2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 階段復(fù)習(xí)課 第4課 三角恒等變換學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 第四課　三角恒等變換 [核心速填] 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcosβ±cos_αsin_β. cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β. tan(α±β)＝. 2．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan 2α＝. 3．半角公式 sin＝±. cos＝±. tan＝±＝＝. 4．輔助角公式 (1)asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). (2)與特殊角有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論： sin α±

2、cos α＝sin， sin α±cos α＝2sin， sin α±cos α＝2sin. [體系構(gòu)建] [題型探究] 三角函數(shù)式求值 　(1)已知sin＝－，則cos＝(　　) A．－　　 B．－ C． D． (2)4cos 50°－tan 40°等于(　　) A． B． C． D．2－1 (3)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值. (1)C　(2)C　　[(1)cos＝cos ＝1－2sin2 ＝1－2×2 ＝. (2)4cos 50°－tan 40° ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. (

3、3)tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝＝＞0. 而α∈(0，π)，故α∈. ∵tan β＝－，0＜β＜π，∴＜β＜π， ∴－π＜α－β＜0.而tan(α－β)＝＞0， ∴－π＜α－β＜－， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)． ∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝＝1， ∴2α－β＝－.] [規(guī)律方法]　三角函數(shù)求值主要有三種類型，即： (1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式. (2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式

4、的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角.當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中要注意角的范圍. (3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值求值”，只不過(guò)往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍. [跟蹤訓(xùn)練] 1．若α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝ (　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352353】 A． B．－ C．－ D．或－ C　[∵α，β∈，∴α＋β∈，β－∈， ∴cos(α＋β)＝＝＝， cos＝－＝－＝－， 則cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin

5、＝×＋×＝－.] 2．在△ABC中，若3cos2＋5sin2＝4，則tan Atan B＝________. 　[因?yàn)?cos2＋5sin2＝4， 所以cos(A－B)－cos(A＋B)＝0， 所以cos Acos B＋sin Asin B－cos Acos B＋sin Asin B＝0， 即cos Acos B＝4sin Asin B， 所以tan Atan B＝.] 三角函數(shù)式化簡(jiǎn) 　化簡(jiǎn)(1)； (2)·. [解]　(1)原式＝ ＝＝＝cos 2x. (2)原式＝·＝· ＝·＝. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的基本技巧 (1)sin α，cos α→湊

6、倍角公式． (2)1±cos α→升冪公式． (3)asin α＋bcos α→輔助角公式asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)，其中tan φ＝或asin α＋bcos α＝·cos(α－φ)，其中tan φ＝. [跟蹤訓(xùn)練] 3．化簡(jiǎn)：(180°<α<360°)． [解]　原式 ＝ ＝ ＝. ∵180°<α<360°，∴90°<<180°，∴cos <0， ∴原式＝＝cos α. 三角恒等式的證明 　求證：tan2x＋＝. [證明]　左邊＝＋ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝ ＝＝右邊． 原式得證． [規(guī)律方法]　三角恒等式的證明問(wèn)題

7、的類型及策略 (1)不附加條件的恒等式證明. 通過(guò)三角恒等變換，消除三角等式兩端的差異.證明的一般思路是由繁到簡(jiǎn)，如果兩邊都較繁，則采用左右互推的思路，找一個(gè)橋梁過(guò)渡. (2)條件恒等式的證明. 這類問(wèn)題的解題思路是使用條件，或仔細(xì)探求所給條件與要證明的等式之間的內(nèi)在聯(lián)系，常用方法是代入法和消元法. [跟蹤訓(xùn)練] 4．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求證：2tan(α＋β)＝3tan α. [證明]　由條件得sin[(α＋β)＋α]＝5sin[(α＋β)－α]， 兩邊分別展開得 sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝5sin(α＋β)cos α－5

8、cos(α＋β)sin α， 整理得： 4sin(α＋β)cos α＝6cos(α＋β)sin α， 兩邊同除以2cos(α＋β)cos α得： 2tan(α＋β)＝3tan α. 三角恒等變換的綜合應(yīng)用 　已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值. [解]　(1)因?yàn)閍∥b， 所以3sin x＝－cos x，又cos x≠0， 所以tan x＝－，因?yàn)閤∈[0，π]， 所以x＝. (2)f(x)＝3cos x－sin x ＝－2

9、sin. 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x－∈， 所以－≤sin≤1， 所以－2≤f(x)≤3， 當(dāng)x－＝－，即x＝0時(shí)，f(x)取得最大值3； 當(dāng)x－＝，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值－2. [規(guī)律方法]　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是三角函數(shù)的重要內(nèi)容.如果給出的三角函數(shù)的表達(dá)式較為復(fù)雜，我們必須先通過(guò)三角恒等變換，將三角函數(shù)的表達(dá)式變形化簡(jiǎn)，然后根據(jù)化簡(jiǎn)后的三角函數(shù)，討論其圖象和性質(zhì). (1)求三角函數(shù)的值域、單調(diào)區(qū)間、圖象變換、周期性、對(duì)稱性等問(wèn)題，一般先要通過(guò)三角恒等變換將函數(shù)表達(dá)式變形為y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，讓角和三角函數(shù)名稱盡量少，然后再

10、根據(jù)正、余弦函數(shù)基本性質(zhì)和相關(guān)原理進(jìn)行求解. (2)要注意三角恒等變換中由于消項(xiàng)、約分、合并等原因，函數(shù)定義域往往會(huì)發(fā)生一些變化，所以一定要在變換前確定好原三角函數(shù)的定義域，并在這個(gè)定義域內(nèi)分析問(wèn)題. (3)有時(shí)會(huì)以向量為背景出題，綜合考查向量、三角恒等變換、三角函數(shù)知識(shí). [跟蹤訓(xùn)練] 5．已知函數(shù)f(x)＝. (1)求f(x)的定義域及最小正周期； (2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． [解]　(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)， 故f(x)的定義域?yàn)閧x∈R|x≠kπ，k∈Z}． 因?yàn)閒(x)＝ ＝2cos x(sin x－cos x) ＝sin 2x－cos 2x－1 ＝sin－1， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)函數(shù)y＝sin x的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈Z)， 得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(k∈Z)． 8