2018年高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題5 平面解析幾何 突破點11 直線與圓學案 文

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1、 突破點11　直線與圓 [核心知識提煉] 提煉1 圓的方程 (1)圓的標準方程 當圓心為(a，b)，半徑為r時，其標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當圓心在原點時，方程為x2＋y2＝r2. (2)圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓. 提煉2 求解直線與圓相關問題的兩個關鍵點 (1)三個定理：切線的性質定理，切線長定理，垂徑定理． (2)兩個公式：點到直線的距離公式d＝，弦長公式|AB|＝2(弦心距d). 提煉3 求距離最值問題的本質 (1)圓外一點P到圓C上的點距離的最大值為|PC|＋r

2、，最小值為|PC|－r，其中r為圓的半徑． (2)圓上的點到直線的最大距離是d＋r，最小距離是d－r，其中d為圓心到直線的距離，r為圓的半徑． (3)過圓內一點，直徑是最長的弦，與此直徑垂直的弦是最短的弦． [高考真題回訪] 回訪1　圓的方程 1．(2017·全國卷Ⅲ)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　) A.　　　　　　 B． C. D. A　[由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心坐標為(0,0)，半徑為a. 又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切， ∴圓心到直線

3、的距離d＝＝a，解得a＝b， ∴＝，∴e＝＝＝＝＝. 故選A.] 2．(2015·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標準方程為________． 2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點的坐標分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點的坐標為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點．設圓的標準方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標準方程為2＋y2＝.] 回訪2　直線與圓的相關問題 3．(2016·全國卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝

4、0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C. D．2 A　[由圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標為(1,4)，所以圓心到直線ax＋y－1＝0的距離d＝＝1，解得a＝－.] 4．(2016·全國卷Ⅰ)設直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標準方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝，|AB|＝2，點C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2

5、， 所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.] 熱點題型1　圓的方程 題型分析：求圓的方程是高考考查的重點內容，常用的方法是待定系數(shù)法或幾何法． 【例1】(1)(2017·廈門質檢)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點A，B，且|AB|＝2，則圓C的標準方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 (2)(2016·黃山一模)已知圓C關于y軸對稱，經(jīng)過點A(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長之比為1∶2，則圓C的方程為________. 【導

6、學號：04024101】(1)A　(2)x2＋2＝　[(1)由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標為(1，)，∴圓C的標準方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. (2)因為圓C關于y軸對稱，所以圓C的圓心C在y軸上，可設C(0，b)， 設圓C的半徑為r，則圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2. 依題意，得 解得 所以圓C的方程為x2＋2＝.] [方法指津] 求圓的方程的兩種方法 1．幾何法，通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程． 2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． [變式訓練1] (1)已知圓M的圓心在x軸上，

7、且圓心在直線l1：x＝－2的右側，若圓M截直線l1所得的弦長為2，且與直線l2：2x－y－4＝0相切，則圓M的方程為(　　) A．(x－1)2＋y2＝4　　　 B．(x＋1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4 (2)(2016·長春一模)拋物線y2＝4x與過其焦點且垂直于x軸的直線相交于A，B兩點，其準線與x軸的交點為M，則過M，A，B三點的圓的標準方程為________． (1)B　(2)(x－1)2＋y2＝4　[(1)由已知，可設圓M的圓心坐標為(a,0)，a＞－2，半徑為r，得 解得滿足條件的一組解為 所以圓M的方程為(x＋1)2＋y2

8、＝4. 故選B. (2)由題意知，A(1,2)，B(1，－2)，M(－1,0)， △AMB是以點M為直角頂點的直角三角形，則線段AB是所求圓的直徑，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝4.] 熱點題型2　直線與圓、圓與圓的位置關系 題型分析：直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的熱點內容，解決的方法主要有幾何法和代數(shù)法． 【例2】(1)(2017·合肥一模)設圓x2＋y2－2x－2y－2＝0的圓心為C，直線l過(0,3)與圓C交于A，B兩點，若|AB|＝2，則直線l的方程為(　　) A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0 B．3x＋4y－12＝0或x＝0 C．4x－

