2017-2018版高中數學 第三章 統(tǒng)計案例 1.3 可線性化的回歸分析學案 北師大版選修2-3

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1、 1.3　可線性化的回歸分析 學習目標　1.理解回歸分析的基本思想.2.通過可線性化的回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度． 知識點一　常見的可線性化的回歸模型 冪函數曲線____________，指數曲線____________． 倒指數曲線____________，對數曲線____________． 知識點二　可線性化的回歸分析 思考1　有些變量間的關系并不是線性相關關系，怎樣確定回歸模型？ 　 思考2　如果兩個變量呈現非線性相關關系，怎樣求出回歸方程？ 　 梳理　在大量的實際問題中，所研究的兩個變量不一定都呈線性相關關系，它們之間可能呈指數關系

2、或對數關系等非線性關系．在某些情況下可以借助線性回歸模型研究呈非線性關系的兩個變量之間的關系． 類型一　給定函數模型，求回歸方程 例1　在彩色顯影中，由經驗可知：形成染料光學密度y與析出銀的光學密度x由公式y(tǒng)＝Ae (b<0)表示．現測得試驗數據如下： xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 xi 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47 yi 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29 試求y對x的回歸方程．

3、 　 跟蹤訓練1　在試驗中得到變量y與x的數據如下表： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 由經驗知，y與之間具有線性相關關系，試求y與x之間的回歸曲線方程，當x0＝0.038時，預測y0的值． 　 　 　 　 類型二　選取函數模型，求回歸方程 例2　下表所示是一組試驗數據： x 0.5 0.25 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360 (1)作出散點圖，并猜測y與x之間的關系

4、； (2)利用所得的函數模型，預測x＝10時y的值． 　 　 　 　 反思與感悟　實際問題中非線性相關的函數模型的選取 (1)采集數據，畫出散點圖． (2)根據散點圖中點的分布狀態(tài)，選取所有可能的函數類型． (3)作變量代換，將函數轉化為線性函數． (4)作出線性相關的散點圖，或計算線性相關系數r，通過比較選定函數模型． (5)求回歸直線方程，并檢查． (6)作出預報． 跟蹤訓練2　對兩個變量x，y取得4組數據(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分別求得數學模型如下： 甲　y＝0.1x＋1， 乙　y＝－0.05x

5、2＋0.35x＋0.7， 丙　y＝－0.8·0.5x＋1.4，試判斷三人誰的數學模型更接近于客觀實際． 　 　 　 1．指數曲線y＝3e－2x的圖像為圖中的(　　) 2．對于指數曲線y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，經過非線性化回歸分析之后，可以轉化成的形式為(　　) A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 3．在一次試驗中，當變量x的取值分別為1，，，時，變量y的值分別為2,3,4,5，則y與的回歸方程為(　　) A．y＝＋1 B．y＝＋3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1

6、4．某地今年上半年患某種傳染病的人數y(人)與月份x(月)之間滿足函數關系，模型為y＝aebx，確定這個函數解析式為________________． 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人數y/人 52 61 68 74 78 83 1．對于具有非線性相關關系的兩個變量，可以通過對變量進行變換，轉化為線性回歸問題去解決． 2．建立回歸模型的步驟 (1)確定研究對象，明確變量關系． (2)畫出散點圖，觀察變量之間的關系． (3)由經驗確定回歸方程的類型． (4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數． 答案精析 問題導學 知識點一 y＝axb

7、　y＝aebx　y＝a　y＝a＋bln x 知識點二 思考1　首先要作出散點圖，如果散點圖中的樣本點并沒有分布在某個帶狀區(qū)域內，則兩個變量不呈現線性相關關系，不能直接利用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系．這時可以根據已有的函數知識，觀察樣本點是否呈指數函數關系或二次函數關系，選定適當的回歸模型． 思考2　可以通過對解釋變量進行變換，如對數變換或平方變換，先得到另外兩個變量間的回歸方程，再得到所求兩個變量的回歸方程． 題型探究 例1　解　由題意知，對于給定的公式y(tǒng)＝A(b<0)兩邊取自然對數，得ln y＝ln A＋，與線性回歸方程相對照可以看出，只要取u＝，v＝ln y，a＝ln

8、A，就有v＝a＋bu. 這是v對u的線性回歸方程，對此我們再套用相關性檢驗，求回歸系數b和a.題目中所給的數據由變換u＝，v＝ln y，變?yōu)槿缦卤硭镜臄祿? ui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000 vi －2.303 －1.966 0 0.113 －1.470 －0.994 ui 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128 vi 0.174 0.223 －0.528 －0.236 0.255 可求得b≈－0.146，a≈0.548， ∴v＝0.548－0.146

9、u. 把u和v轉換回來，可得ln y＝0.548－. ∴y＝＝e0.548·≈1.73， ∴回歸曲線方程為y＝1.73. 跟蹤訓練1　解　令z＝，則y＝a＋bz，由已知數據制成下表： z＝ 14.992 5 25.773 2 30.030 0 36.630 0 44.444 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 計算得＝30.373 9，＝43.120 0， ziyi＝6 693.002 6， z＝5 107.859 8. ∴5 ＝6 548.612 8,52＝4 612.869 0. 于是有b＝＝ ≈0.291 7. ∴a＝－

10、b≈34.26. ∴y與x之間的回歸曲線方程是y＝34.26＋. 當x0＝0.038時，y0≈41.94，即y0的值約為41.94. 例2　解　(1)散點圖如圖所示，從散點圖可以看出y與x不具有線性相關關系． 根據已有知識發(fā)現樣本點分布在函數y＝＋a的圖像的周圍，其中a，b為待定參數，令x′＝，y′＝y(tǒng)，由已知數據制成下表： 序號i x′i y′i x′ y′ x′iy′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64

11、81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑ 30 1 052 220 275 990 7 790 ′＝6，′＝210.4， 故x′－5(′)2＝40， y′－5(′)2＝54 649.2， r＝≈0.999 7， 由于r非常接近于1， ∴x′與y′具有很強的線性關系，計算知， b≈36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3， ∴y′＝－11.3＋36.95x′， ∴y對x的回歸曲線方程為y＝－11.3. (2)當x＝10時，y＝－11.3＝－7.605. 跟蹤訓練2　解　甲模型，當x＝1時，

12、y＝1.1；當x＝2時，y＝1.2； 當x＝3時，y＝1.3；當x＝4時，y＝1.4. 乙模型，當x＝1時，y＝1；當x＝2時，y＝1.2； 當x＝3時，y＝1.3；當x＝4時，y＝1.3. 丙模型，當x＝1時，y＝1；當x＝2時，y＝1.2； 當x＝3時，y＝1.3；當x＝4時，y＝1.35. 觀察4組數據并對照知，丙的數學模型更接近于客觀實際． 當堂訓練 1．B　2.A　3.A 4．y＝e3.910 3＋0.090 5x 解析　設u＝ln y，c＝ln a，得u＝c＋bx， 則u與x的數據關系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u＝ln y 3.95 4.11 4.22 4.30 4.36 4.42 由上表，得xi＝21，ui＝25.36， x＝91，u＝107.339， xiui＝90.35， ＝3.5，＝4.227， ∴b＝＝≈0.090 5. c＝－b＝4.227－0.090 5×3.5＝3.910 3， ∴y＝e3.910 3＋0.090 5x 8