2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣 2.4.1 逆矩陣的概念教學(xué)案 蘇教版選修4-2

《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣 2.4.1 逆矩陣的概念教學(xué)案 蘇教版選修4-2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.4 逆變換與逆矩陣 2.4.1 逆矩陣的概念教學(xué)案 蘇教版選修4-2（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2．4.1　逆矩陣的概念 1．逆矩陣的定義 對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣，記為A－1. 2．逆矩陣的性質(zhì) (1)若二階矩陣A、B均可逆，則AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (2)已知A、B、C為二階矩陣且AB＝AC，若A存在逆矩陣，則B＝C. 3．逆矩陣的求法 (1)公式法：對(duì)于二階矩陣A＝，若ad－bc≠0，則A必可逆，且A－1＝. (2)待定系數(shù)法． (3)逆變換法． 逆矩陣的求法 [例1]　　求矩陣A＝的逆矩陣． [思路點(diǎn)撥]　設(shè)出逆矩陣，利用待定系數(shù)法求解或直接利用公式法求解． [精

2、解詳析]　法一：待定系數(shù)法：設(shè)A－1＝， 則 ＝. 即＝， 故 解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 從而A的逆矩陣為A－1＝. 法二：公式法：ad－bc＝3×1－2×2＝－1≠0， ∴A－1＝. 用待定系數(shù)法求逆矩陣時(shí)，先設(shè)出矩陣A的逆矩陣A－1，再由AA－1＝E得相等矩陣，最后利用相等矩陣的概念求出A－1. 1．(江蘇高考)已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B. 解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則 ＝，即＝ 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，從而A的逆矩陣為A－1＝， 所以A－1B＝ ＝. 2．已知矩陣M＝所對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)A(x，y)變成點(diǎn)A′(13,5

3、)，試求M的逆矩陣及點(diǎn)A的坐標(biāo)． 解：由M＝，得2×(－1)－(－3)×1＝1≠0， 故M －1＝. 從而由 ＝得 ＝ ＝＝， 故即A(2，－3)為所求． [例2]　用幾何變換的觀點(diǎn)求下列矩陣的逆矩陣． (1)A＝；(2)B＝. [思路點(diǎn)撥]　A為伸壓變換矩陣，B為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，只需找到它們的逆變換，再寫出逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣即為所求． [精解詳析]　 (1)矩陣A為伸壓變換矩陣，它對(duì)應(yīng)的幾何變換為平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來2倍的伸縮變換，因此它存在逆變換TA－1：將平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)沿x軸方向壓縮為原來的，所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為A－1＝.

4、 (2)矩陣B為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它對(duì)應(yīng)的幾何變換為將平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.它存在逆變換TB－1：將平面內(nèi)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所對(duì)應(yīng)的變換矩陣為B－1＝. 從幾何角度考慮矩陣對(duì)應(yīng)的變換是否存在逆變換，就是觀察在變換下是否能“走過去又能走回來”，即對(duì)應(yīng)的變換是一一映射． 關(guān)鍵是熟練掌握反射變換、伸縮變換、旋轉(zhuǎn)變換、切變變換等常用變換對(duì)應(yīng)的矩陣，根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)的幾何變換找出其逆變換，再寫出逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣，即為所求逆矩陣． 3．已知矩陣A＝，求A－1. 解：矩陣A對(duì)應(yīng)的變換是旋轉(zhuǎn)變換R240°，它的逆變換是R－240° ∴A－1＝ ＝. 4．已知矩陣A＝，求

5、A－1. 解：因矩陣A所對(duì)應(yīng)的變換為伸縮變換， 所以A－1＝. 逆矩陣的概念與性質(zhì)的應(yīng)用 [例3]　若矩陣A＝，B＝，求矩陣AB的逆矩陣． [思路點(diǎn)撥]　根據(jù)公式(AB)－1＝B－1A－1，先求出B－1、A－1，再利用矩陣乘法求解． [精解詳析]　因?yàn)榫仃嘇所對(duì)應(yīng)的變換為伸縮變換， 所以A－1＝. 而矩陣B對(duì)應(yīng)的變換為切變變換， 其逆矩陣B－1＝， ∴(AB)－1＝B－1A－1 ＝＝. (1)要避免犯如下錯(cuò)誤(AB)－1＝A－1B－1. (2)此題也可以先求出AB再求其逆． 5．已知A＝ ，求A－1. 解：設(shè)M＝，N＝，則A＝MN. ∵1

6、×1－0×(－1)＝1≠0， ∴M－1＝，同理N－1＝. 由逆矩陣的性質(zhì)，得 A－1＝(MN)－1＝N－1M－1 ＝ ＝. 6．若矩陣A＝，B＝，求曲線x2＋y2＝1在矩陣(AB)－1變換下的曲線方程． 解：(AB)－1＝B－1A－1＝ ＝. 設(shè)P(x，y)是圓x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)在(AB)－1對(duì)應(yīng)變換下變成Q(x′，y′) 則＝ ＝. ∴故 ∴P(x′＋2y′，y′)． 又P點(diǎn)在圓上，∴(x′＋2y′)2＋(y′)2＝1. 展開整理為(x′)2＋4x′y′＋5(y′)2＝1. 故所求曲線方程為x2＋4xy＋5y2＝1. [例4]　已知矩陣A＝，B＝，C＝