9、3y＋9＝0或x＝0 D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0 (1)B　[圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，設圓心到直線l的距離為d，則|AB|＝2＝2＝2，得d＝1，則直線l的斜率不存在時，即x＝0適合題意；若直線l的斜率存在，設為k，則l：y＝kx＋3，＝1，解得k＝－，此時l：y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0，故選B.] (2)(2016·開封一模)如圖11-1，已知圓G：(x－2)2＋y2＝r2是橢圓＋y2＝1的內接△ABC的內切圓，其中A為橢圓的左頂點． ①求圓G的半徑r； ②過點M(0,1)作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點，證明：直線EF與圓G

10、相切. 【導學號：04024102】 圖11-1 [解]　①設B(2＋r，y0)，過圓心G作GD⊥AB于D，BC交長軸于H. 由＝得＝， 即y0＝，　　(Ⅰ) 2分 而B(2＋r，y0)在橢圓上， y＝1－＝＝－，　　(Ⅱ) 3分 由(Ⅰ)(Ⅱ)式得15r2＋8r－12＝0， 解得r＝或r＝－(舍去). 5分 ②證明：設過點M(0,1)與圓(x－2)2＋y2＝相切的直線方程為y＝kx＋1，(Ⅲ) 則＝， 即32k2＋36k＋5＝0，(Ⅳ) 解得k1＝，k2＝. 將(Ⅲ)代入＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，則異于零的解為x＝－．

11、8分 設F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，則 x1＝－，x2＝－， 9分 則直線FE的斜率為kEF＝＝＝， 于是直線FE的方程為 y＋－1＝. 即y＝x－，則圓心(2,0)到直線FE的距離d＝＝，故結論成立． 12分 [方法指津] 1．直線(圓)與圓的位置關系的解題思路 (1)討論直線與圓及圓與圓的位置關系時，要注意數(shù)形結合，充分利用圓的幾何性質尋找解題途徑，減少運算量．研究直線與圓的位置關系主要通過圓心到直線的距離和半徑的比較實現(xiàn)，兩個圓的位置關系的判斷依據(jù)是兩圓心距離與兩半徑差與和的比較． (2)直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直，圓心到切線

12、的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點斜式，過圓外一點求解切線段長可轉化為圓心到圓外點的距離，利用勾股定理計算． 2．弦長的求解方法 (1)根據(jù)平面幾何知識構建直角三角形，把弦長用圓的半徑和圓心到直線的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長，r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長，x1，x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標，k為直線的斜率)． (3)求出交點坐標，用兩點間距離公式求解． [變式訓練2] (1)(2016·哈爾濱一模)設直線l：y＝kx＋1被圓C：x2＋y2－2x－3＝0截得的弦最短，則直線l的方程為_

13、_______． y＝x＋1　[直線l恒過定點M(0,1)，圓C的標準方程為(x－1)2＋y2＝4，易知點M(0,1)在圓C的內部，依題意當l⊥CM時直線l被圓C截得的弦最短，于是k·＝－1，解得k＝1，所以直線l的方程為y＝x＋1.] (2)已知點M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的倍． ①求曲線E的方程； ②已知m≠0，設直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點．當CD的斜率為－1時，求直線CD的方程． [解]?、僭O曲線E上任意一點坐標為(x，y)， 由題意，＝， 2分 整理得x2＋y2－4x＋1＝0， 即(x－2)2＋y2＝3為所求． 4分 ②由題知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N(1,0)， 設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，線段CD的中點為P，則直線EP：y＝x－2，設直線CD：y＝－x＋t， 由 解得點P. 7分 由圓的幾何性質，|NP|＝|CD|＝， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2，∴2＋2＝3－2，解得t＝0，或t＝3，11分 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3． 12分 7