，AB＝2， ∴AO＝1，又AD＝1， △AOD中，由余弦定理知，OD＝. Rt△POD中，PO＝＝. 又S△ABD＝AB·ADsin 120°＝， ∴VM－ABD＝·S△ABD·PO＝. 15