7、，求滿足AXB＝C的矩陣X. [思路點(diǎn)撥]　由AXB＝C得X＝A－1CB－1，從而求解． [精解詳析]　∵A－1＝， B－1＝， ∴X＝A－1CB－1＝ ＝ ＝. 此種題型要特別注意左乘還是右乘相應(yīng)的逆矩陣，若位置錯(cuò)誤，則得不到正確結(jié)果，原因是矩陣乘法并不滿足交換律． 7．已知矩陣A＝. 若矩陣X滿足AX＝，試求矩陣X. 解：設(shè)A－1＝， 則＝， 即＝， 所以解得 故所求的逆矩陣A－1＝. 因?yàn)锳X＝， 所以A－1AX＝A－1， 所以X＝A－1＝ ＝. 8．若點(diǎn)A(2,2)在矩陣M＝對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為B(－2,2)，求矩陣M的逆矩陣．

8、 解：因?yàn)镸＝， 即＝， 所以解得 所以M＝. 法一：由M＝＝，知M是繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換矩陣，于是M－1＝＝. 法二：由M＝，則ad－bc＝1≠0.∴M－1＝. 1．求下列矩陣的逆矩陣． (1)A＝；(2)B＝. 解：法一：利用逆矩陣公式． (1)注意到1×3－2×1＝1≠0，故A存在逆矩陣A－1，且 A－1＝＝. (2)注意到2×5－4×3＝－2≠0，故B存在逆矩陣B－1，且 B－1＝＝. 法二：利用待定系數(shù)法． (1)設(shè)矩陣A的逆矩陣為， 則 ＝， 即＝. 故 解得a＝3，c＝－2，b＝－1，d＝1. 從而A－1＝. (2

9、)設(shè)矩陣B的逆矩陣為， 則 ＝， 即＝. 故 解得x＝－，z＝2，y＝，w＝－1. 從而B－1＝. 2．已知可逆矩陣A＝的逆矩陣A－1＝，求a，b的值． 解：根據(jù)題意，得AA－1＝E， 所以 ＝， 即＝， 所以解得a＝5，b＝3. 3．已知A＝，B＝，求證B是A的逆矩陣． 證明：因?yàn)锳＝，B＝， 所以AB＝ ＝， BA＝ ＝， 所以B是A的逆矩陣． 4．求矩陣乘積AB的逆矩陣． (1)A＝，B＝； (2)A＝，B＝. 解：(1)(AB)－1＝B－1A－1 ＝ ＝. (2)(AB)－1＝B－1A－1 ＝ ＝. 5．已知變換矩陣A把平面上的點(diǎn)P(2

10、，－1)，Q(－1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3，－4)，Q1(0,5)． (1)求變換矩陣A； (2)判斷變換矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A－1；如果不可逆，請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)A＝，依題意，得 ＝， ＝， 即解得 所以A＝. (2)變換矩陣A是可逆的，理由如下： 設(shè)矩陣A的逆矩陣為， 則由 ＝，得 解得 故矩陣A的逆矩陣為A－1＝. 6．已知矩陣M＝，N＝，試求曲線y＝cos x在矩陣M－1N對(duì)應(yīng)的線性變換作用下的函數(shù)解析式． 解：M－1＝， ∴M－1N＝ ＝. ∴＝ ＝ 即∴ 代入y＝cos x得y′＝cos 2x′ 故曲線y＝cos x

11、在矩陣M－1N對(duì)應(yīng)的變換作用下解析式為y＝2cos 2x. 7．已知矩陣A＝. (1)求矩陣A的逆矩陣B； (2)若直線l經(jīng)過矩陣B變換后的方程為y＝x，求直線l的方程． 解：(1)設(shè)矩陣A的逆矩陣為B＝，則 ＝，得解得 所以B＝. (2)設(shè)直線l上任一點(diǎn)P(x，y)經(jīng)過B對(duì)應(yīng)變換變?yōu)辄c(diǎn)P(x′，y′)，則 ＝， 即 又y′＝x′，所以－2x＋y＝x－y， 即直線l的方程為7x－3y＝0. 8．已知曲線C在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下的象為x2＋y2＝1，求曲線C的方程． 解：矩陣對(duì)應(yīng)的變換為：平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)沿y軸方向縮短為原來的，橫坐標(biāo)沿x軸方向縮短為原來的，其逆變換為：將平面內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)沿y軸方向拉伸為原來的2倍，橫坐標(biāo)沿x軸方向拉伸為原來的3倍，故－1＝. 設(shè)圓x2＋y2＝1上任一點(diǎn)P(x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的伸縮變換作用下的象為P′(x′，y′)， 則即代入x2＋y2＝1， 得＋＝1. 故曲線C的方程為＋＝1. 10